Математическая модель движущихся теплоносителей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

создания единой математической модели, охватывающей комплекс генерирующих мощностей как крупных, входящих в состав Минэнерго, так и мелких распределенных, не входящих в его состав, т. е. модели, которая учитывает все формы энергии и источники их генерации и потребления в едином энергетическом комплексе Республики Беларусь. Для этого требуется юридически-правовое обеспечение для урегулирования взаимодействия предприятий Минэнерго и департамента «Белавтодор», а также предприятий других отраслей, для чего необходимо принятие соответствующего законодательного документа.
Л И Т Е Р, А Т У Р А
1. Р о м, а н ю к, В. Н. Интенсивное энергосбережение в промышленных теплотехноло-гиях / В. Н. Романюк- под общ. ред. Б. М. Хрусталева. — Минск: БНТУ, 2009. — 380 с.
2. Ш и н с к и, Ф. Управление процессами по критерию экономии энергии / Ф. Шин-ски. — М.: Мир, 1981. — 388 с.
3. Р о м, а н ю к, В. Н. Основы эффективного энергоиспользования на производственных предприятиях дорожной отрасли: учеб. пособие / В. Н. Романюк, В. Н. Радкевич, Я. Н. Ковалев- под ред. Я. Н. Ковалева. — Минск: УП «Технопринт», 2001. — 291 с.
4. С е д н и н, В. А. Возможность использования энергетических комплексов промышленных предприятий для покрытия пиковых электрических нагрузок / В. А. Седнин, А. В. Седнин, М. Л. Богданович // Энергия и менеджмент. — 2009. — № 1. — С. 6−10.
5. К в о п р о с у обеспечения графиков электрической нагрузки энергосистемы с привлечением потенциала энерготехнологических источников промышленных предприятий / Б. М. Хрусталев [и др.] // Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). — 2010. — № 1. — С. 18−28.
6. Ш м и д е л ь, Г. -У. Сервисная поддержка промышленных газовых турбин / Г. -У. Шми-дель, А. В. Гущин, В. Е. Торжков // Турбины и дизели. — 2007. — Ноябрь-декабрь. -С. 38−42.
7. Г, а з о в, а я турбина SGTx-3000E. Техническое обслуживание, технический осмотр, основной технический осмотр. Эквивалентные часы эксплуатации. Siemens AG/ Power Generation. — Раздел: 1.2.4. — С. 1−6.
8. С п о с о б получения горячей асфальтобетонной смеси: пат. 12 837 Респ. Беларусь / Б. М. Хрусталев, Я. Н. Ковалев, В. Н. Романюк. — Бел. нац. техн. ун-т // Офиц. бюл. / Нац. цэнтр гнтэлектуал. уласнасщ. — 2010. — № 1. — С. 87.
Представлена кафедрой ПТЭ и Т Т Поступила 04. 08. 2010
УДК 536. 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И., канд. техн. наук ШУБ Л. И.
Белорусский национальный технический университет
В ряде энергетических и неэнергетических технологий в качестве теплоносителей используются жидкости, обладающие энергоаккумулирую-щими свойствами. К ним относятся: жидкие металлы и сплавы, применяе-
53
мые в системах охлаждения в качестве жидкометаллических и промежуточных теплоносителей при передаче тепловой энергии в энергетических устройствах и системах, а также в качестве композиционных материалов на основе алюминия в технологиях производства водорода, в процессах получения аморфных и композиционных материалов в технологиях сверхбыстрой кристаллизации и т. д.
В работе предложена математическая модель тепломассопереноса в жидкостях, движущихся в металлических каналах, с учетом физических и химических превращений и изменений теплофизических и гидродинамических свойств веществ в процессах транспортировки по трубам и каналам.
При постановке задачи предполагаем, что вязкость не является постоянной величиной, изменяется во времени и зависит от температуры и координат. Изменение вязкости в алюминиевых сплавах при решении задач численными методами учитывается аппроксимирующими зависимостями вязкости от температуры, полученными на основании экспериментальных данных.
Математическая модель включает в себя замкнутую систему дифференциальных уравнений энергии, неразрывности, движения теплоносителей.
Дифференциальные уравнения движения жидкости выводятся исходя из основных законов сохранения: закона сохранения количества движения, закона сохранения массы, закона сохранения энергии [1, 2]. Законы сохранения применимы к массе жидкости т, заключенной в произвольно выделенном из всей жидкости объеме V в момент времени
Уравнение неразрывности выводят из закона сохранения массы: масса жидкости т, первоначально занимающая произвольный объем V, с течением времени не изменяется
ёт о ёг '-
Масса жидкости в объеме Vm = | pdV может измениться во времени за счет изменений плотности р и объема V, выражающихся формулами {--dV и [рипё5 соответственно, где — площадь поверхности, ограни-
Vй'- 5
чивающей объем V- ип — скорость перемещений элемента поверхности ёБ по нормали.
Подставляя эти выражения в уравнение, выражающее закон сохранения массы, получаем
• ф
-PdV + {рипёБ = 0.
Заменяя поверхностный интеграл на объемный по формуле Остроградского — Гаусса |рипё5 = | diрxldV, получаем
{(-+ури ^ = 0.
др д
Окончательно получаем уравнение неразрывности
^ +ури = 0. (1)
дt
Уравнение количества движения выводится из закона сохранения количества движения, который формулируется так: изменение количества движения жидкости т в объеме V за единицу времени равняется сумме всех внешних сил, приложенных к объему V:
ж = V г
где К = - вектор количества движения выделенной массы жидко-
V
сти- Ег- - внешние силы, приложенные к массе т.
Производная по времени от К находится по аналогии с производной от массы
оК = [дpudV + ovodV + Гриип 05 =
Л дt п п
Ш V и1 5 5
фи д, ч д ! д
иг& lt-рии- & lt-рии•)+& amp-'-

Внешние силы складываются из объемных Еу и поверхностных сил давления? р и трения Ет. Как и ранее, обозначим: Е — удельная массовая сила- р — давление- тп — касательное напряжение, действующее на элементе 05 поверхности площадью 5, окружающей произвольный объем V. Тогда указанные силы могут быть представлены в виде:
^ ={рFdV- ЕР = -{ рп05- Ет={ т пё5.
V 5 5
Подставляя полученные выражения в уравнения, выражающие закон сохранения количества движения, находим
{^ + Грипи05 = ГрF0V — Грп05 + Гтп05. (2)
V д 5 V 5 5
Уравнение энергии выводится из закона сохранения энергии, согласно которому изменение полной энергии выделенной массы жидкости за единицу времени равняется работе всех внешних сил, приложенных к ней, плюс количество подведенной теплоты Q вследствие теплопроводности, излучения или химических реакций.
Полная энергия Е выделенного элемента жидкости складывается из внутренней и кинетической энергии. Внутренняя и0 и кинетическая энер-
гии единичной массы жидкости соответственно равны сУТ и и2/2. Тогда полная энергия Е жидкости массой т, заключенной в объеме V:
Е = |р (ио)& amp-
ЖУ.
Математическая запись закона сохранения энергии имеет вид
-=уЦ + е.
Ж ^ 1
Суммарная работа внешних сил ^ Ц складывается из работы сил давления |р (п • иЖ^, сил трения |(тп • ии массовых сил|р (Е • и) ЖУ, где
5 5 У
«•» означает скалярное произведение. Обозначая через дп количество теплоты, проходящей через единичную площадь поверхности 5, запишем выражение для количества теплоты 0, получаемой массой т за единицу времени, в виде 0 = |
Находя производную

I
I
ЖЕ л
д
ио
V 02 ,
ГТТ и2^
и0 ±
V 02 у
ЖУ + |рГ ио
5 V 2 У
о" ЖБ =

ГТТ и2^
и0 ±
V 02 у

и учитывая выражение для отдельных видов механической и тепловой энергии, в соответствии с законом сохранения энергии получаем
||р (и0+у) жу+|р (и 0+у =
= -| р (пи)Ж5 +1 (тп +1 р (Fu)dУ +1 дпЖБ.
Преобразуя поверхностные интегралы в объемные, получаем с учетом произвола объема У уравнение энергии в виде
(
дл
, 2 Л
и0
V 02 у

и0 ±
V 02 у
+дХ (т * и)+ду (т *и)+д^(т г и)+р (^+
дz
Левая часть записанного уравнения с учетом (1) может быть представлена как полная производная от полной энергии в виде рЖЕ/Ж, и тогда уравнение энергии примет вид
5
5
d I-
dt
, 2 Л
U0 +
v 02 ,
-div^u+т xu)+dy (т yu)+T -u)+p (Fu)+divq. (3)
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. В случае несжимаемой жидкости р = const, и уравнение неразрывности упрощается
divu = 0
или в проекции на оси координат
dux Suy Suz -- + -- ±- = 0. dx ду Sz
Если предположить, что вязкость ц по всему объему постоянна, что справедливо для изотермического ламинарного течения, то получаем уравнения движения:
du-.
dt Su y
dt
Sux Sux ux-- + uy-x x SX у
— u"
dU --- + uv SX у
ду
Su-
ду
до.
Sux 1 др
-uz-- = X----+ u
дz р дx
c° - 1 др ¦ = Y----+ u
i
S u д и до
дx2
f Я 2
Sz Su,
Su _ Su _
-- + ux -- + uy -- + uz --
Sx ду Sz
St
P дУ
1 д р
= Z----+ u
Sx 2
Г я 2
р Sz
Sx 2
Sy2
Sy2
Sy2
2., Л
Sz2
S u, S и S u
2 Л
Sz2
S u, S u, S u
, 2. Л
Sz2
(4)
Уравнения (4) называются уравнениями Навье-Стокса. Запишем также уравнения Навье-Стокса и энергии в пренебрежении диссипацией в цилиндрических координатах rфz для осесимметричного течения
1 Sru, Su,
Sur St
Su
Su u,
r Sr Sz
2
= 0-
-ur-- + uz--Sr Sz
ф
Su, Su Su
-- + ur-L + uz-z-
St Sr Sz
1 др р Sr
1 др р Sz
1 r ^ r Sr V Sr
1_S (r Sur Sr V Sr
S uz _Цг_ Sz2 r2
S2 u-
Sz2
(5)
St
Ф Suф UrUф
-u"-- + u,-- ± =v
Sr
Sz
1 S (S^ ^ S2um u.
r Sr
Sr
Sz
ф ф
2
'-ST ST ST 1 S (. ST S L ST.
рс I — + ur — + uz- 1 =--1 rX- 1 ±I X- I.
St Sr Sz J r Sr V Sr J Sz V Sz
При отсутствии конвективного переноса теплоты, связанного с движением среды, составляющие скорости равны нулю, а уравнения энергии сводятся к уравнениям теплопроводности: • в декартовых координатах
дТ
дТ
рс- = -I X- 1 + - дt дх дх) ду
(
хдТ
, дУ.
л
(6)
1 в цилиндрических координатах
дТ 1 д («дТ1 д („дТ,
рс- =--1 гХ- 1 ±I X- I.
дt г дг I дг) дг1 дг
(7)
В качестве начальных условий должны быть заданы распределенные значения гидродинамических параметров в момент времени t = 0. По пространственным координатам уравнения имеют второй порядок относительно каждой составляющей скорости и температуры. Для определенности задачи на всех границах должны быть заданы либо компоненты скорости и температура, либо их градиенты (соответственно напряжения и тепловые потоки). Поле давления обычно рассчитывается с точностью до аддитивной составляющей. Часто вместо проекции скорости на границах задают нормальную и две касательные составляющие скорости (в плоском течении — одну касательную скорость).
На твердых поверхностях задается равенство нулю нормальной (условия непротекания) и касательных (условие прилипания) составляющих скорости. На свободной поверхности обычно известны напряжения. На входной границе, через которую жидкость втекает в рассматриваемую область, как правило, известны или определяются по заданному расходу распределенные значения скорости из соотношений, полученных из уравнений движения. На выходной границе области чаще всего становятся „мягкие“ граничные условия, которые получаются путем применения экстрополяционных зависимостей. Можно сказать, что динамические граничные условия сводятся к заданию либо граничных составляющих скорости ип и ит, либо производных, что равносильно заданию составляющих тензора напряжений.
Граничные условия по температуре для жидкого потока ставятся в зависимости от условий теплообмена. Наиболее точный способ состоит в равенстве температур и тепловых потоков на контактных поверхностях:
хдТ 1 4хдТ
дп
Г
дп
Т, = Т“
где индекс / - поток теплоты и температура жидкости, индекс & lt-в — соответствующие величины для твердого тела. Эти граничные условия требуют совместного решения уравнений переноса теплоты в жидкости и в телах, ограничивающих поток жидкости.
Раздельное рассмотрение уравнений энергии в жидкости и в твердом теле производится при граничных условиях первого, второго и третьего родов.
Граничное условие первого рода состоит в задании температуры на контактной поверхности Т^ = Т& lt-= / (t), граничное условие второго рода — в задании поверхностного теплового потока
X дп 1, =(х ЩI = ^),
(8)
где д» — тепловой поток, которым обмениваются между собой жидкости и твердое тело. 58
Граничные условия третьего рода характеризуют теплообмен между жидкостью и твердым телом
где, а — коэффициент теплоотдачи- - температура жидкости в точке, достаточно далеко удаленной от поверхности & lt-в.
В приведенных соотношениях производные берутся со знаком «плюс», если направление внешней нормали к поверхности противоположно направлению теплового потока, знак «минус» — в противном случае.
Численным методом проведен расчет затвердевания и охлаждения движущегося расплава в полости цилиндрической формы заданной геометрии [3]. Расчеты выполнены для двумерной модели с учетом переменной вязкости металла как функции температуры Ц = / (Т) во всей области течения. В качестве искомых (зависимых) параметров выбраны составляющие скорости и и V (в продольном и поперечном направлениях), давление в потоке р, функции тока у, температуры Т в потоке, затвердевшей корке металла, форме.
В Ы В О Д Ы
Предлагается математическая модель движущихся теплоносителей в нестационарных полях давлений, скоростей и температур.
Проведен анализ краевых условий первого, второго и третьего родов. Установлено, что динамические граничные условия сводятся к зада-
нию либо граничных составляющих скорости, либо производных, равнозначных заданию составляющих тензора напряжений. Для определения задачи на всех границах должны быть заданы или компоненты скорости
и температура, или их градиенты (соответственно напряжения и тепловые потоки).
Л И Т Е Р, А Т У Р А
1. Л ы к о в, А. В. Тепломассообмен: справ. / А. В. Лыков. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
2. Р, а с ч е т ы процессов литья / Р. И. Есьман [ и др.]. — Минск: Вышэйш. шк., 1977. -264 с.
3. А н, а л и з решения сопряженной задачи тепломассопереноса при формировании тонкостенных литых заготовок / Р. И. Есьман, Л. И. Шуб // Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). — 2009. — № 5. — С. 58−65.
Представлена кафедрой ПТЭ и Т Т Поступила 28. 09. 2010

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой