Линейная теория профиля в сжимаемом газе при дополнительном обдуве струей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XV 1 98 4 № 1
УДК 532. 522. 2:536.6. 011
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПРОФИЛЯ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ОБДУВЕ СТРУЕЙ
Г. А. Пав ловец
В рамках линейной теории рассмотрена задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. Получены выражения для скоростей течения на границах струи и формы этих границ. Для профиля произвольной формы задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения.
Приведены зависимости, иллюстрирующие влияние на подъемную силу профиля различных параметров струи и внешнего потока. Показано, что задача струйного обтекания профиля идеальным сжимаемым газом может быть сведена к аналогичной задаче для идеальной несжимаемой жидкости с несколько другими значениями параметров течения.
1. Рассмотрим струйное безвихревое течение идеального сжимаемого газа около заданного профиля (рис. 1, а). Пусть V& lt-*, М, & lt-7″ - скорость, число М и скоростной напор набегающего потока, соответствующие параметры струи на бесконечности — Vooi, Мь & lt-7001. Пусть хорда профиля равна единице, угол атаки а, функция f (x) определяет среднюю линию, a t (х) — симметричную часть заданного профиля. Предположим, что
«„1, i/i"1, i/-i"i, *"i, ick1'
т. е. выполнены основные предположения линейной теории профиля и возмущенные скорости малы по сравнению с характерными значениями скоростей невозмущенного потока.
Обозначим через /2(х) и f3(x) функции, определяющие форму верхней и нижней границ струй соответственно. Относительно этих функций будем предполагать
)A — h'- 1 I f'- I 1 |-/з + Ы^ 1 f'-
|*1−1-1 ^ 2* I ^ ' |х|+1
где hx и h2 — ординаты границ невозмущенного струйного течения.
В классической линейной теории крыла граничные условия сносятся с поверхности профиля на отрезок, расположенный по направлению невозмущенного потока. В рассматриваемой задаче
М, у
© X
0 1. X
М, Ч-т •с?
-
Рис. 1
струйного [обтекания профиля при ее линеаризации необходимо также снести условия на границах струи на линии у=Их и у=-Л2.
Таким образом, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей состоит в отыскании решения в полосе шириной к — + К с разрезом [0,1] (область
?& gt- 1), а также в полуплоскостях у (область 02) и У& lt-С. — ^ (область Оа) при соответствующих граничных условиях на верхней и нижней поверхностях разреза [0,1] и границах струи (рис. 1, б).
Пусть Ф, Ф2 и Ф8 — соответственно потенциалы скоростей безвихревого течения сжимаемого газа в областях и ?3:
(r)1 = + ерь Ф2= УооХ + & lt-ря- Ф3= 1/оод: -)-срз. Уравнения для по-
тенциалов возмущенных скоростей ср2 и & lt-р3 имеют обычный вид
(1)
(2)
& lt-1-м?>- о,
(1-М*)*1& quot- + = 0, (1 — т& lt-?-хх + ср'-уу = 0
Обратимся теперь к граничным условиям. На поверхности профиля (сторонах разреза [0,1]):
|у-*-+о= ^оо1(-“ + *. *+/*)» (3)
?-у1 ^-0=1/00! (-а -/-+/-). (4)
Условия непротекания на границах 'Струи:
I У-Ъ = ^оо½л:1 Тгу I ===
I У = -= Усеа/а*, ?зу у = -л3 — ^00/Зл-. (6)
Отличительной особенностью задач струйного обтекания тел является то, что форма границ струй заранее неизвестна и их требуется найти в процессе решения. Дополнительными условиями на границах струи являются условия равенства статического дав-
ления в струе и во внешнем потоке. В рассматриваемой задаче в линейной постановке эти условия могут быть записаны в виде:
Заметим, что производные /'-^ и /'-ах, связанные с формой границ струи, могут быть исключены из соотношений (5) и (6). В результате можем записать
Итак, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа состоит в решении уравнений (1), (2) при граничных условиях (3), (4), (7), (8). Форма границ струи может быть найдена затем путем интегрирования выражений (5), (6).
2. Решение уравнений (1) и (2) будем искать в виде
распределения источников и вихрей на границах.
Потенциалы (9) — (11) являются решениями уравнений (1) и (2) в областях /& gt-!, 1)2 и 03 соответственно. Для нахождения шести функций а, °12, °1з& gt- °2& gt- аз имеем шесть граничных условий (3),
Подставляя выражения (9) — (11) в соотношения (8) и выполняя необходимое интегрирование, получим
& lt-Р2л-1 & gt->-=*! — 991х | у = Л1, фз* | у=-Н, — ЯФ1х | у--кг"
(7)
где
I _У = Л, — ?2у | у=й," '-•?! у | у = -Н, —Зу | у=-Ла-
(8)
О 9
00
00
-00
оо
-со (X
— оо
— оо
Здесь 0 = ]/1-М2, $ 1~У-М*, а, 012, а13, с2, а3 и у -плотность
(4), (7), (8).
°3 Р °13 Р1

— со
оо
I Г а12 Р1________Р1Л______ Л I
+) 2л (*_$)2+{52дз^ +
1 1
+
I 2* (л: _5)2+р2А2^+| 2л (*_6)1 + раА*Л- (13)
Здесь
— во Оо 94 0 ' С-1 о О Т
а2 = у «а3== у ' а12='-у~& gt- °13 = уу а- у у Т „~у~ '
К 00 ^ СО оо 1 ос 1 оо1_ 001
После подстановки выражений (9) -(11) в соотношения (7) получим
Г° ^ & lt-*е. д Г ^ & amp- , — Г Ги 7−6 ^ ,
3 2л * _? ] 2тс х —? 9 ] 2л (* _ + в? Л2 ^
-00
1 1
2л (ЛГ — ?)2 + Р? Л2
+ ^|~^Г (*~5)* + Р1А1Л+^ (*-?)'+Р?^' (1^
00 ОО
Г °3 ¦ ~ Г °13 ^ ¦ - Г °12 -У -? ЛЕ I
3 2л х — 5 Ч } 2к х —? У 3 2л (х _ 5)2 р2 А2
+ -----2−2 Г-о1--------------------г-з^. (15)
2л (д: _5)2+р2Л2 2л (х_|)3 + р2Л2
Подставляя затем выражения для о2 и а8 из (12) и (13) в интегральные соотношения (14) и (15), получим
-со
1
00
-00
1
-?г--^Цг -Ь С -Р----------- 3 -. -<-*? =
2л *-? 3 2л (д-_5)2+р2Л2
Х | 2л (Л: _5)2+?2Л2Й^ + Х| 2л (х6), + р2АаЛ' О-6)
оо оо
Г ^ „_х Г ф. -=
J 2л * - 5 J 2л _ 5)2 + й2 А2
-оо -оо 1
= Х|'5Г (^_?). + Р1Д! Л_& gt-'-|"гг (Л!_е)"+р**!*46' *17)
х-гй- *-& amp-• (18)
Полученные соотношения (16) и (17) будем рассматривать как систему интегральных уравнений относительно функций о12 и о13. В силу линейности рассматриваемой системы интегральных урав-
где
нений ее решение можно искать в виде суперпозиции решения системы интегральных уравнений (16'-) и (17'-)
СО
I
Oi2 dZ
g13
X — с
dt
2* (*-Є)*+р?А?
d, (16'-)
jg A -: — XI* м д (|7'-& gt-
и решения системы интегральных уравнений (16& quot-) и (17& quot-).
х — ?
°13
g12 ^_____________________j, ________________
2к х — I- J 2п ¦00 -00
(X — 6)2 + Р- h?
1
С
Г 313 ^6________^ I °12
J 2л а: —? J 2тс _ „а і р2 Л2
— оо -00 4 '- 1 1
ОО
f
х — ?
(х-ї
_________X- 6
J & quot-2ІГ (л-_г)3 + р2А2
dS, (16& quot-) Л. (17& quot-)
Решение системы интегральных уравнений (16'-) и (17'-) будем искать в виде
і _
12
J13
+ 2
В“ (*-6)
& quot-(*-?)“ + pf (2*ft + ЛО2 iSi (* ~ S)2 + П & amp-kh ~ Лі)2.
і - Г 00
С*(х-6)
+ 2
Dk (х — 6)
?)* + ft (2АА + А2)2 & quot- (л: — ?)2 + ft (2*Д — Л,)а
d\
dl.
Подставляя эти выражения в условия (16'-) и (17'-) и выполняя необходимое интегрирование, для коэффициентов Ак, Вк, Ск) Dk получим следующие рекуррентные соотношения:
Ак-Dk, Вк-
---, I
= wk. j
(18)
С0 — X, Ок- ^Ак_і, Ск —
Отсюда следует
лЛ-----х"+“, вк=* С*=Х"+1, Я4 = -Х**.
Аналогично может быть найдено решение системы уравнений (16& quot-) и (17& quot-). В результате решение полной системы интегральных уравнений (16) и (17) имеет вид
°12 —
ОО, 1 _
___у X2fe + ГаР, (2к
к=О * J (х~~
(2kh + At) — 7 (х — ?)
?)3 + ^(2М + Лі)2
2 7… +
V-* - W Т Н
У *!!_ faPi (2to-Ai) + т (*-?) j? i я J (JC — Є)» н- р? (2ЛЛ — At)* '
_ У ^+1 аР1 (2*А +А2) + т (х-?) 5'-8 Й'-о я і (х-5)а+р?(26Л + Л2) з
1 _
I X С а$ (2кк Л3) 1 (х ^ r^t (°ГП
+ к ~ ] (^-5)& gt-+р-(2м-«!). „• (2и|
3. Итак, искомые функции а2, о3, а12 и о13 на границах струи
выражаются с помощью соотношений (12), (13), (19) и (20) в виде
сумм интегралов через функции о и 7, т. е. через распределения источников и вихрей вдоль хорды заданного профиля.
Опуская промежуточные выкладки, выпишем выражение для возмущенной скорости течения в струе на ее границах
со 1 _ _
І 1+Х V }1Ь С ° (х — 9 + 7Р1 (2?Л+Л,), е.
} (,_Е),+р-(2И + +
СО 1 _
4- 1 + Х & quot-У 12Й-1 Р ° (* - ?) — їРі (2кН — ^і) ле
2* 3 (а: -Є)"+Р?(2ЛА -АО* '
о
У 2к С °С* -?) — 7Р1.
^ (лг — Є)“ + Й (2АА + АО»
I !+& gt-¦
?и|у=-ла — -2^-
О
оо 1 _ _
, 1±1У «*_1 Г°(х-?) + тр!& lt-2АА -А»)
+ 2* & amp- } (*-?)*+ Р?(2*Л-Л2)' аК'-
Используя соотношения (5) и (6), можем найти также производные функций и /'-Зх, определяющие форму границ струи в линейном приближении
Рі (1 — А) ^ Г ар, (2кк + Л) — 7 (х — ?)
6)* + Р* (2АА + А,)*
о
1
& lt-й-
рг (1 — X) у. 2Й_! /• орг (2*А — АО + 7 (х — 6)
^ 2л? ^ (л: — Є)" Ч- р? (2*А — А0Я '
О
1
РіО& quot- Х) V рь ðг (2& amp-А + А2) + ТГ (-*-?)^ ^ ?==0 ^
^ (*-Є)* + РІ(2*А + А*)*
00 1
1 (1 — *•) V 12й-1 ðг (2М — А2) -т (х- 6)
!Ух"-«Г
2л ^ ] (лт — Є)* -Н р? (2АА — А*)*
4. Для определения искомых функций о и 7 воспользуемся граничными условиями на заданном профиле, которые в линейном приближении записаны в виде (3) и (4). Перепишем эти граничные условия в несколько другом виде
?іу | у-ч-о + ?іу I у-*-о = - 2 (а -/л), (21)
Тіу I ^-& gt--+0 — ?іу ! у-*~о= 2?*. (22)
(1%.
Используя выражения (9), (19) и (20) и осуществляя необходимые предельные переходы, получим
а ТГ '
1
ijTifl1 +"& lt-*. „)& lt-я.
(23& gt-
(24)
где
К (х, Е) _ 22 -2X!,+1 X
X
А=1 (-& quot-С-6)*
+
*=0 (х — 6)2
S (x, S) = 2 X2A+1
(х — 5)“ + Pi (2kh + 2*!)» (х — 5)2 + (2*А + 2Л2)2
Pi (2kh + 2ft3) р, (2kh + 2Aj)
*=o
(x — ?)2 + p'- (2M + 2Л2)2 (x — б)2 + pf (2kh + hj-
Таким образом, в линейной постановке задача обтекания профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа сводится к решению сингулярного интегрального уравнения (24). В общем случае это интегральное уравнение может быть решено численно известными методами [4, 5].
Отметим, что, в отличие от классической линейной теории профиля в неограниченном потоке, для профиля при дополнительном обдуве струей задачу обтекания не удается полностью разделить на задачу о симметричном обтекании профиля с толщиной и задачу обтекания бесконечно тонкого профиля под углом атаки. Такое разделение оказывается возможным лишь в случае Л,=Л2, т. е. когда заданный профиль помещен в середину струи.
Выпишем выражение для коэффициентов давления на верхний и нижний поверхности профиля в линейном приближении
1 1 1 + & lt-25>-
0 0 о
Здесь
м
(х, ?) = 22
2k.
Л
к =1
(X — 6)2 + '-
¦ № №
X
: +
к=0 х — ?
(х — g) a + pf (2kh + 2k])* (x — 6)2 + pf (2kh + 2Й,)2
В формуле (25) знак минус перед величиной f соответствует верхней поверхности профиля, знак плюс-нижней.
5. Рассмотрим частный случай профиля, расположенного в середине струи (h^ - h2) при равномерном распределении вихрей вдоль хорды (i = const). Форма такого профиля определяется уравнением
Согласно линейной теории в неограниченном потоке газа со скоростью V, х& gt- и числом Маха М! на бесконечности для такого профиля имеем
& lt-27>-
о
Используя известные результаты линейной теории профиля, запишем
1
То
где
=1+^. *28& gt-
о
Обозначим через су1 коэффициент подъемной силы профиля в неограниченном потоке (Л1 = Л2 = оо), через су — соответствующее значение для профиля при дополнительном обдуве струей. Тогда можно получить
1
Асу = 1 — су = АУ~^л йх & gt-
Д су
. 2у, ^+1- гл[о-^+р-*м2*+1)"ах_
к = о * х* + Р? Л2 (2* + I)2
-яЁ'--'ЧГ!& lt-29)
к=1 д& lt- * V +
Полученная формула (29) позволяет оценить подъемную силу профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. На рис. 2 приведены величины отношений Су/су1 в зависимости от параметра X (18) при различных значениях Случай обдува
струей соответствует отрицательным значениям X. Предельные случаи X = 1 и Х = - 1 соответствуют профилю в плоском канале и в свободной струе. На рис. 3 показано, как изменяется коэффициент подъемной силы профиля при дополнительном обдуве по сравнению с его значением су1 в неограниченном внешнем потоке в зависимости от ширины струи и ее интенсивности
(*=т?) —
6. Полученное выше в рамках линейной теории решение задачи обтекания заданного профиля сжимаемым газом при дополнительном обдуве струей зависит от следующих параметров: & lt-?, Р1Л1,1Н2. В случае идеальной несжимаемой жидкости решение соответствующей задачи будет определяться параметрами & lt-7, А1(Л2.
Покажем, что задача струйного обтекания профиля сжимаемым газом может быть сведена к аналогичной задаче для идеальной
несжимаемой жидкости с несколько другими значениями указанных параметров. Пусть в рассматриваемой физической плоскости течение в областях Ои ?& gt-2 и И3 описывается уравнениями (1) и (2). Положим
в области & lt-р1 = С1®1- х — х, у = -тгу,
Р1
в области Э2: ср2 -С2?2- х = х, у = (у — ^ Л,).
В преобразованной плоскости при = и С2 = -р- имеем
==0' Ъ77 + Ь7у = °& gt-
= ~сЖ'-?1у = Уюі/х, ?27 — =
Таким образом, в преобразованной плоскости (плоскости несжимаемого течения) струя имеет ширину РіЛ, а граничные условия непротекания на профиле и на границах струи записываются в прежнем виде. Условие равенства статических давлений во внешнем потоке и струе на ее границах в линеаризованном виде перепишем следующим образом:
001 Ч1~х С,& lt-х Т2* ««» ~х У 1~х
или -- (30)
?!001 Р Усо Уоо ^со!
где д =. Условие (30) можно рассматривать как условие
равенства статических давлений на границах струй идеальной несжимаемой жидкости при соотношении скоростных напоров струи и внешнего потока д.
Таким образом, задача обтекания заданного профиля сжимаемым газом при дополнительном обдуве струей ширины Л при числе на бесконечности и отношении скоростных напоров струи и внешнего потока & lt-7 полностью сводится к задаче обтекания этого же профиля идеальной несжимаемой жидкостью при дополнительном обдуве струей ширины кУ^ - Щ и отношении скоростных напоров д. При этом коэффициенты давления на профиле и его подъемная сила в сжимаемом газе и формально подсчитанные величины для струйного течения несжимаемой жидкости в преобразованной плоскости отличаются только сомножителем:
ср «р, ' су — ?! •
Полученный результат является обобщением известного правила Прандтля — Глауэрта учета сжимаемости на случай профиля при дополнительном обдуве струей.
Автор выражает благодарность В. М. Шурыгину за полезные дискуссии по данной проблеме.
Ю
1. Глауэрт Г. Основы теории крыльев и винта. — ГНТИ, 1931,
2. Карафоли Е. Аэродинамика крыла самолета. — М.: Изд. иностр. лит., 1956.
3. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. -М.: Машиностроение, 1977.
4. С м и р н о в А. И. К вопросу об определении циркуляции и подъемной силы произвольного тонкого профиля, помещенного вблизи земли. -Инженерный сборник, Т. IX, 1951.
5. Павловец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком,-Труды ЦАГИ, 1971, вып. 1344.
6. Павловец Г. А. Некоторые аналитические решения для плоских струйных течений с различными константами Бернулли в линейной постановке. -Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1632.
7. И в, а н т ее в, а Л, Г., Морозова Е. К. ПавловецГ. А. Расчет подъемной силы тонкого профиля с закрылком при обдуве струей. -Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2097.
Рукопись поступила 291VI 1982

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой