О спектральном синтезе в одном топологическом векторном пространстве целых функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Труды Петрозаводского государственного университета
Серия «Математика» Выпуск 3, 1996
УДК 517. 547
О СПЕКТРАЛЬНОМ СИНТЕЗЕ В ОДНОМ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
С. С. Платонов
В работе рассматривается некоторое естественное топологическое векторное пространство Т, состоящее из всех целых функций /(г), г = х + iy^ имеющих полиномиальный рост по оси х. Основной результат состоит в доказательстве того, что любое замкнутое подпространство в Т, инвариантное относительно дифференцирования, допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем функций вида гкегХг. Получено также полное описание спектров инвариантных подпространств.
Пусть О — область в комплексной плоскости С, Т — некоторое топологическое векторное пространство, состоящее из голоморфных в
О функций и инвариантное относительно дифференцирования. Говорят, что замкнутое, инвариантное относительно дифференцирования линейное подпространство % С Т допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем экспоненциальных одночленов
е& lt-А*, *е& lt-Аг, … **е& lt-Аг, … ,
где г = л/-Т, к пробегает неотрицательные целые значения из промежутка О & lt- к & lt- г (Л), г (А) Е N и {оо} ^ - множество натуральных чисел). Пусть Л = {А? С: егА* Е %}, причем будем считать, что
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 95−01−1 391.
© С. С. Платонов, 1996
число Л входит в набор Л с кратностью г (А) (возможно, бесконечной). Набор Л называется спектром пространства И. В дальнейшем под подпространством будем понимать замкнутое линейное подпространство, а произвольные, вообще говоря, не замкнутые, линейные подпространства будем называть линейными подмножествами.
Описанию подпространств, допускающих спектральный синтез, посвящено много работ (см. обзор [1] и работу [2]). В большинстве из них в качестве Т берется пространство всех голоморфных в О функций с топологией равномерной сходимости на компактах. В настоящей работе рассматривается случай, когда О = С, а пространство Т состоит из всех целых функций f (z) = f (x + iy), имеющих полиномиальный рост по оси х (точное определение пространств и описание топологии в Т см. ниже) — доказывается, что любое инвариантное относительно дифференцирования подпространство в Т допускает спектральный синтез, и дается полное описание возможных спектров таких подпространств. Методы работы близки к методам работы [3], где рассматривалось пространство целых функций экспоненциального роста по оси х.
Отметим некоторые обозначения. Помимо стандартных обозначений С, R, Z и N пусть Z+ - множество неотрицательных целых чисел, N U {оо}. Символами & lt- и & gt- будем обозначать соответственно начало и конец доказательства.
Обозначим через Т множество целых функций f (z), z = x + iy, которые удовлетворяют следующему условию: существует к & gt- 0 такое, что для всякого I & gt- 0 функция f (z) (1 + х2)~к ограничена в полосе у & lt- I. Положим
Nk, i (f) = supf (x + iy)(l + x2)~k.
у& lt-1
Через Тк обозначим линейное подмножество в Т, состоящее из функций /, для которых Nkj (f) & lt- оо при фиксированном к и любом I & gt- 0. Оно снабжается топологией, порожденной семейством полунорм (даже норм) Nkj при всевозможных I & gt- 0, и становится локально выпуклым пространством (ЛВП). Пространство
к& gt- О
снабжается топологией индуктивного предела ЛВП Тк-
Введем еще пространство Тк, 1, состоящее из функций /(г), голоморфных в полосе у & lt- /, непрерывных в полосе у & lt- I и таких, что Nk, l (f) & lt- оо. Пространство Тк, 1 является банаховым пространством (БП) относительно нормы Для подпространства '-НС Тк обозначим через Нк линейное подмножество И П Тк, а через Нк, 1 — замыкание Нк в Тк, 1- Ясно, что Нк — замкнутое подпространство в
Рк-
Лемма 1.
Нк =
1& gt- о
& lt- Пусть

1& gt- о
тогда / Е Тк и найдется последовательность функций /п Е Нк, для которых Nk, n{f ~ /п) & lt- «• При фиксированном I & gt- 0 и п & gt- I
^,/(/ - /п) & lt-, п (/ - /п) & lt- 1/П*
Следовательно, А^,/(/ - /п) 0 и /п -} / в Б П Из замкнутости
следует, что / еШ- & gt-
Отметим очевидное неравенство
1 + (? + & lt-С 2(1 + ^)(1 + 5^) /?, 5 Е П. (1)
Из него следует, что
(1 + ^)~к & lt-2к (1 + 82) к (1 + ^ + 8)2)~к Ук& gt- 0. (2)
Проверим, что пространство Т инвариантно относительно дифференцирования. Пусть / Е Тк- По теореме Коши /(г) можно представить в виде
27гг J гш — г с
где в качестве контура С берется окружность радиусом 1 с центром в точке г. Тогда
С
Проверим, что f'-(z) Е J-k-
Nk, i (f'-(z)) = sup |f'-(x + iy)| (1 + x2)~k & lt-
y& lt-1
& lt- sup sup f (w)(l + x2)~k & lt-
y& lt-l w z — 1
& lt- sup |/(u + гг-)| (l + (и — l)2) k& lt-
v& lt-l+l
& lt- sup f (u + iv) 4fe (l + u2)~k = 4k Nk, i+i (f) & lt- oo, (3)
Н& lt-г+1
где w = и + iv. При оценке мы воспользовались тем, что |l?| & lt- I + 1, ж & gt- и — 1 и неравенством (2). Из (3) следует также, что оператор дифференцирования непрерывен в Т.
Лемма 2. Если подпространство ИСТ инвариантно относительно дифференцирования, то % инвариантно относительно сдвигов на действительные числа, т. е. из f (z) Е И следует, что f (z + t) Е И для любого t Е R.
& lt- Пусть / Е Ик- Проверим, что f (z + t) Е Hk, i при любом I & gt- 0. Разложим f (z + t) в ряд Тейлора
f (z + t) = f (z) + f (z)t + … + i/(& quot-) (z)tn + … (4)
Рассуждая как при выводе неравенства (3), получим оценку Nk, i (F^) & lt-n4kNk, l+1(f).
Следовательно, ряд (4) сходится по норме 7V& amp-,/ при t & lt-¼. Поэтому f (z + t) Е Ш, 1 при t & lt- ¼.
Проверим, что оператор сдвига St: f (z) -& gt-¦ f (z + t), t E R, является непрерывным оператором в Действительно, используя (2), получаем
Nk, i (h (z + t)) = sup |h (x + t + iy)| (1 + x2)~k & lt-
y& lt-1
& lt- 2k{l + t2) k sup |h (x + t + гг/)| (l + (x + ?)2) к =
= 2fe (l + i2) fe7VM (/l (z)). (5)
Из непрерывности Бг и того, что в Ик, 1 функции из Ик образуют плотное подмножество, следует, что %к, 1 инвариантно относительно Бг при Щ & lt-¼. Но = 55*2, поэтому Ик, 1 инвариантно относи-
тельно St при любом t еК. Следовательно, f (z + t) Е Нк, 1 при любом
I & gt- 0. Тогда по лемме 1 + ?) Е Нк, что и требовалось доказать. & gt-
Приведем некоторые сведения из теории обобщенных функций (см., например, [4]), которые будут необходимы в дальнейшем. Пусть & lt-5 — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций (р (х) на И, убывающих при х -& gt- оо вместе со всеми производными быстрее любой степени |ж|-1. Топологию в & lt-5 можно задать счетной системой норм
Ыр= У2 8ир (1+ж2)г'|& lt-/5(«)(а-)|, р = 0,1,2,…
О& lt-а<-рхеи
Очевидно, что
IMI0& lt-IMI1<-IMI2<-…
Из неравенства (1) легко получить, что
\(р (х + & lt- 2Р (1 + ^)р\(р (х)\р fteR. (6)
Обозначим через пополнение пространства & lt-5 по норме || • ||р- тогда с& gt-р — банахово пространство. Следующая лемма дает точную характеристику функций из с& gt-р.
Лемма 3. Для того чтобы ср Е необходимо и достаточно, чтобы & lt-р? СР (К) и х2р& lt-р (а)(х) -» 0 при х -У оо и, а = 0,1,. .р.
& lt- См. [4, с. 91]. & gt-
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве & lt-5. Множество всех обобщенных функций медленного роста, снабженное слабой топологией, является полным ЛВП. Известно (см. [4, с. 94, следств. 1]), что всякая обобщенная функция / Е имеет конечный порядок, т. е. допускает продолжение как линейный непрерывный функционал на банахово пространство & lt-5т при некотором ш Е В этом случае будем писать, что / Е & lt-5^ и ш называется порядком /. Обозначим через ||/||_ш норму функционала / на БП & lt-5т.
Значение функционала / на функции (р будем обозначать & lt-/,(/?>-. Оператор сдвига St распространяется на & lt-?'-, если положить
& lt- & amp-/,<-/>- & gt-:=<- /, Б-ь^р & gt-
Если / Е & lt-?'-, (р Е & lt-5, то свертка функций /*& lt-/? определяется формулой
(/*?& gt-)(*): =<- & gt-, (7)
где & lt-/?*(ж) = ^(-ж) — Отметим, что свертку можно также записать в
виде
(/*?& gt-)(*)=<-&-/,?>-*>-, (8)
а если /(ж) интегрируемая на И функция, растущая не быстрее некоторой степени ж, то
(/ * ?& gt-)(*) = J /(* - жМж) йж-
Если не указаны пределы интегрирования, то интегралы берутся по И.
ЛЕММА 4. Если / Е & lt-5'-, у? Е & lt-5, то свертка / * (р существует- / * (р Е (7°° (Я) и при / Е & lt-5^ справедливо неравенство
|(/ * & lt-?)(«)№|<- ||/||-т (1 + г2) т|М1т+» У*еД, ае2+. (9)
& lt- См. [4, с. 101]. & gt-
Отметим также, что справедливо равенство
(/*^)Ы =/*(^(а)), а = 0,1,2,… (10)
Из неравенства (9) легко получить, что при фиксированном / Е & lt-5^ свертка / * (р продолжается по непрерывности на (р Е е& gt-т+р, Р? Z+. При этом / * (р Е (7Р (11) и справедливо неравенство (9) при, а =
0,1,…р.
Для всякой функции /(г) Е ^ ее ограничение /(ж) на действительную ось принадлежит пространству & lt-5/. Поэтому можно считать, что Т С е& gt--- легко видеть, что это вложение непрерывно.
Подпространство Н в (или в любом другом топологическом векторном пространстве, состоящем из функций на И) будем называть инвариантным относительно сдвигов или просто инвариантным подпространством (сокращенно ИПП), если из / Е Н следует, что Бг/ Е Н для любого? Е И. В частности, если И — ИПП в Т, то это означает, что % инвариантно относительно сдвигов на действительные числа.
ТЕОРЕМА 1. Инвариантные относительно сдвигов подпространства в Т и Б1 находятся во взаимно однозначном соответствии, которое получается сопоставлением ИПП ИСТ его замыкания Н = [Н в & lt-?'-. Это же соответствие может быть получено сопоставлением ИПП Н С5'- подпространства Н = Н П Т.
Предварительно докажем несколько лемм. Пусть
где числовой множитель Ак подбирается так, чтобы выполнялось условие
Лемма 5. При любом фиксированном у функция (рк (х + iy) принадлежит пространству и справедлива оценка
где С & gt- О — некоторая постоянная, зависящая только от к.
& lt- Очевидно, что (рк (%) Е С°° и даже более того ср (г) — целая
при х -& gt- оо и при любом, а = 0,1,2, … Из приведенных оценок легко получается и неравенство (12). & gt-
Лемма 6. Если / Е & lt-5^, к & gt- тп + 1, то свертка / * (рк принадлежит пространству Тк • Отображение /-& gt-•/* (рк из & lt-5^ в Тк непрерывно.
& lt- Из леммы 5 следует, что свертка / *Рк (х) продолжается на комплексные значения г — х iy. Так как (рк (%) — целая аналитическая функция, то и / * & lt-рк (%) — целая аналитическая функция (действительно, так как (рк? & lt-5™+!, то функция /*фк{%) непрерывно
(п)
\& lt-Pk (x + iy)\k & lt- С (сЪу)2к+2,
(12)
функция. Заметим, что | sin z2 & lt- 2ch2 у, z2 = х2+у2. Следовательно,
x2kipk (x + iy)| & lt- ^4fc2fe+1 (chy)
при х -& gt- оо. Аналогично проверяется, что
х2ку (а)(х + 1у) -& gt-• О
дифференцируемая и, кроме того, удовлетворяет условиям Коши — Римана).
Пользуясь неравенствами (9) и (12) получим
I/ * (рк (х + %) | & lt- ||/||-т (1 + Х2) т\^к\т & lt-
& lt- ||/||_т (1 + х2ГЫи & lt- с ||/||_т (сЬ |/)2*+2(1 + х2Г.
Следовательно, / * (рк? Тк и справедливо неравенство
тм*& lt-Рк)<-ст-т (сы)2к+2,
из которого следует непрерывность отображения /-& gt-•/* (рк ИЗ в
Тк- & gt-
Определим еще функции
& lt-Рк, п (г) := гкрк (пг). (13)
Рассуждая как выше, получим, что
\& lt-Рп, к (х + гу)\к & lt- С!(сЪпу)2к+2 (14)
И
тл/ * & lt-Рк, п) & lt- С2||Л|_т (сЬп02,г+2, (15)
где С2 & gt-0 — постоянные, зависящие от к, п.
Лемма 7. (а) Пусть И — ИПП в Т и к{х) Е Пт := И П Тш. Тогда
при к & gt- т + 1 и любом п Е 2+
Ь* * ^Рк^п ^ %т •
(б) Пусть Н — ИПП в & lt-5'- и / Е Нт := Н П & lt-5^. Тогда существует
номер ко = к0(Л такой, что при к & gt- ко и п Е
/ *Рк, п ^ Нк •
& lt- (а) Свертку Н * (рк, п можно записать в виде
Ь * (Рк, п (х) = ! Цх — Ь) & lt-Рк, п (?)
Продолжим ее на комплексные значения переменной, полагая при г — х iy
Ъ. *Ч>-к, п{%)= / Цг — I) & lt-Рк, п№) & lt-&-• (16)
Интеграл сходится, так как h Е Тщ и? & lt-Sm+i-
Функцию h{z — t) можно рассматривать как вектор-функцию параметра t со значениями в Б П Тш. Проверим, что эта вектор-функция непрерывна. Для этого воспользуемся неравенством
|h (z — ti) — h (z — ?2)1 = I f h!(z — r) dr & lt-
Jtr
& lt-(ti-t2) sup h'-(z-T),
tT& lt-t2
которое справедливо при любых t & lt- t^. Тогда
Nmj (h (z — ti) — h (z — t2)) & lt-
& lt- sup sup (t2 — ti) h'-(x + iy — t)| (1 + x2)~m & lt-
y& lt-l ti& lt-T<-t2
& lt-2m (t2-t1) sup h'-(x + iy — t) (l + (x — т)2) т (1 + т2Г& lt-
y& lt-i
tl & lt-T<-t2
& lt- 2m (t2 — ti)(l + t + t^^Nrnj (h'-(z)) & lt-
& lt- 8m (t2 ~ h)(l + 4+ (17)
В этих оценках были использованы неравенства (2), (3) и очевидное неравенство 1 + т2 & lt- 1 + t + t. Из (12) следует, что h (z — t) непрерывно зависит от t. Тогда правую часть в формуле (16) можно рассматривать как несобственный интеграл Римана от вектор-функции со значениями в Тш. Из неравенства (5) следует, что этот интеграл сходится. Следовательно, в топологии пространства Тш
/N
h (z — t) ipk, n (t) dt,
-N
а интеграл в правой части является пределом интегральных сумм
^ ^ h (z tj) (pk, n (tj) ,
которые принадлежат Urn- Тогда И h * (fk, n? '-Нщ-
(б) Пусть / E Hm = H П S'-m. Тогда функция / принадлежит и всем пространствам S'-p при р & gt- т. Заметим, что для любой функции / Е S'-p справедливо неравенство
Il'-St/ll-p & lt- 2Р (1 + t2) p\f\-p, (18)
которое следует из неравенства (6).
Известно, что подмножество V гладких (класса С°°) функций с компактным носителем всюду плотно в Б'-. Поэтому найдется последовательность /а Е сходящаяся к / в пространстве. Так как /а -& gt- / в & lt-?'-, то известно (см. [4, с. 94, следств. 2 ]), что найдется такое число р Е N5 что /"-& gt-¦/ в пространстве & lt-5^, т. е. по норме || • ||_р. Подберем функцию д = /а Е такую, что ||/ - #||_р & lt- ?. Тогда
При |^1 —21 достаточно малом можно добиться того, чтобы \в^д — & amp-29\ & lt- ?- В этом случае
откуда следует непрерывность отображения Ь -& gt- 5*/ из И в
Возьмем к0 = р+1. При к & gt- ко свертку /*& lt-/?&-, п можно представить в виде
где в правой части стоит несобственный интеграл Римана от вектор-функции со значениями в БП & lt-5^,. Из (18) следует, что этот интеграл сходится. Остальная часть доказательства получается повторением соответствующих рассуждений пункта (а). & gt-
Лемма 8. (а) Если Н Е Тт, к & gt- т + 1, то Н * (рк, п Ь при п -& gt-• оо в топологии Б П Тк
(б) Если / Е & lt-5^, к & gt- к0(Л (число Аю (/) берется из леммы 7), то / * фк, п -& gt- / при п -& gt- оо в пространстве с& gt-[.
& lt- (а) Проверим, что Nk, l{h * - Ь) -& gt-• 0 при любом I & gt- 0. За-
фиксируем е & gt- 0. Из неравенства (17) следует, что существует 6 & gt- О такое, что Нк, 1(Н (г-1) — Н (г)) & lt- е/3 при Щ & lt- 6. Так как / (рк, п (?) сИ = 1 и (Рк, п (*) & gt- 0, то
11^/-^2/11-р& lt-
& lt- \StJ — Бг2д\-Р + - 542е/||_р + ||Б^д — & amp-2/||_р & lt-
& lt- 2Р (1 + %)*е + ||5*15 — 3^д\-р + 2*(1 + 1?2)*е.
\StJ — & amp-а/||_Р & lt-? (2Р (1 + 4У + 2Р (1 + 4)& gt- + 1), (19)
Nк, 1(^ * (Рк, п ^) — Nк, 1 (^(^ ^) ^(^О)Рк, п{Ъ)) & lt-
& lt- у Щ, п (1г (г — г) — Ь{г))(рк, п^) & lt-й.
Так как Нк^(Цг — ?) — Цг)) & lt- (2к (1 + Ь2) к + 1) АГд. г (/), а =
п Аи (& amp-т. пЬ/пЬ)2к+2, то при достаточно больших п справедливо неравенство
J — ?) — /1(2:)) ?& gt-*,"(*) & lt-й & lt- 2е/3.
|*|& gt-<-5
Поэтому

-ЛГ*, г (^ * & lt-/^, п — М & lt- у + Jк, 1{Цг -Ь) — к (Ь)) & lt-рк, п№) & lt-
Доказательство пункта (б) получается повторением доказательства пункта (а) с заменой Н (г) на /(ж), на || • ||_& amp-, неравенств (17) и (5) на (19) и (18). & gt-
Доказательство теоремы 1. & lt- Сопоставим каждому ИПП Н С Т его замыкание Я = [Н в & lt-?'-. Проверим, что соответствие -& gt- [Н]
сюръективно и инективно.
(A) Пусть Я — произвольное ИПП в & lt-5'-, И = Я П Т. Проверим,
ЧТО [Н = Я. Действительно, если / Е Ят = ЯП & lt-5^, то по леммам б, 7 и 8 функции / *? '-Н и / * -& gt-• / в пространстве при
п -& gt-¦ оо. Следовательно, / Е [?/] и Яш С [?/]. Так как Я = иЯт, то и Я С [?/]. Обратное включение [?/] С Я очевидно, следовательно,
н = [Н].
(Б) Теперь пусть — произвольное ИПП в Т, Я = [?/]. Тогда Я — ИПП в е& gt-'-. Проверим, что Н ПТ = И. Если к Е ЯПТщ, то На -& gt-• к в для некоторой последовательности ка Е %. Тогда найдется р Е N такое, что все функции На, Н Е & lt-5^, и На -& gt- Н в БП & lt-5^,. По лемме б при к & gt- р + 1 функции ка * (рк, п и Н * принадлежат Тк и На * -& gt-¦
Н*(рк, п в пространстве Тк при, а -& gt-¦ оо. Так как На *& lt-/?&-, п? % (лемма 7), то и предел Н*(рк, п? Наконец, так как по лемме 8 (пункт (а)) Ь * (рк, п ~& gt- Н в Т при п -& gt- оо, то и Н Е
(B) Если 71 ф И2 — ИПП в Т, то различны и их замыкания #1 = [Нг] и Я2 = [%] в 5'- (так как ^ = Нг П Т ф Ч2 = Я2 П ^). С учетом пункта (А) отсюда следует, что соответствие % -У к = [?/]
является биекцией между ИПП в Т и S'-, что и доказывает теорему
1. & gt-
Из теоремы 1 и леммы 2 следует, что для описания подпространств в Т, инвариантных относительно дифференцирования, достаточно описать инвариантные относительно сдвигов подпространства в S1. Инвариантные относительно сдвигов подпространства в S'- и двойственном пространстве S находятся во взаимно однозначном соответствии по ортодополнительности S'- D Н «-& gt-¦ Н1- С S, где
Н± = {(р? S: <- f,(р & gt-= 0 v/ея}.
Лемма 9. Пространство S является топологической алгеброй относительно свертки. Замкнутое подпространство PCS инвариантно относительно сдвигов тогда и только тогда, когда Р является замкнутым идеалом в S.
& lt- Пусть /, g Е Sp. Проверим, что / * g Е S. Ясно, что / * g Е С°°. Пусть р, a Е Z+ и a & lt- р. Используя неравенство (1), получим оценку
(1 + ж2) р|(/ *g){a)(x) & lt- (1 + х2) р Jf (a){x — t) g (t)dt & lt-
& lt-2р I f (°)(x-t)(l + (x-t)2yg (t)(l + t2ydt& lt-
& lt- 2pll/llp j IflWKl + t2y dt & lt- C-ll/llpll^lUb (20)
где
С = 2P J (1 + t2)-1 dt = ж2р.
С учетом того, что ||/||р & lt- ||/||р+1, из (20) следует неравенство
\f*g\p& lt-c1\f\p+1\g\p+1, (21)
где Ci — не зависящая от /, g постоянная. Из (21) следует, что f *g Е S и непрерывно зависит от / и д.
Если подпространство PCS инвариантно относительно сдвигов, то, рассуждая как в лемме 7, убеждаемся, что Р выдерживает свертки с любыми функциями из & lt-S, т. е. Р является идеалом в S.
Обратно, пусть Р — замкнутый идеал в S. Последовательность функций (fn (x) Е Т& gt- называется й-образной, если выполняются следующие условия:
1) срп (х) & gt-0 /х? R-
2) f (pn (x)dx = 1-
3) для любого? & gt- 0 носители функций (рп (х) при достаточно больших п принадлежат интервалу (-г, г).
Стандартной проверкой (см., например, [5, с. 20−22]) показывается, что f*ipn (x) -f (x) при п -& gt- оо в пространстве S для любой функции /? S. Если /? Р, то
St (f * & lt-Рп) = / * -& gt- Stf, t е R.
Так как f * Sty& gt-n G Р, то и *5^/ G Р, т. е. Р инвариантно относительно сдвигов. & gt-
Пространство & lt-S является также топологической алгеброй относительного поточечного умножения функций. Чтобы различать, будем обозначать Smuit пространство S как алгебру относительно поточечного умножения и SConv пространство S как алгебру относительно свертки.
Лемма 10. Преобразование Фурье
Ф: f (x) -«• f{t) = I f{x) eitx dx
является изоморфизмом топологической алгебры Sconv на топологическую алгебру Smult.
& lt- Доказательство сразу следует из обычных свойств преобразования Фурье. & gt-
Соответствие
Н +* Ф (Я^) =Х
устанавливает биекцию между ИПП в S'- и замкнутыми идеалами в Smult. Известно, ЧТО Любой ЗаМКНуТЫЙ идеал В Smult локализуем (см. [6,гл. VII, п. З] или [7]) даже для более общего случая S = & lt-S (Rn). При п — 1 локализуемость замкнутого идеала X С Smuit означает, что X однозначно определяется своими нулями (с кратностями). Более точно, точка х? R называется нулем идеала X, если f (x) = 0 для любой функции /? X. Кратностью нуля х называется наименьшее натуральное число г = г (х) такое, что /^(ж) / 0 для некоторой функции /? X. Если f (ax) = 0 для всех /? X, a? N, то х называется нулем бесконечной кратности и в этом случае полагаем г (х) = оо. Пусть
Л = Л (Х) — множество всех нулей идеала X, причем каждый нуль х берется с кратностью г (х). Два замкнутых идеала в Smv. it совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их множества нулей (с кратностями).
ргос1 Пусть Н — ИПП в & lt-?'-, X — соответствующий подпространству Н по соответствию (22) идеал в 5ти/г, Л — множество нулей идеала X. Тогда подпространство Н совпадает с замыканием линейной оболочки содержащихся в нем экспоненциальных одночленов хкегХх, причем хкегХх Е Н тогда и только тогда, когда Л Е Л и к & lt- г (Л).
& lt- Функция хкегХх Е Н тогда и только тогда, когда она ортогональна подпространству Н1- С & lt-5, т. е.
J хке*Хх/(х) с1х = О V/ € н^.
Последнее равенство эквивалентно тому, что
-«(А) = 0 У/еХ
или Л — нуль идеала X кратности больше к.
Пусть #1 — замыкание в линейной оболочки всех функций хкегХх при Л Е Л, к & lt- г (Л). Тогда Н — ИПП в & lt-5'-, Н С Н и подпространству Н1 соответствует идеал Х1 в Smv. it с тем же множеством нулей, что и у идеала X. Следовательно, Х = Хи Я1 = #. & gt-
Теорема 2. Любое инвариантное относительно дифференцирования подпространство ИСТ допускает спектральный синтез.
& lt- Так как % инвариантно относительно дифференцирования, то по лемме 2% инвариантно относительно сдвигов на действительные числа (т. е. И — ИПП в Т). Пусть Н = [Н — замыкание в & lt-?'-. Тогда Н — ИПП в и по теореме 2 Н совпадает с замыканием линейной оболочки функций хкегХх при Л Е Л, к & lt- г (А). Пусть — замыкание в Т линейной оболочки этих функций. Очевидно, что — ИПП в Т и его замыкание [Нг] совпадает с Н. Тогда по теореме 1 Иг = %. & gt-
Следствие Для подпространства ИСТ следующие условия
ЭКВИВАЛЕНТНЫ:
1) И ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ-
2) % ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА-
3) И ИНВАРИАНТНО ОТНОСИТЕЛЬНО СДВИГОВ НА ЛЮБЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
& lt- Из 1) следует 2) по лемме 2. Из 2) по теореме 3 следует, что И совпадает с линейной оболочкой функции zkelXz. При сдвиге на любое комплексное число линейная оболочка этих функций переходит в себя, откуда следует 3). Наконец из 3) следует 1), так как дифференцирование является непрерывным оператором в Т и линейная оболочка функций zkelXz инвариантна относительно дифференцирования. & gt-
Следствие Для того чтобы подмножество, А С R было спектром НЕКОТОРОГО ИПП В Т, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ, А БЫЛО МНОЖЕСТВОМ НУЛЕЙ НЕКОТОРОГО ИДЕАЛА X С 5шгг/*.
Следствие 2 дает нам некоторое описание всевозможных спектров ИПП и С Т, но можно получить и более явное описание этих спектров.
Пусть, А — произвольное подмножество действительных чисел, причем каждое число, А Е, А входит в, А с некоторой кратностью г (А), возможно, бесконечной. Пусть
А& amp- = {А Е А: г (А) = к}, к = 1, 2,…, оо.
ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы подмножество, А было спектром некоторого ИПП ИСТ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) подмножество Аоо замкнуто в R-
2) подмножество Afin := AAoo не более чем счетное, причем все предельные точки этого множества (если они существуют) принадлежат множеству Аоо.
Замечание. По следствию 2 теорема 4 дает также необходимые и достаточные условия для того, чтобы множество, А было множеством нулей некоторого идеала I С SmUit. Эти условия приведены без доказательства в работе В. Ф. Молчанова [8], где только сказано, что они следуют из результатов работы [9]. Далее приводится подробное доказательство теоремы 4.
Предварительно докажем несколько лемм. Будем говорить, что
функция f (x) Е & lt-S (a, Ь), если / Е (7°°(а, Ь), и функция
ж Е (а, 6), ж? (а, 6),
(22)
принадлежит пространству & lt-5. В частности, & lt-5(-оо, оо) = & lt-5. В дальнейшем будем всегда считать, что функции из 5(а, 6) принимают нулевые значения при х ^ (а, Ъ) (т. е. / отождествляется с /).
Введем функции
Очевидно, что 7 Е & lt-5(0, +оо), ф (а, ь)? & lt-5(а>- 6) Va, b Е R U {оо}.
Лемма 11. Для любой функции / Е С°°(а, Ь) существует функция ip (x) Е & lt-S (a, Ь) такая, что
1) ip (x) & gt-0 Уж Е (а, 6) —
& lt- Возьмем любую последовательность вложенных в (а, 6) конечных интервалов (а& amp-, Ь& amp-), А: = 1,2,…, такую, что [а& amp-, С (а& amp-+1, & amp-&-+].), а& amp- -& gt-¦ а, Ьк -& gt- Ь. Пусть ао = Ъо — произвольная точка из интервала (01,61), и дополнительно пусть а1 := 61, 6−1 := аь Определим последовательность функций
Ф (а, ь)(х) =7(ж-а)7(Ь-ж), a, 6eR,
^(-oofi){x) := e~x2^f (b — х), be R,
^(а,+оо)(ж) := 7(ж — а) е~х, а Є R,
^(-оо,+оо) • ^
2) & lt-p (x)f (x) Є & lt-S (a, 6).
(Рк{х) '-Ф (Ьк1, Ьк+1) + V’fofc + i. afc-i) & gt- & amp- - 0, 1, 2, ,
и числа
max
J? r, S = 0,1, … &-
Функцию у?(ж) определим как сумму ряда
оо
& lt-р (х) = '-^22 к01к& lt-рк (х).
(23)
fc=0
Очевидно, что при k & gt- j
& lt-p[j)(x) & lt- а*1,
отсюда
2~kak^x)& lt- 2~к.
Следовательно, ряд (23) равномерно сходится вместе со всеми производными. Поэтому ip Е (7°°®. Очевидно, что & lt-р (х) & gt- 0 при х Е (а, Ь) и ф (х) = 0 при х? (а, b), следовательно, ip Е S (a, b).
Чтобы проверить, что ipf Е & lt-S (a, Ь), достаточно показать, что для любых г, s Е Z+
(И-ж2)*(^(а:)/(а-))(г) О
при ж -У, а или ж -У Ь, х Е (а, Ь). Для определенности будем считать, что х -У Ъ. Так как
г
(& lt-р (х) f (x))® ='-^2cpipip)(x) f{r-p)(x),
р=О
то достаточно показать, что
(1 + х2)8(р^ f (rx) -& gt-• 0 Vj, г, s Е Z+ (24)
при ж -^ Ь. Для любого г & gt- 0 подберем номер I так, чтобы 21_г & lt- г и ^ & gt- hr, s- Заметим, что если ж & gt- 6/, то ж не принадлежит носителям функций фк ПРИ к & lt-1 — 1. Поэтому
|(1 + ж2) У^(ж)/^(ж)| & lt-
ОО ОО 1
& lt- '-?2~kMi + ^r^ij)(x)f^(x) & lt- E2_fe =т & lt-
к=1 к=1
что доказывает (24). & gt-
Лемма 12. Для любых а, Ъ Е Я, а & lt- Ь, и n, m Е N существует функция ^(а, Ь-п, т)(ж)? С°°(а, Ь), которая удовлетворяет условиям:
1) 9(a, b-n, m)(x) & gt-0 Vi € (а, 6) —
2) найдется S & gt- 0, для которого
& lt- В качестве S возьмем любое число 0 & lt- S & lt- (Ь — а)/4. Существует
функция h (x) Е (7°°® такая, что h (x) & gt-0 /х Е R, h (x) = 1 при
х & lt- S и h (x) = 0 при х & gt- 28. Возьмем функцию
д (х) = h (x -a)(x — a) n + ф (а+б, Ь-б) + - b) mh (x — b).
В качестве д (а, Ъ]п, т) можно взять ограничение функции д (х) на интервал (а, Ь). & gt-
Для функции / Е С°°(а, Ь) обозначим через N (f-a, b) множество всех нулей функции / на интервале (а, b), причем пусть каждый нуль содержится в N (f- а, Ь) с кратностью, равной кратности этого нуля. Иногда будем также писать N (f- I) вместо N (f- а, 6), если I = (а, 6).
Лемма 13. Пусть, А — конечное или счетное подмножество точек интервала (а, Ь), не имеющее предельных точек внутри (а, Ь), причем каждая точка из, А может входить в этот набор с конечной кратностью. Тогда существует функция / Е (7°°(а, 6), для которой N (f- а, 6) = А.
& lt- Упорядочим числа из, А в порядке возрастания
.. & lt- С-2 & lt- С-1 & lt- Со & lt- Cl & lt- С2 & lt------
Пусть rik — кратность числа с& amp- в наборе А.
Определим функцию f (x) на каждом отрезке [с& amp-, c& amp-+i] при помощи функций из леммы 12. Положим
/(*) := (-l)"1+"2 + -+n^(cfc, cfc + 1-nfc, nfc+1)(2-)
при х Е [с*-, Cfc+i], к & gt- 0 (при к = 0 считаем, что ni + … + =0),
f (x) := (-l)"0+"-1±+nfc+1& lt-7(cfc1, cfc-nfc1>-nfc)(a-)
при х Е [cfc_i, Cfc], к & lt- 0. Если среди чисел из, А существует наибольшее число сдг или наименьшее число см, то дополнительно полагаем
f{x) = (-l)ni±+nNgick, b-, nN, i)(x) при x€[cN, b), f (x) = (-1)по+п-1±+пмд{а, см-Л, пм)(х) при хе (а, см]-
Отметим, что в некоторой окрестности каждой точки Ck построенная функция совпадает с функцией (-l)ni±--+nfc (x — c& amp-)nfc при ^& gt-0ис функцией (-i)no+… +nfc_i (ж _ си) Пк при к & lt- 0. Поэтому / Е (7°°(а, Ь).
Очевидно, что нулями /(ж) на (а, Ь) являются только точки с& amp-, причем с& amp- - нуль кратности п& amp-. & gt-
Следствие В условиях леммы 13 существует функция Р (ж) е 5(а, Ь), для которой ЛГ (-Р- а, 6) = А.
& lt- Возьмем функцию /(ж) из леммы 13 и соответствующую ей функцию (р (х) из леммы 11, тогда можно взять функцию Р (ж) = 4& gt-{х)/{х). & gt-
ЛЕММА 14. Пусть, А — подмножество в Я, удовлетворяющее условиям 1) и 2) теоремы 4.
Существует функция Р (ж) Е & lt-5 (Л), для которой N (Г, К) = А.
& lt- Пусть Л = Аоо. Множество, А замкнуто, поэтому его дополнение И, А открыто в И, следовательно, представимо в виде объединения конечного или счетного числа непересекающихся интервалов:
ВДА = иД-
к
Для каждого интервала пусть А^) = А П (точки берутся с кратностями). По следствию 3 существует функция /к Е & lt-?(/&-) такая, что ЛГ (Л-Д) =Л». Пусть
/V1 = ш|»
ж? М
0& lt-j, s<-k
Возьмем функцию
/(ж) = Е2_%Л (ж) —
к
Легко видеть, что / Е (700 (II) и 7У (/-11) = А. По лемме 11 подберем функцию (р (х) Е 5(11), & lt-р (х) & gt- 0 такую, что Р (ж) = у?(ж) /(ж) Е 5(11). Тогда А^(Р- И) = А. & gt-
Доказательство теоремы 4. & lt- Необходимость условий 1) и 2). Воспользуемся следствием 2. Пусть / Е (7°°(К) и, А = Пусть
ж — предельная точка множества А. Тогда существует последовательность жп Е А, жп -& gt-• ж. Переходя к некоторой подпоследовательности, можно считать, что последовательность жп монотонная, для определенности пусть жп+1 & gt- хп. Из непрерывности / следует, что /(ж) = 0. На каждом отрезке [жп, жп+1] найдется точка ж1^ такая,
что f'-(xn^) = 0. Так как Хп^ -& gt- х, то из непрерывности /'- следует, что f'-(x) = 0. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что f^kx) = 0 для всех к Е Z+, следовательно, х Е Л^. В частности, отсюда следует, что множество Лоо замкнуто. Все точки подмножества Лfin = А изолированные, поэтому это подмножество не более чем счетное.
Достаточность условий 1) и 2). Пусть подмножество Л удовлетворяет условиям 1) и 2). Обозначим через X замкнутый идеал в Smuit, состоящий из всех функций / Е & lt-S, которые в каждой точке Л Е Л имеют нуль кратности & gt- г (Л). По лемме 4 существует функция / Е X, для которой N (f- R) = Л. Следовательно, множество нулей идеала X совпадает с Л и по следствию 2 Л является спектром некоторого ИПП И С Т. & gt-
Resume
Let Т be the set of all entire functions f (z), z = x + iy, such that
sup I f (x + iy) I (1 + x2)~k & lt- 00 y& lt-1
for all / & gt- 0. T is a locally convex space with respect to certain topology.
It is proved that every closed invariant under derivation linear subspace 1~L С T is the closed span of the functions
zkeiXz, Лес, fceNU{oo}.
A set
Л = {A G С: eiXz G Щ
is called the spectrum of H, end we suppose that Л contains in A with the multiplicity r (Л), where
r (A) = inf{k G N U {oo}: zkeiXz $ U}.
The complete description of various spectrums of such subspaces H is obtained.
Литература
[1] Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Матем. анализ. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1974. Т. 12. С. 199−412.
[2] Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций, I // Матем. сб. 1972. Т. 87. N4. С. 459−489.
[3] Платонов С. С. Подпространства целых функций, инвариантные относительно дифференцирования // Известия ВУЗов (Математика). 1986. N4. С. 49−56.
[4] Владимиров В. С. Обобщенные функции и их применение в математической физике М.: Наука. 1979.
[5] Ленг С. SL2®. М.: Мир, 1977.
[6] Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. М.: Мир, 1968.
[7] Schwartz L. Analyse et synthese harmonique dans les espaces de distributions I/ Canad. Journ. Math. 1951. V.3. P. 503−512.
[8] Молчанов В. Ф. Элементарные представления группы Лагерра // Матем. зам. 1978. Т. 23. Вып.1. С. 31−40.
[9] Уитни X. Об идеалах в кольце дифференцируемых функций // Математика (сб. переводов). 1966. Т. 10, N4. С. 79−100.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой