Рациональный численныи метод расчета арок произвольного очертания

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Строительство. Архитектура


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

рациональный численныи метод расчета арок произвольного очертания
THE RATIONAL NUMERICAL METHOD OF CALCULATING
ARCH
T.T. Чан, р.ф. Габбасов
T.T. Tran, R.F. Gabbasov
МГСУ
Предлагаемый в статье алгоритм расчета арок может быть использован в инженерной практике и в учебном процессе. Его достоинства — простота и достаточно высокая точность, благодаря чему он может быть реализован при небольшом числе разбиений и без использования ЭВМ
The proposed algorithm for calculating arches can be used in engineering practice and in teaching. Its virtues — simplicity and relatively high accuracy, it can be implemented with a small number ofpartitions and without the use of computers.
В настоящей статье в отличие от [1] предлагается для построения алгоритма использовать уравнения метода последовательных апроксимаций (МПА).
Воспользуемся приведенными в [1] дифференциальными соотношениями для криволинейного стержня, записанными в безразмерных величинах:
d 2m
drf dv dц
= - p — kn-
= kw + c n-
dn, dm
(1)--k- = -t-
drj d77
d2w d, ч (3) -- + - (kv) = - gm, d^ d^
(2)
(4)
где:
v = V
s Z Y -- p = -- t = - l q0 qo — n = N. qol'- m = M. qol 2'- EJ w = WJ- qol
EJо qol 4 k = - = Kl- с2 = R Jo. l2 F'- g = Jo J
(5)
В этих уравнениях: ^ - соответственно фиксированное значение нагрузки и момента инерции поперечного сечения- I — пролет- М — изгибающий момент, N — продольная сила, возникающие в сечении стержня- V, Ж и У, Z — соответственно тангенциальная, нормальная составляющие перемещения и нагрузки- EJ, ЕЕ — жесткость стержня на изгиб и продольные деформации- Я — радиус кривизны- ^ - координата, направленная вдоль оси стержня- положительные направления V и У считаются совпадающими с направлением

i+½j i+1 i+2
i
1−1
-7 h С-7 h С-7 h, «
л

Рис. 1
Аппроксимацию дифференциальных уравнений (1), (2) в точке I неравномерной сетки (рис. 1) выполним по МПА [2]:
'-mi1 -& quot-Л mi +~L~ (Л mi+1 + Ami Am'- =
= --у- kл «±y±L ki A» — & quot-2 (т'-р-1& lt-2 +Тм Рмп
n «-л «+i —
k (
ki+½ V
/2 У& quot- mi ~Ami+1
)= h
t-
i+½

(6)
(7)

Для точки I левого края аппроксимация (1) запишется так [2]:
п I — m. --


Ti+1 k nn -Ъ+L p • m-ki ni «pi+½ •m —
2
2
dm d77
-. (8)
& quot- i+1 & quot- i+1 В этих уравнениях:
г, — шаг неравномерной сетки слева от точки i- h — шаг равномерной сетки на горизонтальной оси f (рис. 1) —
в = cosa- ei+½, ti+½, k-+½, pt+½ — величины в, t, p и безразмерной кривизны k,
вычисленные в середине участка длиной h. На рисунке 1 эта точка показана крестиком- а — угол наклона касательной к оси арки.
Ami =Лmt -пmt • Am =лm -пm- А» = лnt -п», (9)
где Л — значение параметра решения левее точки i, П — правее. Величины шагов г вдоль оси ^ вычисляются по рекуррентной формуле [2]:
h
Ti = 6
1 4
— + -


(10)
Исключая с помощью (6) и (9) велечины п из (7), получим четырехчленное уравнение относительно безразмерных изгибающих моментов т- запишем его применительно к расчету реальных арок, когда Дт = 0:
ВЕСТНИК 4/2010
— + а, м — Ь, м
Л (
Т- Тг+1
т, + -- н--а- - Ь


Гг+1 Гг+2
г, г+1 г, г+1
/
= - - тл, к*г+1'-2 411+1

2 '- '-А
г+1'-2
2
— Рг-1'-2 +
1 а
V Гг
— а ¦ т +тАт'--т ¦ а ¦ Ат'- + -к Ап + ТмТ-+2 к, а Ап = (11)
г, г+1 4+2 '-,+1 2 2 г+1 г, г+1Ш'-г+1
Л
г, г+1
Рг+1'-2 аг, г+1 Рг+3'-2
Г,
(12)
Здесь: а-,-+1 =-- Ь-,-+1 = -Т?гг+1 = Г-+1 +Г-+2-
кг+1 2
Для определения внутренних усилий в расчетных сечениях трехшарнирной арки достаточно уравнений (11), (6), (8). Если арка статически неопределима, к этим уравнениям следует присоединить разностные аппроксимации дифференциального уравнения (4), что следует из [2]. Для внутренней точки сетки г:

Л 3 2 /
Г. г. г.
^ ±- М, = -gг, А тг -- г г+1 12 г г 12
V & quot-г+1 & quot-г у
для точки г левого края арки:
g г-1тг-1 + 5~ g гтг + ~ g г+1тг-
1 к + кг+1) 6
м Iк -кг+1 К V —
(Т2 ^ 1 + ^ к 2
— (13)
(14)
'-•?+1 12
gi 15 — 2^ ^ g-
т1 +| gi+l + g Д тм -1g Атм
где g 1 =
V dЛJi
— к'- =
^ ?к л
V

— м V- - заданные (в частности, нулевые) значе-
ния перемещении в опорной точке г.
2 И2
Для арок прямоугольного сечения по (5): с =-^, где- высота поперечного
сечения. Для реальных сооружений И & lt- -. Тогда с2 & lt- -1- Для арок и произволь-
I 10 1200'-
ного сечения можно положить с2 ^ 0. Тогда из (3) следует: = км. (15)
Выразим V- через м интегрируя (15) по правилу трапеций на участке длиной г.: Т,
V = +^г (кг-1 Щ-1 + к М г).
2
(16)
Интегрируя (15) по всей длине арки по формуле Симпсона [2], получим:
-
^-^=- 3
к1, т к
к
л
— и& gt-0 + 4 — ш + 2 — и& gt-2 +… + -и& gt-
а 0 а 1 а 2 а
(17)
где vn, мп — заданные значения перемещении в правой опорной точке п.
тг-1 & quot-
тг+1 & quot-
+
М+1 =
6
2
Алгоритм в [3] строится относительно неизвестных т, n, v и w. Он оказался довольно громоздким. Здесь алгоритм расчета строится относительно неизвестных m и w. Разностные уравнения (11) записываются для каждого расчетного участка i — i+1 (0 & lt- i & lt- n-1), (13) — для каждой внутренней расчетной точки i. В случае расчета бесшарнирной арки для опорных точек записываются уравнения типа (14). Система полученных алгебраических уравнений решается совместно с (17). После определения m и w безразмерные продольные силы Ani в каждой расчетной точке вычисляются по (6), для опорных точек — по (7). Для определения поперечных сил служит уравнение (8). Тангенциальные перемещения v можно найти, последовательно пользуясь формулой (16). Угол поворота wi'- можно вычислить пользуясь формулой (14).
Для арок постоянной жесткости (g = 1) уравнения заметно упрощаются. Для арки кругового очертания (k = const) при г = const все дифференциальные уравнения легко интегрируются вдоль оси щ. Поэтому во всех полученных выше разностных выражениях следует положить: h = г- в = 1. Из (11), например, как частный случай получим для круговой арки:
-1 -(з
2k2 т, -1
1) — mi+2 + г (Дт- - Дт-+1) + ^ k (An,. + AnM) =
(18)
= -г3 • k ¦ л
2 CPi'--½ Pi+312).
При расчете статически неопределимых арок на заданные перемещения опорных закреплений описанный алгоритм сохраняется.
В качестве первого примера была рассчитана круговая арка постоянной жесткости с сосредоточенной силой Pi = 1 в середине пролета при f = R = l/2 (рис. 2) — тогда
по (5) k = const = 2- безразмерная длина стержня ж/2. Решим задачу при минимальном числе разбиений полуоси (в силу симметрии) с шагом г = ж/8.
У
x (c)
r
1 1,5 2
0,5
0
l/4
l/2
q = 1
x
Рис. 2
Рис. 3
Если арка трехшарнирная, то т0 = т2 = 0, записываем (18) для участка 1−2 и находим = -0,1161. Погрешность по сравнению с точным результатом -0,1037 составляет 11,9%. По (10) п2 = -0,5204 (4,1%). При увеличении числа расчетных участков точность решения резко возрастает: при разбиении полуоси на 4 части г = ж/16- Ш1 = -0,1064 (2,5%) — П2 = -0,5057 (1,1%). При г = ж/32 Ш1 = -0,1042 (0,5%) — щ = -0,5009 (0,2%).
Если арка двухшарнирная, в приведенном выше четырехчленном уравнении следует положить ш0 = 0. Для точек 1 и 2 записывается уравнение (13) при к = г = ж/8- в = g = Дш2'-= 1- = к = 2- Дш1'- = 0- учитываются краевые условия и симметрия задачи. Эти уравнения решаются совместно с (17) при у0 = у2 = w0 = 0.
т
l
ВЕСТНИК 4/2010
Если арка бесшарнирная, т0 ф 0, w0'- = 0. К перечисленным выше уравнениям добавляется (14).
Результаты расчетов сведены в таблицу 1.
_Таблица 1
Расчетная схема Номер Точное Численное решение (m)
по рис. 2 точки на решение Количество участков на оси
рис. 2 (m) по [5] 4 8 16
Трехшарнирная 1 -0,1037 -0,1161 -0,1064 -0,1042
Двухшарнирная 1 -0,0393 -0,0462 -0,0405 -0,0396
2 0,0909 0,0992 0,0932 0,0914
Бесшарнирная 0 0,5 537 0,0608 0,0575 0,0558
2 0,7 571 0,0828 0,0775 0,0762
Известно [4], что МКЭ для достижения такой точности требует несравнимо большего числа разбиений.
Второй пример расчета — бесшарнирная арка параболического очертания с рас-
4! (
пределенной нагрузкой # = 1 по всему пролету: у = ХУ ~ х) (Риа 3). Пусть/ = //2-
тогда y = 2 x (l — x)-tga = - = - (/ - 2x) — 2 l dx l dx
dy 2,
dx
Результаты расчетов сведены в таблицу 2.
d y 4 J, d2 y 3
= -- k = ±-- ¦ l ¦ cos a. l dx2
Таблица 2
Точное решение по [5] Численное решение
Количество участков на оси
4 8 16 32
m2 0 -0. 0016 -0. 31 -7. 07E-05 -1. 7E-05
П2 -0. 25 -0. 2178 -12. 86% -0. 24 183 -3. 27% -0. 24 791 -0. 84% -0. 24 947 -0. 2%
Изложенный здесь алгоритм расчета можеть быть рекомендован для применения на практике. Его достоинства — простота и достаточно высокая точность.
Литература
1. Габбасов Р. Ф. Об одном алгоритме расчета арок произвольного очертания и переменной жесткости — Сборник материалов международной научно — практической конференции XXI века, часть I, МГСУ, ПГС, М. — 2000, с. 178−180.
2. Габбасов Р. Ф., Габбасов А. Р., Филатов В. В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики- М.: Изд. АСВ, 2008. — 273 с.
3. Габбасов Р. Ф. Эффективные численные методы расчета арок произвольного очертания — Изв. вузов. Строительство, 1999, № 10, с. 9−12.
4. Габбасов Р. Ф., Егоров A.B. Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету стержней кругового очертания в случае разрывных решений. — Исследования по строит. механике и надежности строит. конструкций / Сб. науч. тр. ЦНИИСК — М., 1992, с. 143−153.
5. Клейн Г. К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики -Москва «Высшая школа», 1975.
4/2010 ВЕСТНИК
Literature
1. Gabbasov R.F. An algorithm for calculating the arches of arbitrary shape and variable stiffness — Proceedings of the international scientific — practical conference XXI Century, Part I, MSUCE, Moscow — 2000, p. 178−180.
2. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Numerical construction of discontinuous solutions of problems of structural mechanics, M.:. ASV, 2008. — 273 p.
3. Gabbasov R.F. Efficient numerical methods for calculating the arches of arbitrary shape -Math. universities. Construction, 1999, № 10, p. 9−12.
4. Gabbasov R.F., Egorov A.V. Application of the method of successive approximations to the calculation of the rods of circular shape in the case of discontinuous solutions. — Studies on the building. Mechanics and reliability of the constructs. structures / Sience magazine — Moscow — 1992, p. 143−153.
5. Klein G.K. Guide to practical exercises on the rate of structural mechanics — Moscow Higher School, 1975.
Ключевые слова: численный метод, расчета арок, метода последовательных апроксимаций (МПА), алгоритм, арка, неравномерная сетка, бесшарнирная, трехшарнирная, внутренние точки, опорная точка.
Keywords: A numerical method, the calculation of arches, the method of successive approximations, algorithm, arch, irregular grid, hingeless, three-hinged, interior point, reference point
e-mail автора (ов): tung_misi@mail. ru Телефон/факс автора (ов): Тунг: 8926 — 793- 35 — 30
Рецензент: Доцент, кафедры Строительной механики МГСУ, к.т.н. В.В. Филатов

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой