Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА РОЛИКАХ БЕСКОНЕЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ*
М. Л. Боярская1, С. Б. Филиппов2
1. С. -Петербургский государственный университет, студентка, marusya1904@mail. ru
2. С. -Петербургский государственный университет, д-р физ. -мат. наук, профессор, s_b_filippov@mail. ru
1. Введение. Метод разложения решений в ряд Фурье по окружной координате для описания нелинейной деформации вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки был разработан П. Е. Товстиком [1]. Этот метод оказался эффективен и при исследовании малых колебаний такой оболочки.
В данной работе найдена нижняя часть спектра частот вращающейся на п роликах бесконечной цилиндрической оболочки. Выведена система линейных дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания оболочки. Для случая равномерного расположения роликов получены приближенные формулы для определения частот и форм колебаний. Проведено сравнение приближенных значений частот с результатами численного решения краевой задачи методом ортогональной прогонки.
В работе [2] данная задача была решена в частном случае п = 3, а численное решение найдено только для неподвижной оболочки. Рассматриваемая задача моделирует колебания центробежного концентратора, используемого для обогащения руд [3].
2. Приближенный метод решения задачи. В случае малых колебаний бесконечной цилиндрической оболочки с нерастяжимым меридианом, вращающейся с постоянной угловой скоростью 0, г, формулы для кинетической энергии Т и потенциальной энергии П, полученные в работе [1], можно записать виде
1 [2п
т = -Г0рк [г2{12 — + «2] скр, (1)
2 Jо
В С2п 1 С2п
П = П1+П2, и1 = - 02 & lt-1(р, П2 = -г0р1гП2г в2 & lt-1(р, (2)
2го Уо ^ 2 ]о
где
дш дш ЕЙ3
и& gt-4 = -Г-, '-Шф = --, в = V — Юф = -ги, В =
ЗГ * 8^ ^ * ' 12(1 — V2)'
г о — радиус оболочки, И — ее толщина, р — плотность материала, ш и V — проекции перемещений на нормаль и касательную, ^ - окружная координата, Е — модуль Юнга,
V — коэффициент Пуассона. Кроме потенциальной энергии изгиба Пі в выражение для П входит слагаемое П2, которое учитывает окружное растягивающее усилие, возникающее за счет действия центробежных сил.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10−01−244).
© М. Л. Боярская, С. Б. Филиппов, 2011
Приближенные выражения для фукнций w и v ищем в виде отрезков рядов Фурье:
N N
w (p, t) = [ak (t) cos k (p + bk (t) sin k& lt-^j, v (^, t) =
k=1 k=1
(3)
Подстановка (3) в (1) и (2) дает формулы
ak (t). j & amp-k (t) }
--sin kip H-cos kip
kk
= nrlhp 2
N 1 N 1
20,^ + 2ПГ (/г — -) (akbk — akbk) + (1 + ^ j (®fc + ^fc)
k=1 '- '- k=1 '- '-
, (4)
N
П = ]T{[D (k2 » !) + ^P^P2 — l)(«l + bl)}- (5)
2ro
o k=2
Пусть контакт j-го ролика и оболочки происходит по образующей цилиндра p = p,. Тогда при наличии n абсолютно жестких роликов имеют место уравнения связей
N
w (Pj, t) = E[ak (t) cos kpj + bk (t) sin kpj ] = 0, j = 1, 2,…, n. (б)
k=1
Запишем уравнения Лагранжа, считая ak и bk обобщенными координатами:
d (дТ дТ дП_^ dw{ipj, t) її 1 ял7 ~ 7Га7 + ~я7,7 ~ j
dt дак) дак дак f-'- 3 дак
/ j=i
d (дТ дТ | Ш dw (ipj, t)
j=1
d / дТ дТ дП
dtdbk) дЪк +дЪк ^ 3 дЪк
Здесь Л^- - множители Лагранжа, к = 1, 2, …, N. Подставив в эти уравнения выражения (4) и (5), получим уравнения малых колебаний кольца:
Л, —
ck (ik 2Qrdkbk -- ек^ 2 7 cos kipj
j=1 nroph
n
ckbk 2? lrdk (ik -- ek^ 2 T~ kipj,
j=1 nroph
где
1 1 2 2 D
Cfc = 1 + 77^, dk = к — -, ek = к — 1, П0 = -7- k2 k rgph
Введем безразмерные величины т, О и Л, по формулам
(Т)
r = Sl0t, О, = -г-, А,-= ^ (8)
О0 nD
и приведем систему (Т) к виду
n
ckak 20dkbk + ek [ek + 0 ]ak ^ ^ Лj cos kpj i
j
j=1
ckbk + 20dkak + ek [ek + 0 ]bk Л, sin kpj,
j=i
k = 1, 2,…, N.
Точкой в (9) обозначена производная по т. Уравнения (6) и (9) представляют собой систему 2N + п уравнений с 2N + п неизвестными ак, Ьк и.
Рассмотрим случай равномерного расположения роликов, для которого
2п (к — 1)
срк = --: ------, к = 1,2,…, гг,
к
и выберем N — п. После подстановки
Л Л^Т Г ТЭ ІШТ Т ІШТ
ак — Ак е і Ьк — Вке і е
в уравнения (6) и (9) получим систему линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными Ак, В к, Lj:
^2(cjk Ak + Sjk Bk) = 0, j = 1, 2,…, n, (10)
k=1
n
ak Ak + f^k Bk ^ ^ cjk Lj, k 1, *2, …, n, (11)
j=1
-pk Ak + ak Bk ^ ^ Sjk Lj, k = 1, 2,…, n, (12)
j=i
где
2njk. 2njk 2 2 л& gt- ,
Cjk COS, Sjk Sill, Clfc & amp-kGk ^ Cfc, [3k 2 ^ Ї? Cf.
nn
Частотами колебаний являются значения w, для которых система уравнений (10) — (12) имеет нетривиальные решения.
Пусть число роликов n = 2m + 1, где m — натуральное число. Ввиду того, что
2njk 2nj (n — k)
Cjk — COS — COS — Cj n- к і
nn
2njk 2nj (n — k) (13)
Sjk = Sin — = - Sin ---- = -Sj n-k, '-
nn
k = 1, 2,…, m, Cjn = 1, Sjn = 0, уравнения (10) принимают вид
m
^3[Cjk (Ak + AP) + Sjk (Bk — Bp)] + An = 0, j = 1, 2,…, n, (14)
k=1
где p = n- k. Система (14) представляет собой систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Xk = Ak + Ap, xm+k = Bk — Bp, k = 1, 2,…, m и xn = An. Если определитель этой системы Dn не равен нулю, то она имеет только тривиальное решение и, следовательно,
Ap = -Ak, Bp = Bk, An = °. (15)
Вычисления показывают, что определители D3, D5 и D7 отличны от нуля, но доказать, что Dn = 0 при любом n пока не удалось.
Из к-го уравнения системы (11) вычтем ее р-е уравнение, а к-е уравнение системы (12) сложим с ее р-м уравнением. Добавим к полученным 2 т уравнениям п-е уравнение системы (12). Принимая во внимание равенства (13) и (15), получим следующую систему уравнений:
Условие существования нетривиальных решений системы (16) дает уравнения частот
Аналогичные преобразования при четном числе роликов п = 2 т показывают, что и в этом случае частоты определяются по формулам (17), однако к = т соответствует одна частота
Полученные безразмерные частоты связаны с размерными частотами шг^ равенства-
жаются. Если О — 0, то вместо этих двух частот появляется одна кратная частота
где, А — произвольная постоянная.
Приближенные формулы (17) и (18) для п частот колебаний из нижней части спектра получены в случае, когда число членов рядов (3) N совпадает с числом роликов п. Если необходимо уточнить значения этих частот или найти другие частоты, то число N следует увеличить. Однако при N & gt- п частоты оказываются корнями алгебраических уравнений, имеющих четвертый или более высокий порядок, поэтому получить явные формулы для вычисления частот не удается.
(ак + ар)2 + (вк — вр)2 = 0і ап = 0і
положительные корни которых определяются по формулам
(ср + ск)
(17)
(18)
ми = О. о^], 3 = 1, 2,…, п.
При уменьшении угловой скорости вращения оболочки О частоты и сбли-
Превращение кратной частоты неподвижной оболочки в частоты и вращающейся оболочки называют расщеплением частот.
Нетривиальные решения, соответствующие частотам ш (к), ш (к), шп и ш (т), имеют вид
ш[к) — АеіШТ (е-ік& lt-* - вір^)і ю (к) — АеішТ (еікV — в-*Р*), шп — Аегшт яіп пр, шт — Аегшт яіп тр,
3. Численный метод решения задачи. Формулу для кинетической энергии (1) запишем в виде
г2п _ 1
Т= Т Т =-горЦг^О,^ - 2?}г (го1го (р--угго)--го^ --У^].
.)о 2
Функции ш и V удовлетворяют системе уравнений д (8Т д (8Т дТ
dt dwtj + d^ [д^- -^-Qv+N°ev~N'
д дТ д дТ дТ
dt 1 dvt) dip 1 dvv) dv
(19)
где N и Q — продольное и перерезывающее усилия, No = ph-Q^ -окружное растягивающее усилие, вызванное действием центробежных сил, в — угол поворота,
roQ = Mv, roM = Dev, гов = v — wv, vv + w = 0, (20)
M — изгибающий момент,
После подстановки выражения для плотности кинетической энергии T в уравнения
(19) они принимают вид
roph (wtt — 2Qrwtv + Qrvt) = Qv + Noev — N, roph (vtt — Qrwt) = Nv + Q. (21)
Перейдем в системе уравнений (20), (21) к безразмерным величинам по формулам (8), выберем D/r2 за единицу измерения усилий и, используя для безразмерных неизвестных те же обозначения, что и для размерных, получим
vv = -w, wv = v — в, ev = M, Mv = Q,
Qip = wTT — 2QwTV + QvT + N — Q2M, Tv = vTT — QwT — Q.
Решение системы (22) ищем в виде
w (p, t) = ws sin wt + wc cos wt.
Остальные неизвестные функции представляются таким же образом. Подстановка указанных решений в систему (22) и последующее приравнивание коэффициентов при sin wt и cos wt дают следующую систему 12 дифференциальных уравнений первого порядка:
df = Ay, (23)
ар
где y = (vs, ws, es, Ms, Qs, Ns, vc, wc, вс, Mc, Qc, Nc) T, T — операция транспонирования, а ненулевые коэффициенты матрицы A определяются по формулам
«1,2 = 0,2,3 = «6,5 = «7,8 = «8,9 = «12,11 = - 1, «5,2 = «6,1 = «11,8 = «12,7 = -W2,
«2,1 = «3,4 = «4,5 = «5,6 = «8,7 = «9,10 = «10,11 = «11,12 = 1, «5,7 = «6,8 = wQ,
«11,1 = «12,2 = -wQ, «5,4 = «11,10 = Q2, «5,9 = -2wQ, «11,3 = 2wQ.
В общем случае надо находить 2п-периодическое решение системы (23). При равномерном расположении роликов симметрия задачи позволяет ограничиться построением
решения в интервале у € [0, п]. В случае четного числа роликов решение должно удовлетворять граничным условиям
Vа = ш = 0а = Шс = Мс = М, у = 0, (24)
Vа = ша = ва = Шс = Мс = Мс, у = п. (25)
Если число роликов нечетно, то на образующей у = п ролик отсутствует, поэтому граничные условия (25) следует заменить условиями
Vа = 0а = Qа = Ш = Мс = Мс, у = П. (26)
Абсолютно жесткие ролики накладывают ограничения на перемещения и усилия в оболочке, которые выражаются равенствами
v+ = V-, ш+ = ш- =0, 0+ = 0-, М + = М-, Q+ = Q-, (27)
где величины с индексами + и — обозначают значения неизвестных функции справа и
слева от линии соприкосновения кольца и ролика у = у^.
Алгоритм численного решения задачи существенно упрощается, если вместо условий (27) использовать условия перехода через упругий ролик с безразмерной жесткостью сг:
v+ = V-, ш+ = ш-, 0+ = 0-, М + = М-, Q+ = Q- + сг ш-, М+ = N-. (28)
При сг ^ ж условия (27) переходят в условия (28). В программе расчета значение сг выбиралось так, чтобы при его увеличении в решении сохранялись три первых значащих цифры. Тем самым с заданной точностью было получено приближенное решение, соответствующее абсолютно жестким роликам.
Для определения частот колебаний использовалось решение системы (23) в виде
y = Е Ck y (k), (29)
k=1
где Ck — произвольные постоянные, y (k) — линейно независимые решения. Начальные условия для векторов y (k) при р = 0 выбирались так, чтобы решение (29) удовлетворяло граничным условиям (24). Методом Рунге-Кутты определялись значения векторов y (k) при р = п. Чтобы избежать возможной потери точности, связанной с появлением быстро растущих решений, на каждом шаге интегрирования проводилось ортонормирование системы из шести векторов [4]. При переходе через ролик координаты векторов преобразовывались по формулам (28).
Решение (29) удовлетворяет граничным условиям при р = п, если постоянные Ck являются решениями линейной однородной алгебраической системы из шести уравнений, коэффициенты которой представляют собой координаты векторов y (k) (п). Корни определителя этой системы, являющиеся безразмерными частотами колебаний, находились методом деления отрезка пополам.
Если Q = 0, то при w = wn, где wn находится по формуле (17), система (23) имеет нетривиальное решение ws =0, wc = sinпр, удовлетворяющее условиям (27), поэтому wn является точным значением частоты. Такую частоту имеет и неподвижная оболочка
без роликов. В случае О = 0, п = 2 т формула (18) тоже дает точное значение частоты ^(т), совпадающей с одной из частот оболочки без роликов.
В таблице представлены значения низших безразмерных частот колебаний для различного числа роликов п и двух значений безразмерной угловой скорости вращения оболочки О. В верхних строчках для указанных значений п и О приведены результаты, полученные по формулам (17) и (18), а в нижних — результаты численных расчетов методом ортогональной прогонки. Точные значения частот, выделенные жирным шрифтом, использовались для проверки корректности работы программы численного счета, выбора шага интегрирования и жесткости сг, входящей в условия (28).
Таблица
п П метод ш 1 и& gt-2 шя Ш 4 ш5 ш6
3 0 аналитический 1. 66 1. 64 1. 66 1. 64 7. 59 7. 59
численный
3 1 аналитический 1. 52 1. 50 2. 44 2. 36 8. 05 7. 94
численный
4 0 аналитический 2. 68 2. 68 4. 54 4. 39 4. 54 4. 39 14.6 14. 6
численный
4 1 аналитический 3. 10 3. 09 4. 03 3. 95 5. 74 5. 38 15.0 14. 9
численный
5 0 аналитический 5. 56 5. 54 5. 56 5. 54 8. 57 8. 11 8. 57 8. 11 23.5 23. 5
численный
5 1 аналитический 5. 09 5. 49 6. 08 6. 38 7. 43 7. 43 9. 88 9. 27 24.0 23. 9
численныи
6 0 аналитический 7. 59 7. 59 10.1 9. 94 10.1 9. 94 13.8 12.8 13.8 12.8 34.5 34. 5
численный
6 1 аналитический 8. 05 8. 03 9. 13 9. 47 11.1 11.2 12.3 11.9 15.4 14.1 35.0 34. 9
численный
Относительная погрешность, возникающая при вычислении частот по приближенным формулам (17) и (18), не превосходит 10%.
Литература
1. Товстик П. Е., Филиппов С. Б., Шмойлова Е. А. Нелинейная деформация вращающейся на роликах вязко-упругой бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 98−109.
2. Филиппов С. Б. Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 138−145.
3. Краснов А. А. Динамика центробежного обогатительного конуса с принудительно деформируемой эластичной стенкой // Обогащение руд. 2001. № 3. С. 34−38.
4. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16. Вып. 3. С. 171−174.
Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой