О совпадении класса бент-функций с классом функций, минимально близких к линейным

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2012 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 3(17)
УДК 519. 719. 325
О СОВПАДЕНИИ КЛАССА БЕНТ-ФУНКЦИЙ С КЛАССОМ ФУНКЦИЙ, МИНИМАЛЬНО БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ1
В. И. Солодовников
Академия криптографии Российской Федерации, г. Москва, Россия
E-mail: vis0707@rambler. ru
Продолжается начатое ранее исследование вопросов близости функций из (Z/(p))n в (Z/(p))m (p — простое) к линейным функциям. Найдены новые критерии абсолютно минимальной близости функции к линейным. Доказывается, что такая минимальность функции наследуется её гомоморфными образами. Обобщая хорошо известный для булевых функций факт, доказывается, что для p = 2, 3 класс всех абсолютно минимально близких к линейным функций совпадает с классом бент-функций.
Ключевые слова: близость функций, абсолютно негомоморфные функции, минимальные функции, бент-функции.
Нам потребуются следующие обозначения, терминология и результаты работы [1]:
— X, Y — нетривиальные аддитивные конечные абелевы группы-
— YX — множество всех отображений f: X ^ Y из множества X в множество Y (термины «отображение» и «функция» считаем синонимами) —
— - композиция отображений, при которой ^ действует первым-
— Hom (G, H) -множество всех гомоморфизмов группы G в группу H-
— Z — кольцо целых чисел, Z/(k) -кольцо вычетов по модулю k-
— P — равномерное вероятностное распределение на X, то есть
P (A) = |A||X|-1 для любого A С X.
Функция f: X ^ Y называется сбалансированной, если мощности полных прообразов всех элементов Y одинаковы.
В работе [1] близость двух произвольных функций f 1, f2 Е YX измеряется корнем из дисперсии
(|Y|-1 Е (P (fi — f2 = y) — |Y|-1)2)2.
y? Y
В работе [2] предложено нормировать эту величину так, чтобы она достигала 1, то есть в качестве меры близости функций рассматривать
(|Y|(|Y| - 1)-1 Е (P (f1 — f2 = У) — |YI-1)2)1.
y€Y
Это позволило упростить многие формулы. С целью дальнейших упрощений здесь мы откажемся и от корня. А именно, близость 5 функций f1, f2 Е YX определим равенством
5(ff = |Y|(|Y| - 1)-1 Е (P (f — f2 = У) — |YI-1)2, (1)
y€Y
1 Работа выполнена в рамках НИР, проведённой в Академии криптографии Российской Федерации в 2010 г., и является расширенным вариантом статьи (добавлены теорема 5 и второй абзац снизу до
списка литературы, изменены некоторые обозначения), опубликованной в журнале «Математические вопросы криптографии», 2011, т. 2, вып. 4, с. 97−108.
а близость классов функций К1, К2 С Ух -равенством
^(к1,к2)= тах ^(/1, /2).
П€к1,
/2 €К2
Близость 8 обладает следующими свойствами:
0 ^ 5(f1,f2) ^ 1- (2)
^(f1, f2) = 0 ^ f1 — f2-сбалансированная- (3)
?(fb f2) = 1 ^ f1 — f2 = const- (4)
^ (f 1, f2) = 5(f2,f1) — (5)
%1 + g2f1g1 + f '-^2 + g2f2g1 + f0 = ?(fb f2) (6)
для любых f1, f2? YX, сбалансированной g1: X'- М X, изоморфизма g2: f'-: X'- М Y'-, y1, y2? Y'-.: Y М Y'-,
Свойства (2)-(4) означают, что минимально близкие функции — это функции, разность которых сбалансирована, а максимально близкие функции — это функции, разность которых есть константа.
Для любого a? X подстановку x М a + x множества X будем обозначать через a+. Все такие подстановки называют сдвигами группы X. Они образуют изоморфную группе X группу подстановок, называемую группой сдвигов (или группой Кэли) группы X (в теории представлений групп такое представление X называют регулярным).
Гомоморфизмы h? Hom (X, Y) по определению обладают следующим характерным свойством: ha+ - h = const для всех a? X {0}. Поэтому естественным (в силу свойств (2)-(4)) является следующее определение, обобщающее определение «совершенной нелинейности» в [3].
Функция f: X М Y называется абсолютно негомоморфной, если для любого a? X{0} функция fa+ - f является сбалансированной, то есть
¦Hfa+.f) = 0. (7)
Множество всех абсолютно негомоморфных функций из YX обозначается через AN (YX). В частности, AN (YX) = 0 при |X| & lt- |Y|.
К понятию абсолютной негомоморфности можно подойти не только с алгебраической, но и с криптографической стороны. А именно, пусть G — некоторая группа подстановок множества X, fG = {fg: g? G} - класс функций, порождённых функцией f? YX и группой G. Пусть в некоторой криптосхеме имеется узел, реализующий функции из f G, где элементы группы G являются ключами. Тогда величины ^(fgi, fg2), gi, g2? G, характеризуют степень изменения этого узла ключами из G: чем ближе эти величины к 0, тем сильнее подстановки из G изменяют функцию f. Наоборот, если величина ^(fgi, fg2) близка к 1, то ключи g1 и g2 называют близкими. Поскольку, в силу (6), ^(fg1,fg2) = ^(fg1g-1, f), то достаточно рассматривать только величины ^(fg, f), g? G. В частности, когда G — группа сдвигов группы X, получаем, что абсолютно негомоморфные функции — это функции, которые максимально изменяются сдвигами, то есть соответствующие узлы не имеют различных близких ключей-сдвигов.
В работе [1] доказано, что если группа G транзитивна, то для любой f? YX f 0) = |Y|(|G|(|Y| - 1))-1 E (P (fg = f) — |Y|-1)
geC
и, в частности, для любого Н? Нот (Х, У)
¦5(М) = |У|(|Х|(|У| - 1))-1 Е (Р (/а+ - / = Н (а)) — |У|-1). (8)
а€Х
Приведём некоторые свойства абсолютно негомоморфных функций.
Если /? АЖ (УХ), Н? Нот (Х, У),: X/ ^ X -изоморфизм, #2: У ^ У/ -эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм групп), с? X'-, Ь? У'-, Н? Нот (Х'-, У'-), то
?(/, Н) = |Х |-1- (9)
Ь + Н + #2/#1С+? АЖ (У/Х). (10)
Из формулы (9) следует, что абсолютно негомоморфные функции одинаково близки к любому гомоморфизму, а также что они не являются сбалансированными, поскольку сбалансированность равносильна условию $(/, 0) = 0. В частности, абсолютно негомоморфные функции не могут быть биективными.
В соответствии с теоретико-автоматной терминологией и с учетом групповой структуры алфавитов, пару (а, в) гомоморфизмов, а? Нот (Х, X/) и в? Нот (У, У/) назовем гомоморфизмом функции /: X ^ У в функцию //: X/ ^ У/, если в/ = //а. Если, а и в — сюръекции, то гомоморфизм (а, в) назовем эпиморфизмом, а функцию // - гомоморфным образом функции /. В этом случае для любых, а? X и у/? У/
Р/(//(а (а))+ - // = у/) — И-1 = Е (Р (/а+ - / = у) — |У|-1), (11)
уев-1(у'-}
где Р/(А/) = |A/||X/|-1 для любого А/ С X/, и следовательно, справедлива
Теорема 1. Если (а, в) -эпиморфизм функции /? АЖ (УХ) в функцию
//: X/ ^ У/ и |У/| & gt- 1, то, а — изоморфизм и //? АЖ (У/Х'-).
Минимальная близость функций из УХ к гомоморфизмам обозначается через
?0(УХ)= тт ?(/, Hom (X, У)).
Минимальными называются функции, минимально близкие к гомоморфизмам, то есть функции /? УХ, для которых
?(/, Нот (^У)) = й (УХ).
Множество всех минимальных функций из УХ обозначим через М (УХ).
Заметим, что минимальные функции существуют всегда, в отличие от абсолютно негомоморфных функций.
Хорошо известно, что любая абелева группа изоморфна прямому произведению аддитивных групп колец вычетов. Поэтому, и в силу формул (6) и (10), без ограничения общности далее считаем, что
п т
X = п 2/№), У = п 2/& amp-),
г=1 7=1
где п, т — произвольные натуральные числа, к1,…, кп, ^1,… ,^т — произвольные большие 1 натуральные числа.
В работе [1] для функций из УХ введено понятие бент-функции как функции, обладающей следующим свойством: в разложении композиции её и любого неединичного
неприводимого (комплекснозначного) характера группы У по неприводимым характерам группы X модули всех коэффициентов (они называются коэффициентами Фурье) одинаковы. Множество всех бент-функций из УХ обозначим через В (УХ).
Это определение обобщает определения работы [4] (для булевых функций, то есть т =1, к1 = … = кп = ^ = 2), работы [5] (для к1 = … = кп = ^ = … = Ьт = = р — простое число, т делит п) и может быть сведено к определению работы [6], где бент-функции определяются как комплекснозначные функции на конечной абелевой группе с единичными модулями всех значений и условием равенства модулей всех коэффициентов Фурье. Для случая т =1, к1 = … = кп = ^ ^ 3 определение из [1] сужает определение бент-функции в [7] (где участвует только один характер группы У), но в [7] доказано, что при простом1 эти определения равносильны. В замечательной книге [8] приводится обстоятельный обзор бент-тематики.
В [1] доказано:
АЖ (УХ) = В (УХ),
что распространяет соответствующие результаты работ [4, 5, 7] на случай произвольных конечных абелевых групп X и У.
Для любого Н? Нот^, У) матрица гомоморфизма Н
АЬ, (аг, 7 + (^7))пхт
определяется равенствами
Н (ег) (аг, 1 + (^1) ,.. , аг, т + (^т)) ,
еА = ((к1),.. , (кг-1), 1 + (кг), (кг+1),.. , (кп)), % = 1,.. , П.
Она обладает следующими свойствами:
(кг,^7)
1 аг, 7 (12)
для любых % = 1,…, п, ] = 1,…, т (здесь (кг,) -наибольший общий делитель чисел
кг и7, а, а | Ь обозначает, что, а делит Ь),
Н ((х1 + (к1),…, Хп + (кп))) = (х1,…, Жп) АЛ
для любых ж1,…, жп? Z. Следовательно, матрица А^ однозначно определяет сам гомоморфизм Н. Наоборот, если, А = (аг, 7- + (?7-))пхт — произвольная матрица со свойством (12), то соответствие На: X ^ У, определяемое равенством
На ((х1 + (к1),…, Хп + (кп))) = (х1,…, Хп) А,
является гомоморфизмом групп. Таким образом, между Нот^, У) и всеми матрицами со свойством (12) существует взаимно-однозначное соответствие и, следовательно,
|Н°т (^У)| = п (кг,^7).
г=1,…, п,
7=1,…, т
Следующая, доказанная в [1], теорема распространяет известный результат работы [9] для булевых функций на случай абелевых групп.
Теорема 2. Если кг|?7- для любых % = 1,…, п, ] = 1,…, т, то для любой функции /: X ^ У набор чисел
(Р (/ = у + Н): у? У, Н? Нот^, У))
однозначно определяет функцию /.
Следующие две теоремы (см. [1, 3]) сводят случай многомерного У к одномерному и обобщают теорему 3 из [5].
Теорема 3. Если кг = ?7 =? для любых % = 1,…, п, ] = 1,…, т, то для любой /: X ^ У следующие свойства равносильны:
1) / - сбалансированная-
2) Н/ - сбалансированная для любого эпиморфизма Н: У ^ Z/(^).
Теорема 4. Если кг = =? для любых % = 1,…, п, ] = 1,…, т, то для любой
/: X ^ У следующие свойства равносильны:
1) /? В (УХ) —
2) Н/? В^/(*)Х) для любого эпиморфизма Н: У ^ ^/(?).
Лемма 1. Следующие свойства равносильны:
а) для любых х? X{0}, у? У существует Н? Нот^, У), такой, что Н (х) = у-
б) к1 = … = кп = ?1 = … ?т = р — простое число.
Доказательство. Импликация б ^ а очевидна, так как в случае б гомоморфизмы являются линейными отображениями (функциями) векторных пространств над полем Z/(p). Наоборот, пусть выполнено а. Тогда, в силу (12), | кг для любых
% = 1,…, п, ] = 1,…, т. Для любого Н? Нот^, У) в Н (?7-ег) ]-я координата равна 0 и, следовательно, = кг = р = с1с2, где с1 & gt- 1. Тогда с1Н (с2е1) = 0 для любого Н? Нот^, У) и, следовательно, с2 = 1. ¦
Условие, а существенно для дальнейших рассуждений. Поэтому далее рассмотрим только случай выполнения условия б леммы 1, р & gt- 1, который назовем примарным (или р-примарным), при этом функции из УХ — примарными (или р-примарными). В этом случае гомоморфизмы из Нот^, У) являются линейными функциями (отображениями векторных пространств) и
|Нот (^У)| = |У |п = рпт.
2-Примарный случай называют двоичным. Двоичный случай для т = 1 называют булевым. С практической точки зрения оба эти случая наиболее интересны.
Теорема 5. Для р-примарного случая следующие утверждения равносильны:
1) В (УХ) = 0-
2) выполняется одно из условий:
р =2, 2 | п и п ^ 2 т, р ^ 3 и п ^ т.
Доказательство. В [3, 5] указаны следующие два примера абсолютно негомоморфных функций. Если 2 | п, то операция умножения в поле ОЕ (рп/2) является абсолютно негомоморфной функцией ОЕ (рп/2)2 ^ ОЕ (рп/2). Если р ^ 3, то возведение в квадрат в поле ОЕ (рп) является абсолютно негомоморфной функцией ОЕ (рп) ^ ОЕ (рп). Отсюда и из свойства (10) следует справедливость импликации 2=& gt- 1.
Наоборот, пусть выполнено утверждение 1. Тогда, по определению сбалансированности, п ^ т. Пусть р = 2. В [3] доказано, что если /: X м У — бент-функция, то мощность полного прообраза любого у? У при отображении / равна 2п/2-тк (/, у), где к (/, у) -нечётное число (в частности, любая двоичная бент-функция сюръективна). ¦
В [1] доказана
Лемма 2. Для любой примарной /: X м У
|У 1-п Е *(/, Н) = IX |-1.
еЫош (Х, У)
Доказательство. Приводимое ниже доказательство проще, чем в [1], и не использует коэффициенты Фурье.
Для любого, а? X{0} отображение Нот^, У) м У, где Н м Н (а), является гомоморфизмом групп, который сюръективен в силу леммы 1. Тогда, в силу (8),
|У 1-п Е *(/, Н) =
^€Ыош (Х, У)
= |У 1-п|УI (|X|(|УI — 1))-1(|У|п (1 — |У|-1)+ Е Е (Р (/а±/ = Н (а)) — |У|-1))=
0=а€Х ^€Ыош (Х, У)
= |У|-п|У|(IX|(|У| - 1))-1(|У|п (1 — |УI-1) + (IXI — 1)(|У|п-11 — |У|п|У|-1)) = IXI-1.
Лемма доказана. ¦
Из этой леммы получаем оценку минимальной близости функций к линейным функциям.
Теорема 6. Для примарного случая
?о (УХ) ^ IXI-1.
В случае выполнения условия $ 0(УХ) = IXI-1 минимальные функции назовем абсолютно минимальными (в силу теоремы 9 это определение сужает определение «абсолютной минимальности» в работе [1]). Множество всех абсолютно минимальных функций из УХ обозначим через АМ (УХ), так что
М (УХ) = АМ (УХ), если? о (УХ) = IXI-1,
АМ (УХ) = 0, если? о (УХ) & gt- IXI-1.
Из формулы (9) и теоремы 6 следует
Теорема 7. В примарном случае АЖ (УХ) С АМ (УХ).
В следующей теореме собраны критерии абсолютной минимальности примарных функций.
Теорема 8. Для любой р-примарной /: X м У следующие утверждения равносильны:
1) /? АМ (УХ) —
2) ^(/, Н) = IXI-1 для любого Н? Нот^, У) —
3) $(/, н) = ?(/, Н/) для любых Н, Н/? Нот^, У) —
4) Е (Р (/а+ - / = Н (а)) — |УI-1) = 0 для любого Н? Нот^, У) —
0=а€Х
5)? (Р (/а+ - / = Н (а)) -|У I-1) =? (Р (/а+ - / = Н/(а)) — |У I-1) для любых
0=а€Х 0=а€Х
Н, Н/? Hom (X, У) —
6) Е (Р (/(са)+ - / = су) — |У| 1) = 0 для любых, а? X{0}, у? У-
0=с€^/(р)
7) Е (Р (/(са)+ - / = су) -|У|-1)= Е (Р (/(са)+ - / = а/) — |У|-1) для
0=с€^/(р) 0=с€^/(р)
любых, а? X{0}, у, у/? У.
Доказательство. Импликация 1 ^ 2 следует из определения минимальности и леммы 2. Очевидно, что 2 ^ 3. Импликация 3 ^ 1 следует из леммы 2, теоремы 6 и определения минимальности. Из формулы (8) следуют равносильности 2 ^ 4 и 3 ^ 5. Импликации 6 ^ 7 и 7 ^ 5 очевидны.
Осталось доказать 4 ^ 6. При п = 1 импликация очевидна. Пусть п ^ 2 и а1,…, ап — любой базис пространства X. Для любых у1,…, уп? У определим
пп
НУ1,…, Уп: X м У равенством НУ1,…, Уп (а) = Е сгуг для всех, а = Е сгаг? X,
г=1 г=1
с1,…, сп? ^/(р), так что НУ1,…, Уп? Нот^, У). Тогда
0= |У|п-1 ¦ 0= Е Е (Р (/а+ - / = Ну1,…, у"(а)) -|У|-1) =
0=а€Х У2,…, Уп€У
= Е |УI"& quot-1 (Р (/(сЮ1)+ - / = сгуг) -|У|-')+
0=С1 €й/(р)
п
+ Е Е (Р (/а+ - / = Е Сгуг)) -|У |-1) =
0=(с2,…, сп) е (2/(р))п-1, У2,…, Уп€У г=1
С1е2/(р)
= |У Г1 Е (Р (/(СЮ1)+ - / = С1У1) -|у |-')+
0=С1 €й/(р)
п
+ Е Е (Р (/а+ - / = с1у1 + Е сгуг)) — |У |-1) =
0 = (с2 ,…, сп)€(^/(р))п — 1, У2,…, Уп^? г=2
С1еЪ/(р)
= |УI& quot-'--1 Е (Р (/(сю1)+ - / = С1У1) -|У|-')+
0=С1 €й/(р)
+ Е |У |п-2Е (Р (/а+ - / = у) -|У |-1) =
0=(с2,…, сп) е (2/(Р))п -1, у€У
с1Ё2/(р)
= |У|п-1 Е (Р (/(С1а1)+ - / = С1у1) — |УI-1).
0=С1 €й/(р)
Теорема доказана. ¦
Теорема 1 означает, что свойство абсолютной негомоморфности (т. е. бентовости) наследуется гомоморфными образами, а также то, что бент-функции не имеют нетривиальных гомоморфных образов с IX/| & lt- IX|. Покажем, что это справедливо и для свойства абсолютной минимальности.
Теорема 9. Если в примарном случае /? АМ (УХ), //: X/ м У/ - гомоморфный образ функции / и |У/| & gt- 1, то IX /| = IX | и //? АМ (У/Х).
Доказательство. Для любых, а? X{0}, у/? У/ по формуле (11)
Е (Р/(//(са (а))±//=су/) -|У/|-1)= Е Е (Р (/(са)+ - / = су) — |У |-1)=0
0=с€й/(р) 0=с€й/(р) у€в-1(у/)
в силу утверждения 6 теоремы 8. Тогда, а — изоморфизм, утверждение 6 теоремы 8 выполнено для X/, У/, // и теорема доказана. ¦
Заметим, что теорема 9 для У/ = Z/(р) равносильна доказанному В. А. Шишкиным в 2008 г. некоторому свойству коэффициентов Фурье (результат не опубликован).
Следующая теорема обобщает хорошо известный для булевого случая факт (см., например, [4]).
Теорема 10. Для р-примарного случая, р? {2, 3}, следующие утверждения равносильны:
1) В (УХ) = 0-
2) ^(УХ) = | X |-1-
3) В (УХ) = М (УХ).
Доказательство. Импликация 3 ^ 1 очевидна- 1 ^ 2 следует из теоремы 7. Докажем импликацию 2 ^ 3. При р =2 она следует из утверждения 6 теоремы 8. Пусть р = 3. Для любого р выполняются равенства
Р (/(-са)±/ = -су)-| У | -1 = Р (/-/(са)+ = -су) — | У | -1 = Р (/(са)±/ = су)-| У | -1.
Пусть / - минимальная. Тогда из утверждения 6 теоремы 8 получаем, что для любых, а? X{0}, у? У имеет место
0= Е (Р (/(са)+ - / = су) -|УI-1) = 2(Р (/(а)+ - / = у) — |УI-1),
се{1,-1& gt-
и, следовательно, / - абсолютно негомоморфная. ¦
Отметим, что все приведённые доказательства не используют аппарат характеров абелевых групп и разложения Фурье.
В заключение введём следующие обозначения и терминологию.
Для любой /: X м У обозначим
& lt-5(/) = |АТ' Е /+,/), «УХ) = тт. 5(/).
а€Х /6^х
Максимально негомоморфными назовём функции /? УХ, для которых
*(/) = ^1(УХ).
Множество всех максимально негомоморфных функций из УХ обозначим через Ж (УХ), так что Ж (УХ) = 0 и
Ж (УХ) = АЖ (УХ), если ^1(УХ) = IX |-1,
АЖ (УХ) = 0, если ^1(УХ) & gt- IX|-1.
Представляется справедливой следующая Гипотеза. Для р-примарного случая и любого р
М (УХ) = Ж (УХ) — (13)
АМ (УХ) = АЖ (УХ). (14)
Заметим, что равенства (13) и (14) совпадают в том и только в том случае, когда В (УХ) = 0 (см. теорему 5).
Теорема 10 равносильна выполнению равенства (14) для р? {2, 3}. В силу теорем 7, 9, 4 равенство (14) достаточно доказать для случая т =1.
Заменяя в соответствующих определениях множество всех функций УХ на произвольный класс функций К С УХ, приходим к естественному и актуальному для приложений обобщению понятий минимальности и негомоморфности на случай функций из
класса K: ?0(K), ^1(K), M (K), N (K) (например, K — класс всех подстановок, M (K) — минимальные подстановки, N (K) -максимально негомоморфные подстановки).
Наконец, заметим, что, в отличие от приведённого выше общепринятого определения бент-функции (через равномодульность коэффициентов Фурье), в работе [2] для произвольного простого p ив работе [1O] для p = 2 бент-функциями названы абсолютно минимальные функции. При этом, ссылаясь на работу [1], в [2, теорема З. 2] фактически утверждается, что теорема lO справедлива для любого простого p (чего не удалось доказать автору ни здесь, ни в [l]). Последствием этого явилась необоснованность распространения некоторых свойств бент-функций на абсолютно минимальные функции. Однако теорема 1O теперь обосновывает такое распространение в работе [2] для случая p = 2. З ив работе [1O]. Заметим, что основные результаты работы [2] относятся к случаю p = 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Солодовников В. И. Бент-функции из конечной абелевой группы в конечную абелеву группу // Дискретная математика. 2002. Т. 14. № 1. C. 99−113.
2. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Бент- и гипербент-функции над конечным
полем // Труды по дискретной математике. 2007. Т. 10. C. 97−122.
3. Nyberg K. Perfect nonlinear S-boxes // LNCS. 1991. V. 547. P. 378−386.
4. Rothaus O. S. On «bent» functions // J. Comb. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300−305.
5. Амбросимов А. С. Свойства бент-функций q-значной логики над конечными полями // Дискретная математика. 1994. Т. 6. № 3. C. 50−60.
6. Логачёв О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Бент-функции на конечной абелевой группе // Дискретная математика. 1997. Т. 9. № 4. C. 3−20.
7. Kumar P.V., ScholtsR.A., and Welch L. R. Generalized bent functions and their properties // J. Comb. Theory. Ser. A. 1985. V. 40. No. 1. P. 90−107.
8. Токарева Н. Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения.
Saarbrucken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.
9. Golomb S. W. On the classification of Boolean functions // IRE Trans. Circuit Theory. 1959. V. 1. No. 6. P. 10−27.
10. Кузьмин А. С., Нечаев А. А., Шишкин В. А. Параметры (гипер-) бент-функций над полем из 21 элементов // Труды по дискретной математике. 2008. Т. 11/1. C. 47−59.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой