Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна из металлокомпозита

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
В. Д. Кургузов, Ю.В. Немировский
Математическая модель динамической вытяжки жесткопластического металлического волокна
*
из металлокомпозита
V.D. Kurguzov, Yu.V. Nemirovsky
Mathematical Model of Dynamic Extract of Plastic-Rigid Metal Fiber from Metal Composite
Построена математическая модель совместного деформирования волокна и связующего под действием динамических нагрузок. Материалы волокна и связующего являются жесткопластическими с линейным упрочнением. Сформулирована система дифференциальных уравнений, описывающих движение абсолютно твердого волокна и пластического деформирования связующего. Разработан численноаналитический метод, позволяющий определить остаточные смещения волокна после снятия внешней нагрузки. Предложена процедура итерационного уточнения касательных напряжений в зоне контакта волокно-связующее и границы зоны пластичности в связующем на каждом временном шаге. Ключевые слова: жесткопластическое волокно, динамическая вытяжка, металлокомпозит.
The mathematical model is constructed for describing joint deformation of a fiber and a binder under the influence of dynamic loadings. Materials of a fiber and a binder are plastic-rigid with linear hardening. The researchers formulate the system of differential equations describing movement of absolutely firm fiber and binder’s plastic deformation. The developed numerically-analytical method allows us to define residual displacement of a fiber after removal of external loading. Procedure of iterative specification of shear stress in a zone of fiber-binder contact and borders of a plasticity zone in binder on each time step is offered.
Key words: plastic-rigid fiber, dynamic extract, metal composite.
Задача построения адекватной математической модели движения жесткопластического стержня в среде с сопротивлением возникает при изучении динамических процессов глубокой вытяжки (заглубления) металлических композитов с дискретными волокнами при динамическом импульсном воздействии на арматуру [1−3].
Металлический стержень длиной L, круглым поперечным сечением радиуса R1 помещается внутрь круглой трубы внутренним радиусом R2 и заливается полимерным связующим. К одному из торцов стержня приложен динамический импульс внешней нагрузки P = p (t), нижний торец трубы жестко заделан (рис. 1). Задача рассматривается в осесимметричной постановке. Требуется определить остаточные смещения стержня после снятия внешней нагрузки.
Материал связующего считается жесткопластическим с линейным упрочнением с возможностью разрушения при достижении касательным напряжением предела прочности тс и с дальнейшим деформированием, характеризуемым ниспадающим участком с модулем Gs на диаграмме чистого сдвига. Диаграмма т — у деформирования материала связующего приведена на рисунке 2а, где Gt — каса-
тельный модуль- тТ — предел текучести- тс — предел прочности- ус — деформации, соответствующие пределу прочности- ух — деформации, соответствующие полному разрушению. Материалы стержня и трубы также являются жесткопластическими с диаграммами, а — е деформирования, показанными на рисунке 2б, в общем случае с различными пределами текучести ат, пределами прочности ас и касательными модулями Е.
Рис. l. Расчетная схема задачи
* Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционных проектов СО РАН № 72, 115.
69
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
а)

-^arctg G, arctg Gs У
ys
Рис. 2. Диаграммы деформирования материалов: а — связующего, б — стержня
Введем в рассмотрение продольное усилие в стержне N (г, /) = Р1а1 (г, t), где ^ = л Я2 — площадь поперечного сечения- ст1 (г, t) — напряжения. Тогда уравнение движения стержня можно записать в виде
дЫ1(г, t)
dz
• = FlPlwl (t) + ЬТ (R1, t),
(1)
d2 w
d2 w Gt dw
P----------------------2T = Gt --------------------------------------- ±: -+
dt dr r dr
R & lt- r & lt- Rp (t). (2)
цесс разрушения, характеризуемый ниспадающей ветвью на диаграмме т — у (рис. 2а). В связующем появляется область разупрочнения с границей Яи (() (рис. 1), в которой тг1 = тс — (уг -ус) / Ох. Уравнение движения в области разупрочнения имеет вид д2 Р~дгг
1 d w 1 dw (тс +rc / Gs)
G" dr2 G rdr
где м& gt-1 (ґ) — смещение стержня- Ь = 2жК1 — периметр поперечного сечения- р1 — плотность материала стержня.
Без ограничения общности будем считать, что наименьшим пределом текучести обладает связующее, а наибольшим — труба, т. е. по мере возрастания внешней нагрузки сначала в пластичность переходит связующее, затем — стержень, а потом — труба. Обозначим через ґ0 момент перехода связующего в пластичность. На рисунке 1 граница зоны пластичности обозначена через Кр. При дальнейшем возрастании нагрузки граница зоны пластичности Яр = Яр (ґ) будет перемещаться по радиальной координате в сторону возрастания г и разобьет связующее на две области: пластическую К1 & lt- г & lt- К (?) и
абсолютно жесткую Кр (ґ) & lt- г & lt- К2.
Зависимость т — у при пластическом деформировании связующего имеет вид тгг = тт +, где
Gt — коэффициент упрочнения (см. рис. 2). Уравнение движения пластической части связующего имеет вид
r (3)
R & lt- r & lt- Ru (t).
В пластической области, которая теперь занимает интервал Ru (t) & lt- r & lt- Rp (t), выполняется уравнение (2), на границе раздела Ru (t) ставится условие склейки решений (2) и (3), начальные условия берутся с предыдущего шага по времени. В системе уравнений (1)-(3) появляется еще одна неизвестная функция Ru (t), которая находится с помощью итерационной процедуры.
В качестве примера рассмотрим задачу о выдергивании стального стержня длиной L = 100 мм, радиусом R1 = 5 мм, плотностью р = 7,8 -103 г/мм3. Внешнюю нагрузку зададим в виде синусоидального по времени импульса P (t) = P0 sin a 0t. Характеристики материала связующего: плотность
р = 2,5−10-
г/мм3
предел
текучести
гт = 200 Н/мм2, предел прочности тс = 230 Н/мм2, касательный модуль Gt = 300 Н/мм2, Gs = 0. Амплитуду внешней нагрузки примем равной Р0 = 1070, где 70 = ЬЬ]гт, продолжительность импульса -1 мсек (ю0 =я). Предположим, что напряжения в стержне вплоть до момента разрушения связующего не превосходят предел текучести, т. е. стержень в процессе деформирования остается абсолютно жестким.
Таким образом, получаем систему уравнений (1), (2), которая вместе с соответствующими начальными и граничными условиями позволяет найти w1(f), м& gt-(г, 0, Яр (0. После дискретизации (1), (2) по времени получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которой используется итерационный процесс.
Обозначим через tn = t0 + nAt момент времени,
соответствующий слою по времени с номером п. По достижении касательными напряжениями (Я1, ^+г) предела прочности тс начинается про-
Рис. 3. Распределение смещений по радиальной координате
Момент времени ^ перехода связующего в пластичность найдем из условия Р (^) = ЬЬ1тт, откуда ^ = 0,032 мсек. Зададим шаг по времени Af = 0,001. Интегрируя уравнения (1), (2), получим, что касательные напряжения в связующем на границе Я1
достигнут предела прочности тс за 10 шагов по времени. Стержень в этот момент времени окажется вытянутым из связующего на 0,035 мм. Распределение смещений в связующем по радиальной координате на последовательных шагах по времени показано на рисунке 3, где цифры 3, 4, …, 10 у кривых соответствуют номерам шагов. Внутренний радиус трубы принят равным К2 = 7 мм, радиус пластиче-
ской зоны Яр на последнем шаге п = 10 — 5,716 мм, при г & gt- Яр смещения равны нулю.
Предложенный численный метод может быть положен в основу методики экспериментального определения диаграммы касательные напряжения -деформации сдвига для материала связующего по экспериментам на динамическую вытяжку волокна из металлической матрицы.
Библиографический список
1. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. — риалы / под ред. К. К. Чамиса. — М., 1978. — Т. 7, М., 1955. ч. 1.
2. Мун Ф. Удар и распространение волн 3. Рахматуллин Х. А., Жубаев П., Ормонбеков Т. Рас-
в композиционных материалах // Композиционные мате- пространение волн деформаций. — Фрунзе, 1985.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой