Локальная неустойчивость, долгоживущие возбуждения в слоистой среде и на поверхности цилиндрической оболочки

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Локальная неустойчивость, долгоживущие возбуждения в слоистой среде и на поверхности цилиндрической оболочки
В. В. Киселев, Д.В. Долгих
Институт физики металлов УрО РАН, Екатеринбург, 620 219, Россия
Предсказаны и аналитически описаны нелинейно-упругие солитоны вблизи порогов нестабильности слоистой среды и продольно сжатой цилиндрической оболочки. В данном случае солитоны являются концентраторами напряжений и одновременно предвестниками последующего пластического течения материала. Они несут информацию о геометрии и напряженном состоянии материала. Найдены условия формирования структур типа цепочек из солитонов гофрировки.
Local instability, the long-living nonlinear excitations and structures in layered media and on the surfaces of cylindrical shells
V.V. Kiseliev and D.V. Dolgikh
The nonlinear-elastic solitons are predicted and analytically described near the instability thresholds of multi-layered media and of the longitudinally compressed cylindrical shell. In this case solitons are stress concentrators and precursors of subsequent plastic flow of the material, carrying information about geometry and stress state of the material. The conditions of the formation of chain-like soliton structures are found.
1. Введение
При разных способах деформирования образцов наблюдаются волнообразные искривления отдельных слоев материала. Мы полагаем, что поперечную гофрировку испытывают наиболее сильно нагруженные слои среды при сдерживающем влиянии соседних слабонагру-женных, и потому устойчивых, слоев. Чтобы выявить особенности этого механизма, в [1] нами решена задача
о динамике сильно нагруженного слоя материала в форме пластины, стесненного двумя полупространствами с меньшими модулями упругости. Локальные изгибы среднего слоя предполагались сравнимыми с его толщиной, поэтому рассмотрение проведено в рамках теории конечных деформаций Мурнагана. Привлекательность теории Мурнагана в том, что в ней используется выражение для нелинейно-упругой энергии, содержащее все совместимые с симметрией среды инварианты тензора деформации, без привлечения априорных геометрических гипотез, справедливость которых трудно оценить количественно. Исходные уравнения теории конечных деформаций чрезвычайно сложны для анализа. Нами предложен специальный вариант теории возмущений,
посредством которого исходная система уравнений с контролируемой точностью по малым параметрам, характеризующим пространственно-временные масштабы деформации, геометрическую и физическую нелинейность среды, редуцирована к упрощенной нелинейной модели. Упрощенная модель корректно учитывает основные взаимодействия и, в то же время, допускает точные решения, описывающие изгибы среднего слоя среды. При этом феноменологические постоянные теории Мурнагана объединяются в небольшое число параметров, которые становятся эффективными модулями среды. Новизна подхода состоит в том, что нами решена нетривиальная краевая задача, в которой форма поверхности сильно нагруженного слоя среды заранее не известна, а найдена в ходе решения задачи. Особенности начальной гофрировки среднего слоя материала определяются в результате баланса краевых и размерных эффектов, ответственных за пространственную дисперсию среды, эффектов нелинейного взаимодействия близких неустойчивых мод, а также эффектов нелокального взаимодействия между слоями. Насколько нам известно, динамика таких нелинейно-упругих деформаций материала ранее не исследовалась.
© Киселев В. В., Долгих Д. В., 2004
Волнообразное искривление среднего слоя среды и его «дробление» на «солитоны гофрировки» происходят, начиная с некоторого критического внешнего напряжения, которое зависит от толщины слоя и материальных параметров среды, но должно быть меньше порога нестабильности среднего слоя. «Солитоны гофрировки» движутся со скоростями, не превышающими определенное критическое значение (они могут быть и неподвижными).
В данной работе предложенный подход мы проиллюстрируем на примере задачи о нелинейно-упругой динамике круговой цилиндрической оболочки вблизи порога ее неустойчивости. Оболочка подвергается сжатию вдоль образующей усилиями, равномерно распределенными вдоль ее кромок. К этому случаю сводятся многие задачи.
Эксперименты над реальными конструкциями показывают, что характер гофрирования оболочек совсем не такой, каким он рисуется из линейной теории. Более полное решение задачи, учитывающее локальные изгибы оболочки, сравнимые с ее толщиной, возможно в рамках нелинейной теории упругости. Нами построена упрощенная нелинейная модель, с помощью которой предсказаны и аналитически описаны солитоны изгиба поверхности продольно сжатой цилиндрической оболочки. Исследованы условия формирования солитонов в зависимости от внешнего напряжения, геометрических и материальных параметров среды.
2. Геометрия задачи. Основные уравнения
Пусть ось цилиндрической оболочки совпадает с осью Ох1 декартовой системы координат х" (я = 1, 2, 3). Перейдем от декартовой к цилиндрической системе координат, так как она лучше отражает симметрию задачи:
У1 = х1,
2 К, X + IX
У =т1п 2 ¦ 3 ,
21 х — IX
У3 =у1 (х3)2 + (х 2)2.
Здесь R — радиус срединной поверхности оболочки, |у3 — к| & lt- 2, d — толщина оболочки.
Метрика, определяющая расстояние между близкими точками недеформированного тела, имеет вид
gik = ^{1,(у VК)2,1}*
Лагранжев тензор деформаций оболочки есть
Ект = кУт + ^ тУк +V кУРУт },
где V" (у, 1) — координаты вектора смещения материальной частицы среды относительно локального репера, связанного с недеформированным телом (1-время) — V тУ!1 — абсолютная (ковариантная) производная от компонент V" вектора смещения:
dVs
V Vs =-- + Гs Vp
™ m mP
ду
В данном случае отличны от нуля только следующие из символов Кристоффеля:
Г23 =Гз22 = 1/ у3,
Г232 =- У У К 2.
В теории конечных деформаций нелинейно-упругая энергия материала записывается в форме разложения по инвариантам тензора деформаций, отражающим кристаллографическую симметрию среды. Для изотропной среды существует всего три независимых инварианта:
11 = ЕШ,
12 = ЕРЕШ,
Т = 77Р 77ш 77″
13 = ЕтЕ" Ер*
Далее будет выделена область пространственно-временных масштабов и внешних нагрузок, где можно ограничиться только следующими членами в упругой энергии тела ф (отнесенной к единице объема тела до деформации):
X т2 т, А С _з
ф= -11 + Ц12 + -13 + В1112 + -11*
Упругие модули X, ц, А, В, С предполагаем сравнимыми по порядку величины.
Уравнения нелинейной динамики оболочки имеют вид
-Ро d V +v sP'-s = о, pis = дФ + дФ v vi
dEis dEms m
(1)
где Р 0 = const — плотность среды в недеформирован-ном состоянии.
Граничные условия суть
Pik V Л c=6in d detlС'-
дСП
(2)
СП =8 П +V kVn.
Здесь, а — часть поверхности недеформированного тела, где заданы внешние напряжения 9!" — V — вектор нормали к а.
3. Редуктивная теория возмущений
Для упрощения исходных уравнений (1) введем малые параметры и перейдем к безразмерным переменным. Пусть I-характерный масштаб деформаций оболочки вдоль образующей I & lt-<- L ^ - длина оболочки), а и Тск = 1/д/ц/р0 — характерные амплитуда и время деформации (ц — модуль сдвига). Определим параметры е1 и е2, отражающие порядок малости амплитуд
а
смещений и толщины оболочки: е1 = а/Я, е 2 = ?/Я. Считаем изгибы оболочки сильными: е1 ~ е2 или, а ~ ?. Будем рассматривать оболочки, геометрические размеры которых удовлетворяют оценкам: е4 = ??Я = О (е2). Параметр е4 характеризует кривизну оболочки. Предполагаем, что внешние нагрузки приложены только вдоль кромок оболочки, а их величина есть 9п/ц = О (е^) + О (е4). Задача упрощается, когда нет внешних нагрузок О (е3) [2].
Этими условиями выделена область физических параметров задачи, в которой нелинейная динамика локальных изгибов оболочки может быть корректно описана в рамках более простой квазиодномерной модели.
Введем безразмерные переменные:
? = уЧl, П = (у3 — R)/d, т = ф
ch *
В случае осесимметричных деформаций оболочки поля смещений в безразмерных переменных имеют вид:
V1 = аи (?, п, т), V2 = 0, V3 = aw (?, п, т), а уравнения динамики (1) переписываются в форме це1 е2Э^2w = е2Э^Р31 + ЭпР33 —
— (1 + е4п) е 4 P 22 + -^- P33
(1 + Е4Л)
^u=е Э P11 +ЭПP13 ±LP13* П (1 +е 4П)
(3)
це1 е 2d2tu = е2Э^ P11 + ЭП P13 ±
Цель редуктивной теории возмущений состоит в том, чтобы путем введения «медленных» переменных X, Т свести достаточно сложную двумерную динамическую систему (3) к более простой нелинейной модели. Для построения модели будем искать решения уравнений (3) в виде:
u = u (0& gt-0) (X, T) + X Xu{n'1) (X, T, n) exp (ik/?),
n=1 /=-^
w = w (0'0) (X, T) + [w (0& gt-1) (X, T) expik, + c* c*] +
(4)
+ Е Еw (ПЛ (Х, Т, п) ехр (к®.
п=2/=-^
Здесь целочисленные индексы и и / определяют соответственно порядок слагаемых по параметру е1 и кратность гармоник, описывающих гофрировку поверхности оболочки. Условие вещественности полей предполагает ограничения: и (и,/^ * = и (и,-/^, w («,/^ * = w («,-/^.
Осесимметричное выпучивание оболочки начинается с формирования нейтрально-устойчивой линейной моды с волновым числом к0 при критическом внешнем напряжении 911 = 9Ип. Значения к0 и 9Ип находятся в процессе решения задачи:
9Пп = -(2,0) (Х/+ 2ц) = -2е4
ц (А'- + ц)
2d/"il+rt = 0(е, 2).
Здесь А'- = 2цА/(А + 2ц) — эффективный упругий модуль (в линейном приближении он определяет напряжения, появляющиеся при изменении элемента площади оболочки).
При внешних напряжениях, близких к 9lin, нелинейная динамика оболочки определяется неустойчивыми модами, волновые числа которых лежат в малой окрестности критического волнового числа k0 * Радиус окрестности зависит от того, насколько внешнее напряжение отличается от критического. Далее считаем (911 -9lin)/ц = = 0(е4)* Тогда с помощью параметра е1 можно определить медленные переменные: X = e1i, T = е1т, которые описывают модуляцию основной гармоники ^ exp ik0i в результате ее взаимодействия с близкими неустойчивыми модами. Нелинейные взаимодействия близких неустойчивых мод ведут к локализации изгибов на поверхности оболочки. Этим нелинейная задача существенно отличается от линейной эйлеровой задачи о неустойчивости оболочки.
После подстановки разложений (4) в систему (3) и приравнивания слагаемых одного порядка малости, получим цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений относительно «быстрой» переменной n, определяющей неоднородность деформаций вдоль нормали к поверхности оболочки. Напомним, что уравнения (2) не содержат дисперсионных слагаемых. Пространственная дисперсия локальных изгибов на поверхности тонкой оболочки в данной задаче появляется в результате исключения «быстрой» переменной n. Дисперсия имеет геометрическое происхождение: зависит от толщины, радиуса оболочки, краевых условий на ее поверхности. Важно, что баланс эффектов дисперсии и нелинейного взаимодействия близких неустойчивых мод, ответственных за гофрировку поверхности оболочки, приводит к возможности формирования солитонопо-добных кольцевых складок на поверхности оболочки вблизи порога ее неустойчивости. Поэтому краевые задачи вдоль нормали к поверхности оболочки (по переменной n) в предлагаемом подходе решаются аккуратно. Необходимые для решения краевых задач граничные условия получаются путем разложения по степеням малого параметра е1 исходных краевых условий (2).
При решении одномерных краевых задач по «быстрой» переменной n возникают произвольные функции от «медленных» переменныхX, T. Общая схема вычислений будет самосогласованной, если функции от «медленных» переменных, которые являются произвольными в первых порядках теории, в конечном итоге объединятся в блоки так, что получится замкнутая система уравнений, определяющая их эволюцию. Эта система и будет упрощенной моделью нелинейно-упругой динамики оболочки. Связи между функциями от «медленных» переменных, а также критические волновое число k0 и нагрузка 9lin следуют из условий разрешимости
краевых задач по переменной п. Замечательно, что предлагаемая схема удовлетворяет сформулированному критерию самосогласованное™ и дает следующую замкнутую систему уравнений:
э2 к (0Д) = -№ 1Г — рКи& gt-1>- +
+ 1(є1є2^)2(Х'- + 2ц) Э^(0,1) —
«(ОД).
— ^2(ЄіЄ2)2k06К
(5)
ЦЄ4 к^ЭТ + Э X
,(°Д)
,(4,0)
11
+, 1 (є, 8 2) і-04| } = 0.
Параметры р,1, д2 представляют комбинации упругих модулей среды.
Разные решения системы (5) соответствуют разным начально-краевым условиям по «медленным» переменным X, Т.
4. Солитонные возбуждения и структуры
Интересно, что система (5), описывающая нелинейно-упругую динамику локальных изгибов поверхности оболочки вблизи порога неустойчивости оболочки, формально совпадает с полученной в [1] при анализе совершенно другой физической задачи о гофрировке отдельного сильно нагруженного слоя материала в слоистой среде. Это указывает на универсальность упрощенных нелинейных уравнений.
Нелинейная модель (5) допускает точные решения следующего вида
ы (ад = А (X + VT) ехр{ЮТ + гкХ + гф 0},
а14,0) = С (4) -к (0,1) {,і(ЕіЕ2)2к0 +ЦЄі4(к0К)2}
(6)
где V, к,, ф0 — вещественные параметры, которые связаны между собой:
к = го/ Vc2, Vc2 = (Л'- + ц)(е 2 к0) 7зце?. Постоянная интегрирования с (4) определяется краевыми условиями. Функция А (Х) является решением дифференциального уравнения
(Э ХА)2 = аЛ2 +в А4 + с,
(7)
где c — еще одна постоянная интегрирования- параметры а, в выражаются через упругие модули, размеры обо-
При, а & lt- 0, в & gt- 0 ограниченные решения возможны только, если 0 & lt- с & lt- а'- г/2Р* Они описывают локализованные возбуждения на фоне кноидальной волны изгибов поверхности оболочки, бегущей вдоль оболочки.
Пространственно-локализованные нелинейно-упругие изгибы поверхности оболочки — «солитоны гофрировки» [3] формируются, если материальные параметры оболочки, внешнее напряжение, а также физические параметры складок удовлетворяют условиям c = 0, а & gt- 0, в & lt- 0. Простейший из солитонов (^ = к = 0) имеет вид
2у2а/|р|
к =
Л [Та (X + УГ)]
к)? + ф0).
(8)
лочки, зависят от V, к, с
(4)
Волнообразные искривления поверхности оболочки и их «дробление» на «солитоны гофрировки» (8) начинаются с некоторой критической нагрузки, которая определяется условием, а & gt- 0 и оказывается несколько меньшей по абсолютной величине, чем |9Ип|.
При с & gt- 0, 0 & gt- с & gt- - а2/2|в, а & gt- 0, в & lt- 0 существуют два типа цепочек из «солитонов гофрировки», которые отличаются друг от друга глубиной модуляций перемычки, соединяющей соседние солитоны цепочки.
5. Выводы
«Солитоны гофрировки» и цепочки из них являются концентраторами напряжений. Поэтому их можно считать предвестниками последующего пластического течения материала.
Параметры солитонов несут информацию о геометрических размерах оболочки и ее напряженном состоянии, поэтому солитоны могут быть полезны при диагностике напряженного состояния оболочки.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 04−01−96 107 и 03−01−100.
Литература
1. Киселев В. В., Долгих Д. В. Нелинейно-упругая динамика трехслой-
ной среды: солитоны поперечной гофрировки / Препринт. — Екатеринбург: УрО РАН, 2002. — 40 с.
2. Долгих Д. В., Киселев В. В. Двумерная модель динамики сильных изгибов нелинейно-упругой пластины // ПММ. — 2003. — Т. 67. -Вып. 2. — С. 300−314.
3. Долгих Д. В., Киселев В. В. Солитоны поперечной гофрировки в трехслойной среде // ПММ (в печати).
+

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой