Логико-алгебраический подход к изучению начальных разделов теории вероятностей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Б.Н. Дроботун
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ НАЧАЛЬНЫХ РАЗДЕЛОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предложен опыт изучения некоторых разделов теории вероятностей, способствующий углубленному усвоению понятийнотерминологической базы и методологических основ этой дисциплины посредством выявления и использования межпредметных связей.
В интеграционном подходе к изучению математических дисциплин явно прослеживаются две основные тенденции:
1) Слияние родственных дисциплин в одну.
2) Выявление и использование межпредметных связей.
Положительный опыт совместного изучения двух математических дисциплин показал, что тенденция слияния способствует, прежде всего, экономии временных затрат за счет устранения неизбежного дублирования и использования единой методологической базы, свойственной родственным дисциплинам. Но, с другой стороны, она порождает проблему выработки единой системы символических обозначений, общей терминологической базы, иерархии первичных понятий и определений, что далеко не всегда удается осуществить естественным образом в силу исторически сложившихся и, в известном смысле, канонизированных подходов к изложению содержания, методике и практике преподавания этих дисциплин. Кроме того, реализация этой тенденции связана с утратой тех специфических особенностей символики, системы понятий, отношений и зависимостей между ними, в которых в наиболее яркой и адекватной форме находит выражение содержательный смысл каждой отдельно взятой дисциплины.
Второе направление, оставляя исторически сложившееся деление математики на отдельные дисциплины, способствует их внутренней интеграции за счёт систематического использования идей и методов, наиболее свойственных одним дисциплинам при изучении других. При этом не только не утрачивается своеобразие форм и содержания, органично связанное с отдельными дисциплинами, а более того, происходит их обогащение. Отметим также, что при таком подходе мотивация необходимости изучения данной дисциплины наполняется новым смыслом, что способствует повышению интереса к её изучению.
Одним из недостатков математического образования в вузе является то, что при изучении различных дисциплин не выделяется синтаксическая составляющая математического языка и практически не акцентируется внимание студентов на его выразительных возможностях. Следствием подобной практики преподавания является то, что традиционная трактовка многих математических объектов представляется единственно возможной, и зачастую простейшая проблемная ситуация, связанная с задачей описания данного объекта в терминах другой системы понятий, не просто ставит студентов в тупик, а порождает недоумение, вызванное самим фактом постановки этой задачи. Таким образом, стереотипность мышления студентов — естественное следствие недоработок в преподавании. Подход к изучению понятий математики с различных точек зрения, основывающийся на естественных аналогиях, сравнении и выявле-
нии выразительных возможностей систем отношений, на которых базируются различные дисциплины (и различные разделы одной дисциплины), наиболее прямым путем содействует устранению этих упущений.
Изучению дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», согласно учебным планам высших учебных заведений по математическим специальностям, предшествует или осуществляется параллельно изучение курсов «Алгебра и теория чисел» и «Математическая логика», т. е. к моменту изучения этой дисциплины студенты обладают достаточно высоким уровнем логико-алгебраической культуры. В соответствии с этим имеются достаточно широкие возможности для использования понятий и методов математической логики и абстрактной алгебры при изложении многих разделов теории вероятностей [1].
В данной работе предлагается опыт изучения некоторых разделов теории вероятностей, способствующий углубленному усвоению её понятийно-терминологической базы и методологических основ, посредством выявления и использования межпредметных связей этой дисциплины с алгеброй и математической логикой.
В работе используется понятийно-терминологическая база, принятая в [2, 3].
АЛГЕБРА СОБЫТИЙ КАК АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ
Алгебраический подход к изучению случайных событий находит свое выражение в том, что системы случайных событий рассматриваются как своеобразные алгебры. Действительно, если через 5 * обозначить совокупность всех событий, которые могут произойти в результате проведения опыта 5, то множество 5 * относительно операций сложения, умножения и взятия противоположного события, т. е. относительно операций +, и «, соответственно, является замкнутым- достоверное событие и невозможное событие 0 играют в этой алгебре роль выделенных элементов, при этом событие 0 — нейтральный элемент относительно операции +, 05 — относительно операции ¦. Таким образом, мы приходим к алгебре
= (5*- ± •- 0- П,),
основные операции которой удовлетворяют тем же законам, что и логические и теоретико-множественные операции. Алгебраическая трактовка событий позволяет конкретизировать и уточнить определения некоторых понятий теории вероятностей, дать точное математическое обоснование возможности использования теоретико-множественной интуиции (в частности, диаграмм Эйлера-Венна) при работе с событиями.
На начальных этапах изучения курса «Теории вероятностей» (в частности, в подавляющей части раздела «Случайные события») рассматриваются опыты, охватываемые классической схемой, т. е. опыты, сводящиеся к схеме случаев (элементарных исходов или элементарных событий).
Для характеризации опытов, осуществляющихся по классической схеме, необходимо понятие пространства элементарных событий, что требует введения и изучения отношений над событиями.
На простейших примерах опытов 5 (типа бросания игральных костей- вынимания карт из колоды) можно привести примеры таких событий А, В е 5 *, когда появление одного из них гарантирует появление другого. Пусть, к примеру, опыт ^ состоит в вынимании карты из колоды- А — событие, состоящее в появлении пикового туза, В — событие, состоящее в появлении карты пиковой масти. Ясно, что А, В е 5 * и появление события, А влечет за собой появление события В. Более того, можно привести примеры и таких опытов 5 и событий из 5 *, когда появление любого из них влечет появление других. Пусть опыт 5 представляет собой бросание двух игральных костей. И пусть, А — событие, состоящее в том, что сумма очков, выпавших на костях, максимально возможна- В — событие, состоящее в том, что на каждой кости выпало больше, чем 5 очков- С — событие, состоящее в том, что число очков, выпавших на 1-й кости, делится на 6, а на второй — является корнем уравнения
X -12х + 36 = 0.
Нетрудно заметить, что появление любого из событий, А, В, С влечет за собой появление двух других, но назвать события, А, В, С равными будет, по-видимому, не совсем правильным, т.к. они сформулированы в терминах различных систем отношений. Обобщая эту ситуацию, можно сделать естественный вывод о том, что между событиями существуют определенные зависимости.
Определение 1. Пусть 5 — некоторый опыт
и А, В е 5*. Будем говорить, что:
а) событие В является следствием события, А (символически, А ^ В), если появление события, А влечет за собой появление события В-
б) события, А и В являются равносильными (символически, А = В), если В является следствием события, А и, А является следствием события В одновременно.
Приведем основные свойства введенных отношений:
1) А ^ А —
2) если, А ^ В и В ^ С, то, А ^ С-
3) если, А ^ В и В ^ А, то, А = В —
4) 0 -- А и, А -- 0§-
5) А = А —
6) если, А = В, то В = А —
7) если, А = В и В = С, то, А = С для любых событий А, В, С е 5 *.
Свойства 5)-7) показывают, что бинарное отношение ^ является отношением эквивалентности на множестве 5 *, стабильным относительно операций + и «алгебры S *, т. е. конгруэнцией. Это даёт возможность построить фактор-алгебру
? — +, •, —, 0, О),
1АкА,
— множество классов эквива-
где /--V & quot- /а е 5*
лентности 5 * по отношению =.
Свойства 1)-3) показывают, что бинарное отношение, определённое на фактор-множестве по
правилу:
(УА- В е 5*)(([ А]= ^ [В]_) О (А ^ В)),
является отношением частичного порядка.
Определив отношение ^ - «быть следствием» на множестве событий 5*, можно перейти к конкретизации понятия опыта (и, соответственно, пространства его элементарных событий), охватываемого классической схемой.
Определение 2. Будем говорить, что опыт ^ осуществляется по классической схеме, если из совокупности 5* - всех событий, появление которых возможно в этом опыте, можно выделить конечную подсовокупность 08, обладающую следующими двумя свойствами:
а) 08 — полная группа несовместных равновозможных событий-
б) для любого события, А е 5 * по появившемуся (в результате проведения опыта 5) событию Е е 08 можно достоверно судить о том, произошло событие, А или нет (т.е. какое из отношений Е ^ А- Е ^ А имеет место).
События из 08 называются элементарными, а сама подсовокупность 08 называется пространством элементарных событий опыта 5.
Условие б) определения 2, налагаемое на 08, позволяет для каждого события, А выделить подмножество 08 (А) множества 08, включающее в себя те и только те элементарные события, следствием которых является событие, А, т. е.
О (А) = {ЕIЕ е О, и Е ^ А}.
Элементарные события из П8 (А) называются благоприятствующими событию А. Таким образом, в терминах операции + получаем следующую характеризацию события, А е S*:
Если
п8(а) = {Е- ЕЕ}.
то, А = Е1 + Е2 +… + Е,.
Обозначим через В (08) множество всех подмножеств множества 08 (булеан множества 08) и рассмотрим булеву алгебру
В (П8) = В (П8) — и — п —
-
где и — п — - обычные теоретико-множественные
операции объединения, пересечения и взятия дополнения- 0- 08 — ноль и единица этой булевой алгебры соответственно.
Отображение ф: 5* ^ В (0 ?) основного множества алгебры ?* в основное множество алгебры В (08), определенное по правилу
(УА е 5*)(ф (А) = О, (А)),
является, как это нетрудно видеть, сюрьективным и удовлетворяет условиям
1) ф (А + В) = 08(А) и П,(В) —
2) ф (А• В) = 08(А)п08(В) —
3) ф (А) = 08 08(А) —
4) ф (0) = 0-
5) ф (^) = ^,
т. е. является гомоморфизмом алгебры S * на алгебру В (О,. -). Отсюда, на основании 1-й теоремы о гомоморфизмах алгебр, получаем, что фактор-алгебра ^ */
и алгебра В (О) — изоморфны: = В (08).
Несмотря на определенную очевидность равенств 1)-5), желательно предложить студентам доказать их методом включений, т.к. на этих равенствах и основывается возможность применения диаграмм Эйлера-Венна для геометрической интерпретации операций над событиями. Отметим, что такие интерпретации особенно важны при нахождении выражения одного события через другие (в терминах сложения, умножения событий и операции взятия противоположного события).
С целью осуществления самоконтроля в понимании теоретико-множественной трактовки систем событий целесообразно предложить студентам следующие вопросы и проблемные ситуации.
1) Пусть П8 содержит п элементарных событий. Сколько элементов содержит фактор-множество 5*/ = ?
2) Какое отношение в фактор-алгебре S * / = соответствует отношению равносильности, определенному в алгебре S± ?
3) Что представляют собой подмножества
О (А + В) — Ох (А) — (А • В) множества 08 ?
4) Найти ядро — кегф гомоморфизма ф: Д* ^ Д * / =.
5) Пусть
а е 5*, а = е + Е + •••+Е (Е е °8- '- =1,2__I).
Найти ф (А).
6) Показать, что отображение ф является отображением множества 5 * на множество В (08).
7) Пусть X е В (08). Найти хотя бы один прообраз Х при отображении ф.
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ КАК АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
Наличие глубоких межпредметных связей между математической логикой и теорией вероятностей обусловлено тем, что математический язык, пригодный для описания систем событий, возник первоначально в качестве символического языка одного из разделов формальной логики, который в современной математической логике
известен как «Алгебра высказываний». Создатель исчисления высказываний Д. Буль в монографии «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей», отчетливо указал на связь построенного им исчисления с основными понятиями теории вероятностей. Эта связь основывается на глубоких аналогиях между событиями и высказываниями [4], наличие которых и позволяет использовать для описания алгебры высказываний и алгебры событий один и тот же формальный аппарат. Приведем некоторые из этих аналогий:
1) Высказывание может быть или истинным или ложным- событие может произойти или не произойти.
2) Среди высказываний имеются тождественно истинные и тождественно ложные- среди событий — достоверные и невозможные.
3) Высказывание можно истолковать как утверждение об осуществлении некоторого события- каждое событие можно рассматривать как высказывание о том, что это событие произошло.
4) Между высказываниями возможна логическая связь- между событиями — причинно-следственная связь.
Трактовка алгебры высказываний как алгебры событий (вместе с другими представлениями хорошо известных математических объектов с позиций теории вероятностей) существенно расширяет ряд традиционных примеров (из области азартных игр), сопровождающих её изучение.
Через Ьп обозначим множество всех формул алгебры высказываний от п переменных простых высказываний А1- А- ¦¦¦- Ап. На множестве Ьп определены логические
операции & amp-- V- ^^& quot-, относительно которых оно замкнуто- тождественно истинное (И) и тождественно ложное (Л) высказывания являются нейтральными элементами относительно операций & amp- - V соответственно. Таким образом, система
= (Е- - v — ^ - ^ - ^ -И-А^
представляет собой непустое множество с определенными на нем логическими операциями & amp- - V — - о — & quot- и выделенными элементами И- Л ,
т. е. является алгеброй. Эту алгебру мы и будем описывать в понятийно-терминологической базе теории вероятностей.
Если, А = А (А1- А2-…- Ап) е Ьп, то для любого набора
а = (стр а2- ¦¦¦'-& gt- стл) (е {И- Л}, г = 1,2,…, п) значений для Ах- А,-Ап соответственно, А (ст1- а2-ап) будет
конкретным (истинным или ложным) высказыванием. Ранее отмечалось, что каждое высказывание можно истолковать как утверждение об осуществлении некоторого события. Это дает следующий естественный способ представления алгебры высказываний как алгебры событий.
Через Е обозначим множество всех упорядоченных наборов ст = (^-ст2ап} длины п, построенных из символов И- Л. В качестве опыта 5 будем рассматривать случайный выбор набора, а из Е. Так как число различных таких наборов равно 2, то число исходов опыта 5 конечно (и также равно 2& quot-).
Совокупность событий 5 * определим так: каждую формулу, А = А (А- А -¦¦¦- А) будем рассматривать как событие (и отождествим с этим событием), которое происходит (в результате опыта 5, т. е. выбора набора ст = (ст1- ст2-…- стп}) тогда и только тогда, когда
-а2= И. Тогда 5* = Ьп и логические операции & amp- - V — - о — & quot- превращаются в операции +, •, & quot-
над событиями соответственно.
Очевидно, что при таком толковании формулы, А как события оценкой меры возможности его появления является мера выполнимости формулы А, т. е. роль достоверного события будет играть тождественно истинное (И), а роль невозможного события тождественно ложное (Л) высказывание.
С учетом этого событие
Е = Е (А- АА) = А & amp- А2 & amp- •••& amp- а-» ,
Г А, если, а = И- где Л = ,
[А, если, а = л,
о = (о1-о2-… -оп) е Е- (/ е{1,2,… ,"}) можно отождествить с исходом опыта 5, так как формула Е истинна только на одном наборе О =(ц-О, а^. Таким образом, события {Е0 | О е Е} являются равновозможными.
Далее, т.к. V Е (А- А -¦¦¦'-, А) — тождественно истинная формула, то совокупность {Е0 | О е Е} образует полную группу событий. Кроме того, если а, те Е и, а Ф т,
то
Е (А- А -•••- А)& amp-Е (А- А -•••- А) = л.
Отсюда следует, что события {Еп | а е Е} попарно несовместны. Нетрудно видеть также, что для любого события, А = А (А- А -¦¦¦- А) по каждому исходу Еп опыта 5 можно однозначно судить о том, произошло событие, А или нет (т.е. какое из отношений Еп ^ А или Еп ^ & quot-Л имеет место).
Таким образом, для группы событий {Е0 | а е Е} выполняются условия а) и б) определения 2 предыдущего раздела. В соответствии с этим в качестве пространства элементарных событий нужно взять подмножество 08 = { Е0 | а е Е} множества 5 *.
Тогда роль подмножества 08 (А) (где, А е 5 *) будет играть подмножество
(Еа (А'-А| о = (а,-а, е Е и Л (р1 -а,-… -ал) = И}.
Проследив определения основных понятий для алгебры высказываний как алгебры событий, можно предложить студентам в качестве задания
для самостоятельной работы выявление аналогов других понятий и результатов теории вероятностей применительно к алгебре высказываний как алгебре событий. Для этого желательно сформулировать ряд вопросов и создать ряд проблемных ситуаций, определяющих основные направления этой работы.
1) Определить понятие вероятности Р (А) высказывания, А = А (А-АА) е ЬЙ как события.
2) Установить связь между множеством П5(А) и совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы, А = А (А- АА).
3) Пусть совершенная дизъюнктивная нормальная форма для формулы, А = А (А-А-•••-А) содержит к различных логических слагаемых. Найти Р (А).
4) Какие отношения являются аналогами логических операций ^ и о в алгебре событий?
5) Найти 05(А) для события, А = А (А- А- •••- А), где
А = ((А ^ А) V (А & amp- (А ^ А)) ^
^ (А V (А & amp- А)•
6) Выяснить, являются ли события
А (А- А, — А) = (А & amp- Аг & amp- А) V v (А & amp-А & amp- А) V (А & amp- А & amp-А)
и
В (А-А,-А) = (А & amp- А & amp-А) V
V (А & amp-А & amp-А) V (А & amp- А & amp- Аз)
совместными.
7) Сформулировать, используя понятие совершенной дизьюнктивной нормальной формы, условие совместности для произвольных событий
а = а (а-А- … -А) — в = в (А-А---А).
8) Привести примеры независимых событий из Ьп.
9) Выяснить, являются ли события
А (А- А, — А) = (А & amp- А & amp-А3) V (А & amp- А & amp-А)
и
В (А -А, -А) = (А & amp-А & amp-А)v (А & amp-А & amp- Аз) V v (А & amp-А & amp-А) V (А & amp-А & amp- А)
независимыми.
10) Найти условие независимости двух событий из Ьп.
11) Убедиться, что события
А (А -А 2 -А) = (А & amp-а2 & amp-А) V v (а & amp-А & amp-А) V (А & amp-А & amp- Аз)
и
В (А{ -А 2 -А) = (А & amp-А & amp-А) V (А & amp- А & amp- А)
зависимы и найти условную вероятность Р (В/А).
ЛИТЕРАТУРА
1. Дроботун Б. Н., Кадькалов В. Г. Алгебра высказываний как пропедевтическая база изучения алгебры событий. Реформы в Казахстане и инте-
грационные процессы в СНГ: Матер. междунар. науч. -практ. конф. Павлодар, 2002. С. 197−198.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2000. 479 с.
3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
4. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 318 с.
Статья поступила в редакцию журнала 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой