Математическая модель формирования опорной поверхности колесом перекатывающегося типа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 629. 114
А. И. Сергеев — канд. техн. наук
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ОПОРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОЛЕСОМ ПЕРЕКАТЫВАЮЩЕГОСЯ ТИПА
Московский государственный технический университет «МАМИ»
(e-mail: trakvc@mami. ru)
В статье рассматривается математическая модель явления формирования опорной поверхности движения колесом перекатывающегося типа, которое представляется в виде трехзвенного механизма с тремя степенями свободы для действующего силового фактора, зависящего от характеристик внешнего силового поля.
Ключевые слова: колесо перекатывающегося типа, опорная поверхность движения, кинетическая энергия, потенциальная энергия.
This article describes a mathematical model of formative bearing surface of the wheels rolling over the type, which is represented as a three-tier mechanism with three degrees of freedom for the active power factor depends on the characteristics of an external force field.
Keywords: wheel of rolled type, movement seating, kinetic energy, potential energy.
Основными характеристиками движителя перекатывающегося типа с ободом, состоящим из шарнирно закрепленных опорных элементов (см. рисунок), которые совместно формируют опорную поверхность, являются кинематические, динамические и энергетические соотношения, определяющие законы движения каждого звена, а также их амплитудно-частотные характеристики, устанавливающие фазы устойчивого и неустойчивого равновесия.
Поскольку плоское движение колеса [1] перекатывающегося типа определяется действием активных сил, являющихся потенциальными
F = -dU-, где U = U (q1q2… q, s) — полная по-
dr-
тенциальная энергия системы. В этом случае обобщенные силы можно представить так:
, dU дг4 dU_
dqa.
Q = -I-
1=1 дЧа
Так как потенциальная энергия является функцией положения, то имеют место равенства
ди
Исходя из вышеизложенного, уравнение Лагранжа можно записать в виде
а д _ _ д
-- = 0 (а = 1,2, …, 5).
или
, я. -(T-U) — -(T-U) = 0,
dt дЯа дЯа
d dL dL
(1)
--------= 0. (а = 1,2, …, s)
& amp- дЧа дЧа Функция обобщенных координат д, обобщенных скоростей д и времени ї представляет лагранжиан системы (1), определяющий энерге-
Расчетная схема формирования опорной поверхности колесом перекатывающегося типа
тическое состояние системы «колесо — опорная поверхность» (далее просто системы),
Щ, ъ г) = Т (д, д, г) — и (д, г), (2)
находящейся под действием активных потенциальных сил.
Обобщенные силы для рассматриваемой системы можно представить в виде
_ дv й дv, .
ба =------1--------, (а=1,2,…, 5)
дда йг дда ^ ^
где V = v (д, д, г) есть так называемый обобщенный потенциал, зависящий от скорости трансформации связи.
Тогда функция Лагранжа для рассматриваемой системы определяется как разность кинетической энергии и обобщенного потенциала !^(д, д, г) = Т (д, д, г)-v (д, д, г). (3)
Составим дифференциальные уравнения движения для трехмерной плоской системы (см. рисунок), принимая за обобщенные координаты ф1 = q1, ф2 = q2, ф3 = q3.
Определим координаты звеньев:
X — / cos ф1, x2 = / cos ф1 +12 cos ф2, x3 = /1 cos ф1 + /2cos ф2 + /3cos ф3, z1 = /1 sin ф1, z2 = /1 sin ф1 + /2sin ф2, z3 = /1 sin ф1 + /2 sin ф2 + /3 sin ф3,
где = rk, l2 = Гк + h l3 = rk + h + hk.
В этом случае скорости первого, второго и третьего звена определятся следующим образом:
3? = X2 + ?!2,
32 = x2
2 1 z2
33 — X3
2
z3.
В общем случае для рассматриваемой системы кинетическая энергия
1
I
m,.
дгк.
-l
dq 1
dqs
dt
Y
После элементарных преобразований и введения обозначений
Т = Т (2) + Т (1) + Т (0)
запишем
m
к -1
6q1
& lt-h
dqs
i
m,
+2 Sl
Sq dq2
+2-^
6qs-1 ds
dk d±a dq1 dt 1
drk д*.
dqs dt
m,.
dt
(4)
С учетом обозначений
^ дгк дгк ^ дгк дгк
দ =& gt- тк --•--, Ъ = & gt- ^• -
9 V к дд, дд, ' ^ к дд, дГ
функции Т2 и Т1 можно записать в следующей форме:
Т (2) = 21 д,
2 1 9
т (1)=& amp-д,
г
где, а 9 и — коэффициенты инерции, зависящие от обобщенных координат и времени.
Таким образом, рассматриваемую систему можно представить суммой квадратичной Т (2), линейной Т (1) и нулевой форм относительно обобщенных скоростей.
Т = 2 (тД2 + т2& amp-2 + т3& amp-2),
где щт2, т3 и д1,& amp-2,&-3 — массы и скорости
взаимодействующих звеньев колеса перекатывающегося типа.
Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы (рис. 1) будут иметь вид:
-- - - = д, (а = 1,2, … 5),
а дда дд, а 1 '-
да (^) — функции, однозначно определяющие положение системы.
а дТ дТ
dt дф дф
d дТ дТ
dt дф2 дф2 d дТ дТ
-а,
— Q2,
= Q3,
dt дер3 дф3 или в нашем случае
Q1 --(m1 + m2 + m3) sinф1, Q2 — -(m2 +m3)g/2 sin ф2,
Q3 --(m3)gl3sin Фз,
где Q1, Q2, Q3 — определены, из условий
дТ 1 2m, Sv1 д (ф1 + 2m2 Sv 2 д (ф1 + 2m3 Sv3 1 д
дф1 2 1 дф1 St 2 д (ф1 Si 3 дф1 St
дТ 1 2m1 Sv1 д (ф 2 — + 2m2 Sv 2 д (ф 2 — + 2m3 Sv3 1 2 •9- д
дф 2 2 _ д (ф 2 Si д (ф 2 St д (ф 2 St
дТ 1 2m1 Sv1 дф3 + 2m2 Sv 2 дф 3 + 2m3 Sv 3 дф 3
дф 3 2 д (ф 3 Si д (ф 3 St д (ф3 St
k-1
k -1
k-1
Запишем определитель системы (5)
дФ1
& gt- 0
… 0
дТ дТ дТ
дф1 дф2 дф3
& gt- 0.
Известно, что уравнение (2) представляет полную энергетическую характеристику движения рассматриваемой трехмерной системы (рис. 1). Следовательно, решение поставленной задачи существует.
(6) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. — М.: Наука, 1968. — 479 с.
2. Сергеев, А. И. Транспортное средство / А. И. Сергеев, В. М. Шарипов. Патент рФ№ 224 259. 0публ. 27. 01. 2005. Бюл. № 3.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой