Распространение гармонической волны под одноэтажным протяженным зданием

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 624. 04 + 539. 3
H.H. Анохин, М.А. Дашевский*, В. Л. Мондрус, С.Н. Шутовский
ФГБОУВПО «МГСУ», ЮОО «ВИБРОСЕЙСМОЗАЩИТА»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ПОД ОДНОЭТАЖНЫМ ПРОТЯЖЕННЫМ ЗДАНИЕМ
Рассмотрены периодические расчетные модели в виде цепочек осцилляторов для одноэтажных протяженных зданий. Показаны выражения для определения собственных частот и форм колебаний. Рассмотрен случай распространения под зданием гармонической волны.
Ключевые слова: периодическая модель, расчет, колебания, волны, собственные частоты, амплитуда колебаний, амплитудная поверхность.
Излагаемый ниже подход к исследованию свободных и вынужденных колебаний расчетных моделей в виде цепочек осцилляторов с конечным числом масс (рис. 1) может быть использован как для изучения колебаний, вызванных поступательными перемещениями масс вдоль любой из осей 0х, 0y, 0z, так и для изучения колебаний, в
процессе которых массы совершают крутильные колебания вокруг этих же осей. Для иллюстрации в данной статье рассмотрим колебания, в процессе которых массы перемещаются только поступательно вдоль оси 0z
Рис. 1
Рассмотрим свободные колебания расчетной модели, изображенной на рис. 1. Запишем разрешающую систему дифференциальных уравнений в следующем виде
Мz 1 + (р +у)^ -pz2 = 0,
М 2п -pZn1 + (2Р ^ У)2п & quot-Р2п+1 = 0 (1)
М-к1 +(р + у)-к = 0.
Решение этой системы можно найти в виде
— (г) = Ап ехр [/(ю/ - ф)], п = 1, 2,…, к.
После некоторых преобразований приходим к системе уравнений
(2)
© Анохин Н. Н., Дашевский М. А., Мондрус В. Л., Шутовский С. Н., 2012
47
ВЕСТНИК ^ 2/2О12_
(2S + 1) A + Л2 = 0,
An _i + 2^Ли + Лп+i = 0, (3)
Лк _1 +(2^ + l) At = 0, Мю2 -2р-у «„
где-= 2^. (4)
Р
Чтобы у системы (3) существовало ненулевое решение, должно выполняться условие равенства нулю ее определителя
D = Cl © + 2Cl_i © + 2Cl2 © = 2(1 + ^)Ci_i © = 0, (5)
где выражения Clk (?), C[_1 (?), Clk2(?) — полиномы Гегенбауэра первой степени [4]. Это уравнение имеет k корней, один из которых равен0 =-1. (6) А остальные k -1 корней определяются из условия
CL© = 0. (7)
Полином C^© имеет k -1 нулей внутри интервала (-1- +1) при значениях аргумента

Ь, = cos 9 j = cos-, где j = 1,2,…, k. (8)
1 j k
Выражения для частот собственных колебаний модели будут выглядеть следующим образом
У 2 4р 2 jn у ,-, Ю2 = - cos2- + - М 1 М 2k М
Также можно записать вторую из формул (9) в виде, при котором большему номеру ~ будет соответствовать большая частота:
ю2 =sin2 ^ +, где -j = k — j. (10)
1 М 2k М
Частота ю0 отвечает такому движению расчетной модели, когда все масс колеблются в фазе с одинаковой амплитудой Л10 = Л20 = … = Ak0 = Л0.
Для каждой частоты свободных колебаний есть соответствующая ей форма колебаний. Она определяется следующим образом:
z"j (t) = Лп1 еХР [i -Фj)]. (11)
Проведя некоторые преобразования, получаем выражение для
(I- N
У
(r)0 = Лт7, ю2 =~Г7cos^+ Т7, где j = 1,2,…, k. (9)
Zn0(t) = 40cos
М & quot-ф0
^ /4р. 2 jn ~ t. -sin2 -- + - -ю,
V М 2k М 1
у
(12)
z- (t) = (-1)k+пА“ sin (2n & quot-1)n (k — j) cos
п/У- y — j 2k
где Л~ и Ф/ - произвольные постоянные.
В общем случае движение п -й массы расчетной модели описывается следующей формулой
48
ISSN 1997−0935. Vestnik MGSU. 2012. № 2
zn (t) = A cos
1 M
v
-H)4+n Z Aj sin (2n & quot-1Mk ~]) cos
M J 2k
t. — sin2 + ---ф,
M 2k M 1 j
(13)
Рассмотрим колебание основания нескольких стоек расчетной модели. Предположим, что стоек одновременно совершают колебания по произвольному непериодическому закону Zm (?). Система уравнений будет выглядеть следующим образом
Мz 1 + (р + у^ -pz2 = у ГС1(ю)ехр (г'-ю?ю,
-к& gt-
М Zm-1 -pzm2 +(2р + у) zm1 -pzm = 0,
. — (14)
М Zm -pzm1 + (2р + у) zm -pzm+1 = у ] От (ю) ехр (г'-ю?)йю,
-к& gt-
М Zk -pzk1 +(р + у) zk = у Г Ок (ю) ехр (г'-ю?ю.
-к& gt-
При колебаниях по гармоническому закону столбик свободных членов будет выглядеть следующим образом
у^етр [г ((c)1? -Ф1)],
yzm ехр [г (ют? — фт)],
Уzk ехр [г (оу -Фк)].
Рассмотрим случай распространения волны под сооружением. Примем, что волна является гармонической
z (t) = z ехр (г'-ю?), (15)
где z — амплитуда волны- ю — частота волны.
Колебания каждой стойки сдвинуты по фазе относительно колебаний предыдущей и последующей стоек. Выражение для колебаний п -й стойки
Zm (?) = z ехр [г (ю?-фт)]. (16)
Сдвиг фазы относительно первой стойки определяется как
фт, (17)
с
где I — расстояние между стойками- с — скорость распространения волны.
Выражение для перемещений п -й массы при прохождении под зданием гармонической волны
к к
Zn (?) = Е Znm (?) =Е Апт ехр [?(Ю? — фт)]. (18)
т=1 т=1
Величины Апт определяются по формуле (12).
Произведем исследование конкретного здания, расчетная схема которого изображена на рис. 2, при прохождении под ним гармонической волны вида z (t) = z sin (ю?).
ВЕСТНИК МГСУ
2/2012
Примем параметры волны с = 7 • 104см/с, Т = 0,4 с, ю = 15,7 Гц, А, = сТ = 2,8−104см. Жесткостные характеристики модели у = 103 кг/см, р = 104 кг/см, масса, сосредоточенная в узле, М = 100 кг.
Рис. 2
Частоты собственных колебаний модели определим по выражениям (9) и (10). Распределение амплитуд для каждой из форм — по выражению (12).
При прохождении под зданием волны перемещения масс находятся по формуле
п (г) = Е Апт -Ф»),
(19)
где Апт — амплитудные значения перемещений массы п при колебаниях основания
стойки т с частотой ю. Сдвиги фазы фт определяются по формуле фт («-1),
с
где т — номер массы.
Вычисленные перемещения -п (г) в виде поверхности перемещений масс показаны на
рис. 3.
О. ОЗОг
0. 01 Чт. 0. 000
Рис. 3
Поскольку рассматриваемый интервал времени Т совпадает с периодом распространяющейся волны, то приведенные на рисунке результаты полностью описывают перемещения расчетной модели и по длине, и по времени.
Библиографический список
1. Бриллуэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: ИЛ, 1959.
2. Волъфсон Б. П. О распространении волн в моделях зданий и сооружений с внутренним трением // Строительная механика и расчет сооружений. 1971. № 5. С. 105−112.
3. Дашевский М. А. Свободные поступательно-вращательные колебания несимметричных в плане сооружений регулярной структуры // Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. 1975. Вып. 43. С. 68−72.
4. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Интеллект, 2007.
5. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
Поступила в редакцию в январе 2012 г.
т=1
50
ISSN 1997−0935. УеБШк MGSU. 2012. № 2
Об авторах: Анохин Николай Николаевич — кандидат технических наук, профессор кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129 337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495) 287−49−14, доб. 3141-
Дашевский Михаил Аронович — доктор технических наук, старший научный сотрудник, технический директор, ООО «ВИБРОСЕИСМОЗАЩИТА», 129 327, г. Москва, ул. Коминтерна, д. 20/2, стр. 1, (495) 650−41−52, michdash@mail. ru-
Мондрус Владимир Львович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129 337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (495) 287−49−14, доб. 3141, mondrus@mail. ru-
Шутовский Станислав Николаевич — аспирант кафедры строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129 337, Москва, ул. Коминтерна, д. 20/2, стр. 1, тел. (495) 650−41−52, shutovskii@mail. ru.
Для цитирования: Распространение гармонической волны под одноэтажным протяженным зданием / H.H. Анохин, М. А. Дашевский, В. Л. Мондрус, С. Н. Шутовский // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 47−51.
N.N. Anohin, M.A. Dashevskij, V.L. Mondrus, S.N. Shutovskij
HARMONIC WAVE PROPAGATION UNDERNEATH LONG ONE-STORIED BUILDINGS
Periodic analysis models represented as networks of oscillators designated for long one-storied buildings are considered in the article. Expressions of natural frequencies and types of fluctuations are provided. Harmonic wave propagation underneath a long one-storied building is considered.
Key words: periodic model, analysis, vibration, model frequencies, waves, modes, amplitude of rippling, top surface.
References
1. Brillouin L., Parodi M. Rasprostranenie voln vperiodicheskih strukturah [Propagation of Waves in Periodic Structures]. Moscow, Inostrannaja literature, 1959.
2. Vol'-fson B.P. O rasprostranenii voln v modeljah zdanij i sooruzhenij s vnutrennim treniem [On propagation of Waves in Models of Buildings and Structures That Feature Internal Friction]. Stroitel'-naja mehanika i raschet sooruzhenij [Structural Mechanics and Analysis of Structures]. 1971, Issue # 5, pp. 105−112.
3. Dashevskij M.A. Svobodnye postupatel'-no-vrawatel'-nye kolebanija nesimmetrichnyh v plane soo-ruzhenij reguljarnoj struktury [Free Forward-Rotary Fluctuations of Asymmetrical Structures of Regular Pattern]. Works of CNIISK im. V.A. Kucherenko. 1975, Issue # 43, pp. 68−72.
4. Nikiforov A.F., Uvarov V.B. Special'-nye funkcii matematicheskoj fiziki [Special Functions of Mathematical Physics]. Moscow, Intellect, 2007.
5. Szego G. Ortogonal'-nye mnogochleny [Orthogonal Polynomials]. Moscow, Gosudarstvennoe iz-datel'-stvo fiziko-matematicheskoj literatury [State Publishing House of Physical and Mathematical Literature], 1962.
About the authors: Anohin Nikolaj Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Ja-roslavskoe shosse, Moscow, 129 337, Russia, 8 (495) 287-49-14, ext. 3141-
Dashevskij Mihail Aronovich — Doctor of Technical Sciences, Senior Researcher, Director of Technology, VIBROSEJSMOZASCHITA Limited Liability Company (VIBROSEJSMOZASCHITA LLC), Building 1, 20/2 Kominterna Str., Moscow, 129 327, Russia, 8 (495) 650-41-52, michdash@mail. ru-
Mondrus Vladimir L'-vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129 337, Russia, 8 (495) 287-49-14, ext. 3141, mondrus@mail. ru-
Shutovskij Stanislav Nikolaevich — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129 337, Russia, 8 (495) 287-49-14, ext. 3141, shutovskii@mail. ru.
For citation: Anohin N.N., Dashevskij M.A., Mondrus V.L., Shutovskij S.N. Rasprostranenie garmoni-cheskoj volny pod odnojetazhnym protjazhennym zdaniem [Harmonic Wave Propagation Underneath Long One-Storied Buildings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, Issue # 2, pp. 47−51.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой