Математическая модель гидропривода взаимного поворота звеньев исполнительного механизма

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 62−82
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОПРИВОДА ВЗАИМНОГО ПОВОРОТА ЗВЕНЬЕВ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО МЕХАНИЗМА Багаутдинов И. Н., Журавлев Е. А., Богданов Е. Н.
ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», Йошкар-Ола, e-mail: BagautdinovIN@volgatech. net
Описано взаимодействие звеньев механизма? связанных вращательной кинематической парой? и элементов гидравлического двигателя поступательного движения. Получены выражения для приводной обобщенной силы, отнесенной к углу взаимного поворота звеньев и для передаточных функций, связывающих перемещение и скорость штока гидроцилиндра с углом и угловой скоростью относительного поворота звеньев. Векторно-матричная форма этих выражений облегчает их использование в алгоритмах автоматического формирования уравнений динамики многозвенных механизмов. В математической модели гидравлической части привода использованы уравнения баланса расходов рабочей жидкости с учетом её объемного сжатия, которые дают по одному дифференциальному уравнению первого порядка для каждой полости двигателя. Представлены результаты численной реализации предлагаемого описания для плоского трехзвенного механизма, приводимого в движение тремя гидроцилиндрами с дроссельным программным управлением.
Ключевые слова: гидропривод, вращательная пара, обобщенная приводная сила, динамика многозвенного механизма, численное решение
MATHEMATICAL MODEL OF HYDRAULIC ACTUATOR USED FOR LINKS RALATIVE ROTATION Bagautdinov I.N., Zhuravlev E.A., Bogdanov E.N.
Volga State University of Technology, Yoshkar-Ola, e-mail: BagautdinovIN@volgatech. net
The interaction between the mechanism links related by rotational pair and elements of hydraulic actuator is considered. Expressions are obtained for the generalized driving force attributed to relative rotation angle and for the analogs of rod displacement and rod velocity related them with the angle and angular velocity of links relative rotation. The vector-matrix form of these expressions facilitates there using in algorithms of automatic formation multilink mechanism dynamics equations. In the mathematical model of hydraulic subsystem balance equations of working fluid flow in view of its volume compression are used. Each one of them gives one first order differential equation for each chamber of the actuator. The results of the numerical implementation of the proposed description are presented for planar three-link mechanism driven by three valve-controlled hydraulic cylinders.
Keywords: hydraulic actuator, rotational pair, generalized driving force, dynamics of multilink mechanism, numerical solution
Гидравлические двигатели поступательного действия — гидроцилиндры — находят широкое применение в шарнирно — рычажных исполнительных механизмах для обеспечения взаимного поворота звеньев [1]. Если силовой электропривод имеет достаточно простую математическую модель, которая легко встраивается в известные способы описания динамики манипуляционных механизмов [3], то для гидравлического привода многозвенных шарнирных механизмов унифицированное описание кинематики и динамики в современной технической литературе отсутствует. Создание такого описания является целью настоящей работы.
При построении гидравлической части математической модели привода используются обычные допущения технической гидравлики и известные уравнения [2], описывающие динамику элементов привода — распределителей, трубопроводов, гидроцилиндров.
Математическая модель
Рассматривается механизм, состоящий из п жестких звеньев, последовательно
связанных вращательными парами- первое звено связано вращательной парой с неподвижным основанием. Механизм приводится в движение гидравлическими двигателями G1, G2, …, Оп. Каждый двигатель — одноштоковый гидроцилиндр, управляющий взаимным поворотом двух смежных звеньев. В соответствии с кон -структорской практикой полагаем шток к-го двигателя шарнирно связанным с к-м звеном, а его цилиндр — с (к — 1)-м звеном (рис. 1).
С каждым к-м звеном жестко свяжем правую ортогональную систему координат О/ХкУк2к, ось О]7,к которой совпадает с осью шарнира, соединяющего к-е и (к — 1)-е звенья (рис. 1). С неподвижным основанием механизма связана базовая система координат ОХ^о^ъ- Положение каждого к-го звена относительно (к — 1)-го определяется величиной дк угла его поворота (по ходу часовой стрелки) вокруг оси О^ до положения в котором ось ОкХ становится параллельной плоскости Ок1Х 2к1. В том случае, когда оси О 2 и Ок2к параллельны, за дк принимается величина угла поворота
к-го звена до совпадения направлений осей ОкХк и Ок1Хк1. В результате конфигурация механизма полностью определяется набором обобщенных координат д1, д2, …, дп.
Матрицу линейного преобразования ко -ординат трехмерного вектора из системы координат Ок_1Хк1?к12к в систему координат О кХ1? к2к об означим ік (д,).
Введем следующие обозначения:
Lk1 — радиус-вектор точки Ок относительно центра Ок1-
ак1 — радиус-вектор центра шарнирного соединения цилиндра двигателя Ок со звеном к — 1 относительно центра О —
bk — радиус-вектор центра шарнирного соединения штока двигателя Ок со звеном к относительно центра Ок.
Вектор N силы, действующей на к-е звено со стороны штока гидроцилиндра Ок, представим в виде
N k=Nk
(1)
Здесь Ык — алгебраическая величина силы, которая имеет положительный знак, если вектор N направлен от (к — 1)-го к к-му звену. Естественно задавать векторы Ь и ак1, Lk1 в (1) их постоянными координатами в соответствующих локальных системах координат.
Очевидно, что обобщенная приводная сила Qк, соответствующая координате дк равна моменту силы Nk относительно оси
О]2к и может быть представлена в виде
а=(ь*х^)к
где k — орт оси О^х
С учетом (1) это выражение принимает следующий вид:
(2)
Величина силы Nk определяется разностью давлений в полостях двигателя Ок.
мк=р^-р^кК (3)
где а", р? — давления рабочей жидкости в полостях гидроцилиндра Gk- р^, Р^ -соответствующие рабочие площади поршня. Повсюду в дальнейшем нижний индекс 1 указывает на принадлежность величины к поршневой полости двигателя, а нижний индекс 2 — к штоковой полости.
Управление работой гидравлического двигателя осуществляется при помощи гидравлического распределителя (дросселя), который обеспечивает подключение рабочей полости двигателя к напорной магистрали, а сливной полости — к сливной магистрали.
При описании работы гидравлического двигателя использовались следующие предположения:
1) давления в напорной и сливной магистралях каждого двигателя постоянны и равны рн и рс соответственно-
2) гидравлическими потерями, связанными с утечками рабочей жидкости, можно пренебречь-
3) деформация трубопроводов, вызванная изменением давления рабочей жидкости, пренебрежимо мала-
4) падение давления рабочей жидкости вдоль участков трубопроводов, соединяющих распределитель и полости двигателя, не учитывается-
5) силы сухого и вязкого трения поршней о стенки цилиндров пренебрежимо малы по сравнению с приводными силами N.
Для установления зависимостей дав-
в полостях двигателя Ок от. его штока были использо-
лений р[к перемещения 5
ваны дифференциальные уравнения рабо-
ты [2], которые выражают условия баланса расходов рабочей жидкости, поступающей от распределителя в полости гидроцилиндра с учетом её объемного сжатия. В том случае, когда рабочей является поршневая полость двигателя, эти уравнения, с учетом принятых выше допущений, приобретают следующий вид:
(?)
7іРі =?^+^(дк)
: Р? =
^ ик (^2рн-р1к)/р 8І^(А, -рк)) ~^(чк)ъ Ц* Щ (і)^2р (^-рс/р 81^(р^к)-Рс) + Ц (к^'-к (дк)дк
(4)
Здесь Е и р — модуль объемного сжатия
и плотность рабочей жидкости- У^к —
объемы полостей двигателя вместе с участками трубопровода, соединяющих полость с распределителем при среднем положении поршня- цк — безразмерный коэффициент окна распределителя (0 & lt- цк & lt- 1) — нк (0 — регулируемая площадь проходного сечения окна распределителя- як (дк) — перемещение
штока двигателя, выраженное через обобщенную координату дк- як (д^)сік =як — скорость штока, выраженная через обобщенную скорость дк. Для перемещения як за положительное принимается направление к звену с номером к.
В том случае, когда рабочей является штоковая полость, уравнения (4) принимают следующий вид:
«(*) _____________
ЛР' V™+!*"*& amp-,)
А. «(*) =______К_______
ЛРг У2^-^к (дк)
М* Щ (!)^2р1к) -Ре/Р -Рс)-р1к)
М* ик іф^Г* 8І§ п^н — Рік)) + р2 к)^ (Чк)я,
(5)
Используя введенные ранее векторы Ьр даточных функций й'-к (дк), входящих
Lk1, ак1 и матрицы Tk (q|), получим матрич- в (4) и (5):
ные выражения для кинематических пере- 5 Го) = |Ь — Т (а — Ь)| - й '-
к ^2 ]с / & amp- 1с & gt- ^ 1с'- ^ к 1 1с 1 '-'-I к ^
^(?& lt-) = [Ь*-Т4(д4). («м-Ьм)]
тЛяк)& lt-лк-і-^к-і)
где d — расстояние между центрами опор-
Добавляя к соотношениям (2), (3), (4), (5)
ных шарниров двигателя О при среднем дифференциальные уравнения динамики [4]
положении штока.
рассматриваемого и-звенного механизма
X, А ія)Чі + X ЁВщ & gt- к = 1, …, П,
і=1 7=1
(7)
і=і
Численная реализация математической модели
а также начальные условия Як (Р) = Яко'-& gt-
чкФ) = Яко1 л (')(0)=л& lt-?) — р? Чо) = р%
и программу изменения управляющих пе- В качестве примера использования
ременных — площадей проходных сечений предлагаемой модели выполнен расчет
окон распределителей и, = ыЖ ґ & gt- 0, полу- движения плоского трехзвенного механго-
чаем замкнутую систему? уравнений описы- ма с тремя гидравлическими двигателями.
вающих движение механизма с гидравли- Схема механизма, расположение локаль-
ческим приводом, имеющим программное ных систем координат и двигателей пока-
дроссельное управление. зано на рис. 2.
*0
C2
Рис. 2. Схема плоского трехзвенного исполнительного механизма
Геометрические
низма:
L = 0.
м.
параметры меха-
а0=(0,25- 0−0)тм-
aj=(0,55- 0−0)тм-
а2=(0,55- 0−0)тм-
mk = б кг-
локаль-
bj = (0,25- 0- 0) тм-
Ь2 = (0,25- 0- 0) тм-
Ь3 = (0,25- 0- 0) тм.
Массы звеньев ные координаты их центров масс Ск = (0,4- 0- 0) тм- главные центральные моменты инерции звеньев Ik = 0. 32 кг-м2. Массы гидравлических двигателей считались пренебрежимо малыми.
Система дифференциальных уравнений динамики (7) для плоского шарнирного трехзвенного механизма была получена средствами компьютерной алгебры пакета Maple 4 на основе модифицированного рекурсивного алгоритма Ньютона — Эйлера. описанного в работе [5].
Параметры гидропривода: рн = 1.5 МПа.
рс = 100 кПа. F™ = Ъ, 14−10^ м2,
= 2,34 • 104 м², = 8,06 • 10−5 м3,
V2(k) = 7,28 ¦ 10Г5 м3, цк = 0.7. dk = 0. 395 м.
Характеристики рабочей жидкости: p = S00 кг/м3. E = 1300 МПа.
Рассматривается движение механизма в горизонтальной плоскости при начальных условиях: ^1(0) = 1,396 рад-
д2(0) = -0,524 рад- д3(0) = -1,222 рад-
й (0) = 0- А"(0) = ^(0) = р, (к = 1, 2, 3).
Рабочая жидкость подается в поршневую полость двигателя О и в штоковые полости двигателей О2, О3. Программы управления для всех распределителей одинаковы:
2Ut/x, при 0& lt-t<- 0,5 т, 2U (l-t/т), при 0,5х & lt- t & lt- т, 0, при t & gt-т.
Здесь и = 10−6 м3, х = 2 с.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (7), (4) 12-го порядка решалась численно методом Рунге — Кутты с постоянным временным шагом А (= 0,05 с. Размер шага интегрирования выбирался в ходе численных экспериментов.
Результаты численного решения представлены на рис. 3−4. На рис. 3 показаны изменения обобщенных координат
А?*(0 = 4(0 — & amp-(°) —
0,8
0,4
0,0
-0,4
-0,8
-1,2



(1,0, 0, 5: !, o —


•q1(t)-q1(0)
*q2(t)-q1(0)
q3(t)-q1(0)
t, С
Рис. З. Графики изменения обобщенных координат механизма
В FUNDAMENTAL RESEARCH № S. 2014 В
0. 50 о. as о. so
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2. 4
t, с
Рис. 4. Изменение давлений в полостях двигателя G1
На рис. 4 показаны изменения давлений рабочей жидкости в полостях двигателя G1- черного цвета кривые соответствуют рабочей, а синяя — сливной полости. Наблюдаемые колебания объясняются сжимаемостью рабочей жидкости.
Заключение
Представленная математическая модель дает единообразное описание кинематики и динамики гидропривода вращательного звена механизма при произвольном расположении гидродвигателя поступательного действия. Векторные формы представления обобщенных сил (2) и передаточных функций (6) удобны для использования в алгоритмах автоматического формирования уравнений динамики механизма.
Работа выполнена в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014−2020 годы» Минобрнауки России.
Список литературы
1. Багаутдинов И. Н., Шестаков Я. И. Оценка влияния неплоскостности опорного кольца опорно-поворотного круга платформы машины ЛП-19 В на напряженное состояние механизма поворота // Известия вузов. Лесной журнал. -2002. — № 7. — С. 38−44.
2. Попов Д. Н. Динамика и регулирование гидро-и пневмосистем. — М.: Машиностроение, 1976. — 424 с.
3. Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. — М.: Наука, 1989. — 368 с.
4. Luh J. Y.S., Walker M.W., Paul R.P.C. On-line computational scheme for mechanical manipulators // Trans. ASME, J. of Dynamic Systems, Measurement & amp- Control. — Vol. 102. -1980. — P. 69−76.
5. Walker M.W., Orin D.E., Efficient dynamic computer simulation of robotic mechanisms, Trans. ASME // J. of Dynamic Systems, Measurement & amp- Control. — Vol. 104. — 1982. — P. 205−211.
References
1. Bagautdinov I.N., Shestakov Ja.I. Ocenka vlijanija neploskostnosti opornogo kol’ca oporno-povorotnogo kruga plat-formy mashiny LP-19V na naprjazhennoe sostoja-nie mehanizma povorota. Izvestia vuzov. Lesnoj zhurnal, 2002, no. 7, 384.
2. Popov D. N. Dinamika i regulirovanie gidro- i pnevmo-sistem. — M.: Mashinostroenie, 1976. — 424 p.
3. Chernous’ko F. L., Bolotnik N.N., Gradeckij V.G. Ma-nipuljacionnye roboty: dinamika, upravlenie, optimizacija. M.: Nauka, 1989. 368 p.
4. Luh J.Y.S., Walker M.W., Paul R. PC. On-line computational scheme for mechanical manipulators. Trans. ASME, J. of Dynamic Systems, Measurement & amp- Control, vol. 102, 1980, pp. 69−76.
5. Walker M.W., Orin D.E., Efficient Dynamic Computer Simulation of Robotic Mechanisms, Trans. ASME, J. Dynamic Systems, Measurement & amp-Control, vol. 104, 1982, pp. 205−211.
Рецензенты:
Полянин И. А., д.т.н., профессор кафедры транспортных и технологических машин, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола-
Сидыганов Ю. Н., д.т.н., профессор кафедры эксплуатации машин и оборудования, ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет», г. Йошкар-Ола.
Работа поступила в редакцию 15. 05. 2014.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой