Генераторы аналитических групп с ядрами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ГЕНЕРАТОРЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ГРУПП С ЯДРАМИ
В Е Федоров Че гябинскии государственный университет
Аналог обратно! о угверждения теоремы Хилле Иосиды Филлипса доказан для аналитических грпп с ядрами
Пусть и Т — банаховы пространства, оператор Ь € С{Ы, Т), а М йотМ -^Т — линейный здмкнуаый оператор, с1отМ С Ы Рассмотрим линейное уравнение гипа Соболева
Ь и = Ми, (1)
Решением уравнения (1) называется вектор-функция и 6 6'-Ш (К,/У), удовле творяюгцая уравнению (1), и и{1) 6? отМ К
ГЕНЕРАТОРЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ГРУПП С ЯДРАМИ 185
Если существует оператор Ь '-е С (ТЫ), то уравнение (1) тривиально редуцируется к уравнению
й — Ти,
где оператор Т~Ь~1М: НогпТ-^Ы (с1отТ = ЛотМ) линеен и замкнут по построению. Если, вдобавок, оператор Т спектрально ограничен (& lt-г-ограничен), т. е.
За & gt- 0 У^еС (|/4|& gt-а)==>-(/1/-7,)-1 € С (Н),
то существует разрешающая группа {{/'-: & lt-6 К} уравнения (2), представимая интегралом Данфорда-Тейлора [1, гл. 7]
U^^jud-Tr'-e^dv, (3)
где контур у = {?I? С: = г & gt- а). И наоборот, если существует разрешающая группа уравнения (2), то она имеет вид (3).
Нашей целью является обобщение данного результата на случай необратимости оператора L, в частности, на случай kerb {0}. Данное обобщение диктуется не только желанием пополнить теорию, но и стремлением осмыслить ряд начально-краевых задач для уравнений в частных производных, возникших в последнее время в приложениях [2−6].
1. Предварительные сведения
Введем в рассмотрение ?-резольвентное множество
а1(М) = {ц € С: (цЬ — М)-1?С{ТЫ)) оператора М и ?-спектр
а1(М) = Срь (М) оператора М. Пусть рь (М) ф 0, тогда построим правую Д?(М) = (цЬ — М)~Ч: рь{М)-+С{Ы)
и левую
Ь%(М) = Ь{ц1 — М)~х:
?-резольвенты оператора М.
Уравнение (1) удобно рассматривать в двух эквивалентных формах:
186
В. Е. ФЁДОРОВ
й?(М)и = (аЬ — М)~1 Ми,
(4)
(5)
где"? р1(М) С учетом того, что операторы [аЬ~М)~1 М ~ (аЬ-М)~1 рЬ-1 и М (аЬ — М)-1 = цЬ (аЬ- М)~1 — 1 непрерывны, а уравнения (4), (5) заданы на пространствах К и Т соответственно, их можно рассматривать в рамках уравнения
где операторы А, В? ?(У).
Определение 1 Отображение V е С°°(К-?(У)) называется однопараметри-ческой группой разрешающих операторов уравнения (6) (разрешающей группой уравнения (6)), если
(?) У'-У = У*+'- Vt. ee К-
(и)У"0?У ь (1) = У*ь о
Разрешающая группа уравнения (6) называется аналитической, если V ¦ К -¦ ?(У) допускает аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость С с сохранением свойств (п). Группу будем обозначать через {'-/'-
определение 2 Оператор М называется а-ограниченным относительно оператора Ь (или просто (Ь, (т)-ограниченным оператором), если
Нетрудно видеть, что если существует оператор Ь~1? С (Т, и) и & lt-1отМ то оператор М будет {Ь, ег)-ограничен. Кроме того, если оператор Ь компактен, а оператор М? С (Ы, Т), то оператор М не является (Ь,-ограниченным [7].
Используя понятие относительно сг-ограниченного оператора, в [8, 9] были получены следующие результаты.
теорема 1 Пусть оператор М (Ь, & lt-т)-ограничен, тогда существуют аналитические разрешающие группы уравнений (4) и (5), представимые интегралами типа Данфорда-Тейлора:
АУ — ВУ,
(б)
г € а}.
За & gt- О У/"€С (М & gt- а) =" (цЬ ~ М)~х? С (ТЫ).
соответственно, где контур 7 = {|/х| = г & gt- а}, константа, а из определения 2. Замечания: 1. Разрешающие группы уравнений (1) и (4) совпадают.
ГЕНЕРАТОРЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ГРУПП С ЯДРАМИ
187
2. Очевидно, что единицы групп U° и F0 — проекторы. Положим U0 ker U°, U1 := im Vo, ker F°, Я := im F°.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 U = ФМ1, 7 = ЯфЯ
Теорема 2. В условиях теоремы 1 действия операторов L и М расщепляются: L AAk -& gt-Я, М. domMk-& gt-Fk, где domMk domM Г14к, к = 0, f.
Определим Lk := L, Мк := М domMk.
Теорема 3. В условиях теоремы 1 оператор M? G Я), существуют операторы Mq1 G и LJl G ДЯ-^1), а оператор Я := M0_1Lo € ?(//) квазинильпотентен.
2. Основные результаты
Здесь мы докажем достаточность необходимых условий (L, (^-ограниченности оператора М, полученных в теоремах 1−3. Пусть {/ € 61(XI (R- ?(?/)) и F е С°°(R- ?(/& quot-)) — аналитические группы, т. е. V?, s € R i7'-t/s = i/'-& quot-1"-, F'-F* = Ft+S, и возможно аналитическое продолжение U и F во всю комплексную плоскость С с сохранением этого свойства. Мы хотим найти операторы I и М, которые порождали бы данные группы по образцу теоремы 1.
Поскольку U0 и F0 — проекторы по определению групп, то пространства U и Т расщепляются в прямые суммы: U — Ы° ф U1 и Т ~ ЯфЯ, где подпространства Uk, Tk, к = 0,1, такие, как в замечании 2.
Лемма 1. Пусть оператор L? — топлинейный изоморфизм, L: Ux -* Я, LiU* = F'-Li, Vi G R. Тогда существует оператор Mi G C{UK, Tl), Ah: =
= j? Lo
Теорема 4. Пусть операторы L, Mi такие, как в лемме 1- существуют операторы Mo& quot-1 G C (F°]U°), Lo G ?(U°-, F°) такие, что Я := M0−1L0 G ?(//) — квазинилыютеитный оператор. Пусть М = AIq{I — IIй) + MU° (dorriMо •= imM0−1), L = ?о (/ - С/0) + LU°. Тогда-
(i) оператор М (L, сг)-ограничен,
(ii) операторы L и М порождают группы {[/'-: I € R) и {Я: t G R}, т. е.
^ =? / Fi = eiJ
7 7
Доказательство, (i) Рассмотрим
(/iL — А/)& quot-1 — (/хй — i)& quot-1 Mo-'-U — F°) + j-(I — 4lF
г и
где
d
T =¦ Li M — ^
и* еС (ьг).
1=0
Поскольку первое слагаемое является целой функцией в силу квазинильпотентности оператора Я. а второе слагаемое существует при & gt- КГЦ, то оператор М (?, сг)-ограничен (в частности, если о = ||Т||).
188
В. Е. ФЁДОРОВ
(и) Обозначим О* = и1 х Тогда
ш1
?п ~ ~ дп -и* = тпи- иг = тп л" л" 4=0
Отсюда

(?Т)п
П!
е
((Т)
п -О
Пусть контур 7 с с такой, что (р? 7) & lt-=>-• (|//| = г & gt- ??ТЦ). Тогда имеем
У
* * = 1 '- п=0
Для группы {. Р'- ¦? ? К} утверждение (п) доказывается аналогично
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Данфорд Н., Шварц Дж Линейные операторы Т 1- Общая теория М: Изд-во иностр лит. 1962
[2] свиридюк г. а. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика. 1988. № 1. с. 74−79.
[3] свиридюк г. а. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения 1988. Т 24, № 10. С. 18 461 848.
[4] Свиридюк Г, А, Семенова И. Н Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 9. С. 1607−1611.
[5] свиридюк г. а. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 11. с. 1992−1998.
[6] Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 4 С. 828 831.
[7] диткин В. В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов // Мат. заметки 1982. Т. 31, № 1. С. 75−79.
К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ
189
свиридюк Г, А Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах Дисс докт физ-мат наук Челябинск, 1993 213 с.
Бокарева Т, А Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами Дисс канд. физ -мат наук Санкт-Петербург, 1993 107 с

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой