О совпадении фазового пространства уравнения соболевского типа с образом разрешающей группы в случае существенно особой точки в бесконечности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

О СОВПАДЕНИИ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОБРАЗОМ РАЗРЕШАЮЩЕЙ ГРУППЫ В СЛУЧАЕ СУЩЕСТВЕННО ОСОБОЙ ТОЧКИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
В. Е. Федоров *
Челябинский государственный университет «
В работе доказано совпадение фазового пространства линейного уравнения соболевского типа с образом его разрешающей группы операторов при некоторых дополнительных условиях на решение и на операторы в уравнении Построен контрпример, показывающий существенность ограничений, накладываемых на решение
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, разрешающие группы операторов, относительная резольвента, относительный спектр, фазовое пространство.
Пусть Ы, Т — банаховы пространства, операторы Ь? С (И- Т) (линей ный непрерывный), М € С1(ЫТ) (линейный замкнутый плотно определенный в Ы). Будем рассматривать линейное уравнение соболевского типа
Ьй = Ми. (1)
Его решением будем называть вектор-функцию и 6 удовле1во
ряющую уравнению (1).
1. Предварительные сведения
В [1] были введены в рассмотрение Ь-резолъвентное множество рь{М) = {ц е С: (рЬ — М)~1? С (ТЫ)} оператора М и I-спектр сгь (М) — С рь (М) оператора М. Если рь (М) ф 0, то построим правую Д?(АГ) =г {рЬ — М)'-Ч: рь (М) ?(И) и левую 1?(М) = 1{р1 — М)& quot-1: рь (М) -)¦ С (Т) Ь-резольвенты оператора М.
Отображение II* 6 С°°(К- С (1А)) называется однопараметрической группой разрешающих операторов уравнения (1) (разрешающей группой уравнения (1)), если
(и) Уио 6 Ы и (?) = и1и0 решение уравнения (1).
* Работа поддержана грантами РФФИ № 97−01−444 и Минобразования Р Ф, но направлению & quot-Математика"-
Разрешающая группа уравнения (1) называется аналитической, если отображение V: К, С (И) аналитически продолжимо во всю комплексную плоскость С с сохранением всех свойств (1) и (11).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Фазовым пространством уравнения (1) называется множество V С М, если
(?) любое решение и{1) уравнения (1) лежит в V, то есть Е II «(О е V-
(П) /ио 6 V существует единственное решение задачи Коши и (0) = и0 для уравнения (1).
Такое определение было введено в [1].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Оператор М назовем спектрально ограниченным относительно оператора Ь (или просто (X, а)-ограниченным оператором), если
За & gt- 0 У/л е С (И & gt- а) =& gt- - М)'-1 ?
Такие операторы рассматривались в [2], но назывались они там относительно ограниченными (?-ограниченными). Данное в определении 2 название более длинное, но зато подчеркивает ограниченность именно Ь-спектра, к гому же термин & quot-?-ограниченный оператор& quot- ранее уже использовал Като в [3], но совсем по другому поводу.
Следующие результаты были получены в [4- 5].
ТЕОРЕМА 1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, тогда существует аналитическая разрешающая группа уравнения (1), представимая интегралом типа Данфорда — Тейлора
и* = (2тп)& quot-11 я?(муЫц, «е к,

где контур 7 = {|/л| = г & gt- а}, константа — из определения 2.
Замечание. Из свойства (1) разрешающей группы следует, чю оператор Р := и0 — проектор.
Р = (2тт{)-1 I
7
Наряду с Р будем рассматривать проектор О'-.
Я = (2жг)& quot-1 У ЩМ)& lt-1ц.
7
Положим и0 := кегР, Ы1 := тР, := кегд, Я := кп?.
200 В Е Федоров
СЛЕДСТВИЕ. При выполнении условий теоремы 1 и = Ы^фЫ1,
Определим образ группы 1ти* {и? И: 32? 11 Эио € И и = 11* и о}. Очевидно, что в силу группового свойства образ группы совпадает с образом единицы группы Р: т1!* = IIх.
ТЕОРЕМА 2. При выполнении условий теоремы 1 действия операторов Ь и М расщепляются: Ь: Ык -& gt- Тк, М: с1от-& gt- Тк, где с! отМк = аотМ ПИк, к = 0,1.
Обозначим Ьь := Ь
, Мк: =М
и-*
dom мк
ТЕОРЕМА 2. В условиях теоремы 1 оператор М? И{Ы1-ТХ), существуют операторы М1? и Ь1? С{ТГ-, ЫХ). Замечание: Очевидно, что оператор Разложим ?-резольвенту оператора М в ряд Лорана:
{цЬ — М)-1 = {цЬ0 — М0у1{1 — 3) + - М^д =
СО оо
= -? ркнкм^{1 -д) +? к=0 к=1
где оператор II = М1 Ь0? С{Ы°), оператор 5 = Ь1 М? ОЫ1). Отсюда вытекает определение 3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точка? л = оо по отношению к операгор-функдии (/лЬ ~ М)& quot-х называется:
{)устранимой особой точкой, если II = О- ('-п)полюсом порядка р, если 3р? 14: Нр ф О, Яр+Х — О- {ш)существенно особой точкой во всех остальных случаях. Вся эта теория строится для решения уравнения (1) методом фазового пространства, разработанным в [4], когда кет Ь ф {0}, а оператор М — (Ь, & lt-т)-ограничен. Основным результатом теории, там же и доказанным, является теорема о совпадении образа разрешающей группы уравнения (1) и его фазового пространства.
ТЕОРЕМА 4. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, ?л = оо устранимая особая точка или полюс порядка р оператор-функции (?лЬ — М)~1. Тогда фазовое пространство уравнения (1) совпадает с образом группы
ш и*.
2. Основной результат
В статье доказана теорема, аналогичная теореме 4, для случая существенно особой точки в бесконечности, правда, при некоторых ограничениях.
ТЕОРЕМА 5. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, ц = оо — существенно особая точка Ь-резольвенты оператора М. Пусть существует константа с такая, что, начиная с некоторого к? N, ЦЯ^Ц & lt- С/к. Решениями будем считать аналитические функции. Тогда фазовое пространство уравнения (1) совпадает с образом группы rciU*.
Доказательство. Подействуем на уравнение (1) проекторами I — (5
и а.
((1-д)ьй = (1-д)Ми, 1 дьй = дми.
Это равносильно, согласно теореме 2, следующей системе:
Г 10й° = Мои0, ?1 и1 = Мги
где и = и0 + и1, и0 = (I — Р) и € Ы0, и1 = Ри? Ы1. В силу теоремы 3 получим
Нй° = и0, й1 = Би1.
Отсюда следует, что и0 — Ни0 — Н2и° = … = Vfc 6 N. По условиям
теоремы решение и°(т) целая функция:
V) = ?
к-О
(г — & lt-1ки°у)
к
сИк
е с.
Таким образом,
_1
к
4ти°(0| 0 пРи к 00 V/е с.
Шк I
Оценим норму для любою Имеем
И"°(0||
фУ)
& lt- IIНк

& lt-
к

«°(0
при к -& gt- оо. Получим, что -» 0 при к -& gt- оо € С, то есть = 0. Поэтому V С vtU*.
Докажем обратное включение. Возьмем и0 6 Оператор Ь ограни чен, поэтому по теореме Коши существует единственное решение и (1) = ехр (31)и0 задачи Коши для уравнения й1 = Ти1, а следовательно, и для уравнения (1), так как другая составляющая решения = С/4г/о = Vх0 = О Уг 6 К. Теорема доказана
202 В.Е. Федоров
Следующий контрпример взят из [4].
3. Контрпример
Пусть
U = Т
Тогда
М = I, Lu = U2
из 2 '-
ик
Нки — f-y-p-V к!
Uk+2
1'-
(п — 1)!м/г+
я = M_1i = I.
'-(fc + 1)!'-'-& quot-'- (jfe + n- 1)!'-& quot-'-
Il^lk»)
= iK/i//-/)-1!
ХУ*
i fc!& quot-
k-0
& lt-5>-iW
k=0

Таким образом, М — (X, а)-ограничен (в определении 2 константа, а & gt- 0 произвольна).
Следовательно, ?-резольвента целая функция. Поэтому Г'- = О Ё 11. Отсюда? т (У'- = {0}, кег?7& quot- = Ы. Но если, в отличие от условий теоремы, решения будем определять в классе, скажем, С^Ц-Т, 1)-?/), то задача Коши и (0) = 0 для уравнения (1) в данном случае будет, кроме тривиального решения = 0, иметь еще решение и (1) = & lt-2/2,/3/3,…). Этот контрпример подчеркивает необходимость вышеупомянутых ограничений в теореме 5.
В заключение хотелось бы поблагодарить Г. А. Свиридкжа за идею этой статьи и многочисленные советы.
Список литературы
1 Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 2. С 250−258
I. Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнении типа Соболева с относительно ограниченным оператором // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 4. С. 828−831
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир, 1972.
4. Свиридюк Г. А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: Дис. … д-ра физ. -мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 1993. 213 с.
5. Бокарева Т. А, Иг& lt- ледоьание фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами Дис.. канд фи 1. -маг наук. (T1Q-РГПУ им. А. И. Герцена, 1993. 107 с.
SUMMARY In the paper we show thai under some assumption on solution and on operators from linear Sobolev-type equation its phase space coincides with the image of its resolving group of operators.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой