Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

А. А. Семенов, А. А. Овчаров
Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек
Введение
Наиболее широкое применение конические оболочки находят в авиационной технике и машиностроении. Одной из первых работ по исследованию устойчивости конических оболочек была работа Х. М. Муштари [1]. Также здесь необходимо отметить вклад Н. А. Алумяэ, Э. И. Григолюка, А. В. Саченкова [2] и др. В работе Н. В. Валишвили [3] исследуется устойчивость конических оболочек на основе осесимметричной теории. В работе [4] задача устойчивости конических оболочек была сведена к отысканию собственных значений системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, и было показано, что решение необходимо искать приближенно.
Одним из применяемых ранее подходов к решению данной проблемы было сведение конической оболочки к цилиндрической. Радиус цилиндрической оболочки принимался как среднее между большим и малым радиусами конической оболочки. Данная методика хорошо себя показала при расчете оболочек с малым углом конусности [5], но при его увеличении специфичность строения конической оболочки начинает сильнее сказываться на ее устойчивости, и такой подход становится неприемлемым.
По сравнению с расчетом цилиндрических оболочек, исследовать такие конструкции труднее. Это проявляется, прежде всего, в усложнении геометрических соотношений, связывающих перемещения и деформации. К недавним работам в области исследования конических панелей и оболочек следует отнести статью F. Shadmehri, S.V. Hoa и M. Hojjati [6], в которой рассматриваются замкнутые конические оболочки из композиционных
материалов, но математическая модель строится на теории первого порядка, а также не учитывается геометрическая нелинейность.
В работах [7, 8] были получены уравнения движения для подкрепленных ребрами жесткости конических оболочек при линейно-упругом деформировании с учетом поперечных сдвигов.
В исследовании [9] показана математическая модель деформирования оболочки, но не учитываются поперечные сдвиги и ортотропия материала.
В работе [10] приводится математическая модель деформирования оболочки на основе функционала полной энергии деформации, которая учитывает геометрическую и физическую нелинейности, поперечные сдвиги, возможность развития деформации ползучести, введение ребер жесткости с помощью метода конструктивной анизотропии с учетом сдвиговой и крутильной жесткости, но без учета ортотропии материала.
Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек общего вида на основе функционала полной энергии деформации была представлена в работе [11].
Цель исследования
Целью данной работы является построение математической модели деформирования конических оболочечных конструкций на основе функционала полной энергии деформации с учетом ортотропии материала, геометрической нелинейности и поперечных сдвигов.
Материал и методы исследования
Схематичное изображение панели конической оболочки показано на Рисунке 1.
Математическая модель деформирования оболочки строится на основе функционала полной энергии деформации (или уравнений равновесия), а также включает в себя геометрические соотношения, физические соотношения и граничные условия.
Рис. 1. — Схематичное изображение и принятая локальная система координат панели конической оболочки
Модель Кирхгофа-Лява, когда неизвестными являются только три функции перемещений и = и (х, у), К = V (х, у), Ж = Ж (х, у) и в уравнениях равновесия функции и и V имеют вторые производные, а функция Ж -четвертые, дает существенную погрешность. Необходимо учитывать еще и поперечные сдвиги, т. е. рассматривать модель Тимошенко-Рейснера. Тогда неизвестными будут пять функций — три функции перемещений точек координатной поверхности иV, Ж и две функции, характеризующие углы поворота нормали в плоскостях Х02, Т02: = (х, у), х? у = х? у (х, у). При
этом получаемая модель будет геометрически нелинейной, т. е. зависимость деформаций от перемещений — нелинейная, что позволяет исследовать не только напряженно-деформированное состояние оболочки, но и ее устойчивость. В дальнейшем будем рассматривать только модель Тимошенко-Рейснера.
В рассматриваемой модели геометрические соотношения для срединной поверхности оболочки принимают вид [11]
1 ди 1 тл дА, 12
ех =--±V--кхЖ + -01,
х, А дх АВ ду х 2 1
1 дV 1 т г дВ 7 тт 12 е у =--±и--к Ж + -0 2
у О Л, Л О Я-* у 2
В ду АВ дх
1 д? 1 ди 1 т тдЛ 1 т, дВ л л
у «=--±---и---V- + 010 2,
^ Л дх В ду ЛВ ду ЛВ дх 12
/ 1 ^ ттт
01

О дЖ. ттл + кП
V
Л дх
0
2

У
V
1 дЖ, т.
--+ куУ
В ду у
у
где е х, е у — деформации удлинения вдоль координат х, у срединной поверхности- уху — деформации сдвига в плоскости ХОУ- Л, В, кх, ку —
параметры Ляме, характеризующие геометрию оболочки и главные кривизны оболочки вдоль осей х и у. Для конической оболочки они принимают вид
Л = 1 В = х • БШ 0 и к = 0 к, =

х
. Из-за наличия в формулах зависимости
от координаты х, сложность системы соотношений (1) существенно возрастает.
Функции изменения кривизн Хь Х 2 и кручения %12 принимают вид:
Х1 =
1 дЧх
+
1 дЛ
Л дх ЛВ ду
Чу — х2 =
I дЧ. +_!_ дВ Ч
В ду ЛВ дх х

1 дЧ у 1 дЧх 1
12
¦ + ¦

— Чх+дВ Ч ду х дх у
Л дх В ду Л В Для связи деформаций и напряжений используются физические соотношения, которые строятся на основе обобщенного закона Гука. Выразив напряжения через деформации, получим физические соотношения для тонкостенной ортотропной оболочки при линейно-упругом деформировании:
ст» =
Е1
х 1 _ 1 ^12^ 21
Е 2
ст.
1 М-12 Н-21
ех 21еу + г (11 21Х2)
е у +^12 е х + 2 +^12 Х1)
(2)
Т ху = ^12
У ху + 2 2Х
12
Т х2 = О1Ъкг (2)(-01) —
Ту. = ^23к[(2)(-02),
здесь Е1, Е2 — модули упругости в направлениях х, у- С12, О13,О23 — модули сдвига в плоскостях ХОУ, Х02, У02 соответственно- ц12, ц 21 -коэффициенты Пуассона- /(2) — функция, характеризующая распределение напряжений тх2, ту2 по толщине оболочки, к — числовой коэффициент, соответствующий выбранной функции / (2). Для гладких оболочек принимается
/ (2)= 6
'- 1 — 2! Л 4 И2
к =
5
6
Функция /(2) при 2 = - И и 2 = 2 (верхняя и нижняя поверхности
оболочки) обращается в нуль, а также удовлетворяет условиям [12]:
и И
12 1 2 2 1
И |/(22 = 1- - | /2(2)& lt-к = -
И
к
На основе физических соотношений можно сформировать выражения для усилий и моментов. Интегрируя напряжения (2) по 2 в пределах от — И /2 до И / 2, получим усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения. Для гладких оболочек они будут иметь вид
Nx
Е
1 ц12ц21
N =¦ Е2
У
1 ц12ц21
И
И
е х +Ц 21е 1

е у +^12е х
N ху = Nyx = Оъ
И у
ху
ы.
Ел
1 ц12 Ц 21
'- И! Л
Ч12У
(Х1 21Х 2)
(3)
е2
М =-2-
У 1
I — Ц12 Ц 21
МУ = Мух = О12
Ч12У
(Х 2 +^12 Х1)
2
'- к^ ^ Ч12У
Х12
бх = Оикк ((!х -01), бу = О23Цуу — 02 }
где Ых, Ыу, N,ух — нормальные усилия вдоль осей х, у и сдвиговые усилия в плоскости ХОУ соответственно- Мх, Му, Мху, М- изгибающие моменты
л ^ I/ '- л. у '- у А.
в направлении осей х, у и крутящие моменты- бх, бу — поперечные силы в
плоскостях ХО2 и УО2.
Функционал Лагранжа полной энергии деформации оболочки является суммой работ внутренних и внешних сил, и принимает следующий вид [11]:
1 агуТ I 1/
Э = 2 3 ] 8 х +Ыу 8 у + 2 (+ Мух Д ху + Мх Х1 + Му Х 2 +
(х)
а1 у (х)
+ ((+ Мух) + бх ((-01)+ бу ((у -0 2) — 2qwABdxdy.
(4)
Подставив выражения для усилий и моментов (3) в функционал (4), получим
1 а у2(х) (е к
э=2 з з
2 а у (х) I1 -Ц12 Ц 21
(8 х +Ц 218×8 у)+ 1 — Е 2 (8 (+Ц12 8×8у)+ О12 кУ
Ц12Ц 21
ху
+
+ •
Е
1 Ц12Ц 21 + О
г к! л Ч12У
Х1 + Ц 21Х 2 Х1
)+Г
Е,
Ц12 Ц 21
(к!л Ч12У
Х 2 +^12 Х 2 Х1 / +

к3 ^
'-12
V 3 У
х22 + О13кк ((х — 01)2 + О23кк ((у — 02)2 — 2qW [ABdxdy
Приведя подобные члены, получим
Э
+
1 аУ2 (х) I Е
=211
«1 у (х)'-
Ех
Иг 2 +
Е,
Ц12Ц 21
1 2 + 1 21
1 21
Ц 21И +
Е,
+ у -0 2)2
1 & quot-Ц12Ц 21
Е
Ц 21И
гхгу + 1 ^122ИГ^ +13кИ (х -01)2 +
'- И3 & gt-
1 Ц12Ц 21
12 ,
х2 +
2
'-12 I ху
Е
'- И3 & gt-
1 Ц12Ц 21
+
Е
Ц 21 +
Е
Ц12
И! л
УЧ12У
Х1Х 2 + 2в}
12
Ч12 У
'- и3 л
Ч6У
X 2 +
1 — Ц12Ц21 1 — Ц12Ц21 Учитывая, что Е1ц 21 = Е2ц12, введем обозначения:
Х22 — 2дЖ ABdxdy
2 = Е2, °12 =
12 (& quot-Ц12 Ц 21)13 (1 & quot-Ц12 Ц 21) а23 (& quot- Ц12 Ц 21)
Е1 Е1
и приведем функционал к виду
а У2
^13 =
Е1
23 =
Е1
Э
Е1
2(1
Ц12Ц 21
| | Г*82 +2Иг2 +2ИЦ21гхгу + ИУ^ +
«1 У1(х)
____р. 3 7 3 _
+овЦч/ х -01)2 + о2зкк (у -0 2) + - X2 + - о2 X2 +
+ И3 Ц21Х1Х2 +ё17хг2 — 2 ^ -Ц12Ц21 ] ЖABdxdy.
6 3 Е1 ]
Способ закрепления контура конструкции учитывается через граничные условия (Таблица 1), которые влияют в дальнейшем на выбор аппроксимирующих функций [13], а область, занимаемая оболочкой, задается в пределах интегрирования [14]: а1 & lt- х & lt- а, у1 (х)& lt- у & lt- у2 (х). Использование функций у1 (х), у2 (х) позволяет учитывать нестандартную форму контура оболочки.
Таблица № 1
Краевые условия при различном закреплении контура конструкции
(5)
Закрепление При х = «1, х = а При у = у (х), у = у 2 (х)
Шарнирно-неподвижное закрепление и = V = Ж = Мх = = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у
Жесткое закрепление и = V = Ж =х =^у = 0 х у и = V = Ж =х =^у = 0 х у
Жесткое при х = а1, х = а и шарнирно-неподвижное при у = у (хХ у = у 2(х) и = V = Ж =х =^у = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у
Жесткое при х = а1, х = а и свободный край при у = У1(х), у = У2(х) и = V = Ж =х =^у = 0 х у Ку = Ку = б = Му = Му = 0
Заключение
Таким образом, полученные соотношения (1), (2), (5) вместе с краевыми условиями представляют собой математическую модель деформирования конической оболочечной конструкции с комплексным учетом таких факторов, как ортотропия материала, геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.
Для дальнейшего исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций к представленной модели могут применяться методы, подходы и алгоритмы, представленные в работах [14 — 17].
Литература:
1. Муштари, Х. М. Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами [Текст] / Х. М. Муштари. — В кн. Сборник научных трудов КАИ. — Казань: Издательство Казанского авиационного института, 1935. — С. 39−40.
2. Муштари, Х. М. Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек круглого сечения при совместном действии осевого сжатия и внешнего нормального давления [Текст] / Х. М. Муштари, А. В. Саченков // Прикладная математика и механика, 1954. т. XVIII, № 6. — С. 667−674.
3. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ [Текст] / Н. В. Валишвили. — М.: Машиностроение, 1976. — 278 с.
4. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. — 984 с.
5. Преображенский, И. Н. Устойчивость и колебания конических оболочек [Текст] / И. Н. Преображенский, В. З. Грищак. — М.: Машиностроение, 1986. — 240 с.
6. Shadmehri F., Hoa S.V., Hojjati M. Buckling of conical composite shells // Composite Structures. — Vol. 94. — 2012. Pp. 787−792. D01: 10. 1016/j. compstruct. 2011. 09. 016
7. Овчаров, А. А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении [Текст] / А. А. Овчаров // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. -СПб., 2004. — С. 127−132.
8. Овчаров, А. А. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек [Текст] / А. А. Овчаров // Вестник гражданских инженеров. — № 2(11). — 2007. — С. 104−111.
9. Бурцева, С. В. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом [Электронный ресурс] / С. В. Бурцева, Г. П. Стрельников, В. И. Авилкин // Инженерный вестник Дона. — 2012. — Т. 23, № 4, Ч. 2. — С. 13. Режим доступа: http: //ivdon. ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291 (доступ свободный)
10. Баранова, Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. — 2012. -Т. 20, № 2. — С. 45−50. Режим доступа: http: //ivdon. ru/magazine/archive/n2y2012/745 (доступ свободный)
11. Карпов, В. В. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения [Текст] / В. В. Карпов, А. А. Семенов // Инженерно-строительный журнал. — № 5. — 2013. С. 100−106.
12. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1972. — 432 с.
13. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек [Текст] / В. В. Карпов. — СПб.: СПбГАСУ, 2006. — 330 с.
14. Семенов, А. А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек [Текст] / А. А. Семенов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. — № 1.
— 2014.- С. 49−63.
15. Карпов, В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч. 2: Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии [Текст] / В. В. Карпов. — М: Физматлит, 2011.
— 248 с.
16. Атисков, А. Ю. Компьютерные технологии расчета оболочек [Текст] / А. Ю. Атисков, Д. А. Баранова, В. В. Карпов, Л. П. Москаленко, А. А. Семенов. — СПб.: СПбГАСУ, 2012. — 184 с.
17. Qu Y., Wu S., Chen Y., Hua H. Vibration analysis of ring-stiffened conical-cylindrical-spherical shells based on a modified variational approach // International Journal of Mechanical Sciences. — Vol. 69. — 2013. Pp. 72−84. http: //dx. doi. org/10. 1016/j. ijmecsci. 2013. 01. 026

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой