Математическая модель массопереноса в обратноосмотическом аппарате трубчатого типа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 66. 021. 3:66. 011
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОПЕРЕНОСА В ОБРАТНООСМОТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ТРУБЧАТОГО ТИПА
© В. Л. Головашин, С. И. Лазарев, В.В. Мамонтов
Ключевые слова: математическая модель, аппараты трубчатого типа.
Предложена математическая модель, описывающая нестационарный массоперенос в обратноосмотическом аппарате трубчатого типа. Адекватность математической модели проверена с использованием обратноосмотической мембраны Е8РЛ для минерализированной технической воды на лабораторной установке с модулем трубчатого типа. Получены расчетные формулы для определения средней производительности и среднего давления в трубчатом баромембранном аппарате. Выявлены основные закономерности нестационарного процесса обратноосмотического разделения.
ВВЕДЕНИЕ
Для описания и объяснения явления массопереноса при обратном осмосе, а также для построения математических моделей и расчета данного процесса используются различные подходы и уравнения переноса растворенного вещества и растворителя через мембрану для жидкой и мембранной фазы [1−4].
При проектировании баромембранных процессов необходимо знать основные параметры для простейшей схемы обратноосмотического разделения (рис. 1).
Основными параметрами для каждой схемы являются: К — коэффициент удержания- V, с — объем, м3, и концентрация, кг/м3, в емкости исходной жидкости- Ок, Ор -расход исходной жидкости, концентрата и пермеата, кг/с- с^, ск, ср — концентрация растворенных веществ в исходной жидкости, концентрате и пермеате, кг/м3.
Зная параметры для простейшей схемы обратноосмотического разделения и производительность по одному из потоков (в зависимости от цели процесса -разделение или концентрирование), можно рассчитать время разделения, необходимую площадь мембран для
V", С0
каждой стадии процесса и тем самым определить конструктивные параметры обратноосмотической установки.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим задачу массопереноса через мембрану при движении жидкости в кольцевидном канале, образованном цилиндрическим корпусом и трубкой (мембраной).
Основные допущения.
1. Насос обеспечивает постоянство подачи.
2. В промежуточной емкости режим идеального перемешивания.
3. Изменением плотности жидкости пренебрегаем.
4. Режим течения жидкости ламинарный Яе & lt- 2300.
5. Свойства мембраны учитываются коэффициентом удержания и удельной производительностью.
Математическая запись задачи:
Начальные условия:
У (0)= у
сг (0) = сг 0
(1)
(2)
Материальный баланс по растворителю в промежуточной емкости:
ййут=-0г + ок
йт * к
(3)
(4)
Рис. 1. Схема обратноосмотического разделения. 1 — исходная емкость- 2 — насос- 3 — трубчатый мембранный модуль
Материальный баланс по растворенному веществу в промежуточной емкости:
й (У • с*) = -С* • с* • йт + Ск • Ск • йт
(5)
Материальный баланс мембранного модуля по растворителю:
С- = Ок + Ор
(6)
Материальный баланс мембранного модуля по растворенному веществу:
лать допущение о квазистационарности гидродинамических процессов в модуле.
Гидродинамика в мембранных каналах различных типов описывается уравнениями Навье-Стокса и неразрывности [1, 2]. Уравнения гидродинамики можно решить при некоторых допущениях [3]. Для нахождения поля скоростей в канале (в двухмерном случае) необходимо решать систему уравнений Навье-Стокса и неразрывности, которая для ламинарного режима принимает вид:
С- ¦ йУ + У ¦ йс* = -Оу '- С- '- Ф т + Ок '- Ск '- Ф т (7)
Продифференцируем (5)
с* • йУ + У • йс* = -С* • с* • йт + Ск • ск • йт (8)
Подставим в (8) выражение из (7)
с* • йУ + У • йс* = -С* ¦ с* • йт + (с* ¦ с* - Ср • ср) ¦ йт (9)
Преобразуем (4) с использованием (6)
йУ _ г Л =-°'-
(10)
ди дУ п
-----+ - = 0
дх ду
1 дР _• = у
р дх
(Л2
д2и (х, у)
ду2
(18)
(19)
Проинтегрируем уравнение (19) с учетом условий прилипания на стенках канала:
и (х, Р1) = и (х, Р2) = 0
0 & lt- х & lt- Ь-
Р & lt- у & lt- Я2.
(20)
(21)
(22)
йУ = - Ор • й т
(11)
Подставим (11) в (9)

у Ср • йт+У ¦ йс* =-С* • с* ¦ йт+(С* • с* - О • ср) • йт (12) После несложных преобразований получим
У • йсу = су • Ор • й т — Ор • ср • й т
У • йсу = су • Ор • йт — Ор • су-(1 — К)• йт
йсг _с?-ОрК
У
(13)
(14)
(15)
Подставим в (15) и (10) выражение, определяющее удельную производительность модуля
йсу су ¦ к (АР — Ап). Рт ¦ К
У
(16)
(17)
где т — время разделения раствора, с- Ал — осмотическое давление раствора, Па- Ят — площадь трубчатой мембраны, м2.
Систему уравнений (16)-(17) интегрируем с учетом начальных условий (1) и (2).
Поскольку в аппарате насос обеспечивает постоянство подачи, а исследованные концентрации незначительно влияют на плотность разделяемого раствора, в каждый момент времени интегрирования можно сде-
Для ламинарного стационарного потока получено следующее решение уравнений гидродинамики:
и (х, у) = • (у2 — у • р — у • Р2 + р • Я) •йР (х) (23)
24 йх
где Р (х) — распределение давления по длине канала, Па- ц — вязкость раствора, Па-с- Р12 — радиусы трубчатой мембраны и корпуса, м.
Определим неизвестную величину Р (х).
Запишем уравнение расхода через канал.
Я2 1 ФР (х)
6(Л у) = {--(у2 — у • Я, — у • Я + Я- Я)-^- Ф (24)
«2-Ц Фх
После интегрирования имеем йР (х)
О^х)=^ -- • (Я-р23−3 • я • р22−3 • р2 • р2) (25)
Для нахождения давления продифференцируем уравнение расхода по х
(2Р (х)
дОх) =-•-(Х- •(Р — Р -3 • Я-Р -3 • Р2- Р)• (х (26) 12 Ц
С другой стороны, изменение расхода в канале записывается выражением
V
'-///////////////////////////х
ОМ 0(х+с1х)

М
/_ X
JVdx
Рис. 2. Схема изменения расхода в канале
йО (х) = О (х + йх) — О (х) = У (х) • йх = к • Р (х) • йх (27)
На рис. 2 показана схема изменения расхода в канале, образованном цилиндрическим корпусом и мембраной.
Приравняем правые части уравнений (26)-(27) и проинтегрируем с учетом граничных условий:
Р (0)=Р" —
Р (Ь)=Рк.
(28)
(29)
Получено следующее выражение для распределения давления по длине канала:
Р (х) =
Рп -соб^А-х)-$іпЬ (А- х) — Р, • собЬ (А-Ь) -$тЬ (А-х) + Р • $іпЬ (А- х) яілЬ (А • Ь)
(30)
где Рп _ к — давление в начале и конце канала-
А =
(Я — Я)
(31)
Выход ретентата
где к — водопроницаемость мембраны, м^м^с-Па.
Среднюю производительность на границе канала можно записать как:
О- = к-Р
Среднее давление по длине канала:
1 ь
Р = Ь'- IР (х)•йх
(32)
(33)
Данные выражения подставляем в уравнения (16) и (17), пренебрегая перепадом осмотического давления, ввиду малых концентраций исследованных веществ, и заменяя перепад давления через мембрану средним значением давления в канале. Средний коэффициент удержания определяем по формуле:
К = 1 —
1
1 + (т- 1)
1 — ехр
• ехр
О -8
рзт
'- Д,
(34)
где у — равновесный коэффициент распределения- к — толщина активного слоя мембраны, м- Б0 — коэффициент диффузии в растворе, м2/с- 8 — толщина пограничного диффузионного слоя, м.
Для проверки адекватности математической модели были проведены эксперименты по разделению многокомпонентных растворов минерализированной технической воды на лабораторной обратноосмотической установке с мембранным модулем трубчатого типа, представленным на рис. 3. Эксперименты проводились при постоянном давлении (4 МПа) и температуре (293 К), с использованием обратноосмотической мембраны Б8РЛ.
Выход
пермеата
Выход
пермеата
Вход, исходного раствора
0
Рис. 3. Схема мембранного модуля трубчатого типа. 1 — цилиндрический корпус- 2 — мембрана- 3, 4 — фланцы- 5 — трубные решетки- 6 — пористая трубка- 7, 8, 9, 10 — штуцера
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проверка адекватности математической модели заключалась в сравнении расчетных и экспериментальных значений технологических параметров процесса обратноосмотического разделения: 1. концентрации и объема раствора в исходной емкости- 2. коэффициента удержания и производительности по пермеату, для исследованных систем раствор-мембрана, в зависимости от времени ведения процесса.
Основные результаты экспериментов и расчета изображены на рис. 4−7. Из графиков видно, что расхождение между экспериментальными и расчетным данными не превышает ±15%, что свидетельствует о приемлемости разработанной математической модели реальным массообменным процессам в обратноосмотических аппаратах трубчатого типа. Полученные результаты можно использовать при проектировании и расчете обратноосмотических установок и технологических схем баромембранного разделения.
Сисх, 0. 18 кг/м5
0. 17
0. 16
0. 15
0 14
0,13
0. 12
0 11





г
г*& quot-'-
0 2 4 6
-х-расчетная зависимость
10 12 14 16 18 20 х, ч
¦ экспериментальные значения
Рис. 4. Зависимость концентрации раствора в исходной емкости от времени концентрирования V, м3 0 006
0. 005
0. 004
0. 003
0. 002
0. 001

'- '-Л-




0 2 4 6 8
-х- расчетная зависимость
10 12 14 16 18 20 1, ч
¦ экспериментальные значения
Рис. 5. Зависимость объема раствора в исходной емкости от времени концентрирования
U 0. 9G
0. 34
0. 92
о. э

e-X-5 f '-• e-X-)
X 4





0. 86
0. 84
О 82
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 I, ч
-х-расчетная зависимость ¦ экспериментальные значения
Рис. 6. Зависимость коэффициента удержания от времени концентрирования
с 21
G х 10 ,
20. 5
20
13. 5
19
18. 5
18


4^,



10
14
16
20 1, ч
-& gt-<--- расчетная зависимость ¦ экспериментальные значения
Рис. 7. Зависимость удельной производительности по пермеату от времени концентрирования
ЛИТЕРАТУРА
Дытнерский Ю. И. Баромембранные процессы. Теория и расчет. М.: Химия, 1986.
Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В. И. Полежаев, А. В. Бунэ,
Н. А. Верезуб и др. М.: Наука, 1997.
Химическая гидродинамика. Справочное пособие / Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д. и др. М.: Квантум, 1996.
Чураев Н. В. Физикохимия процессов массопереноса в капилярно-пористых телах. М.: Химия, 1990.
Поступила в редакцию 6 сентября 2008 г.
Golovashin V.L., Lazarev S.I., Mamontov В.В. Mathematical model of mass transfer in reverse osmosis device of tubular type. The mathematical model describing non-stationary mass transfer in a reverse osmosis device of tubular type is offered. Adequacy of the mathematical model is checked using a reverse osmosis membrane ESPA for mineral technical water on laboratory installation with a module of tubular type. Calculation formulas for definition of an average productivity and average pressure in a tubular reverse osmosis device are obtained. The basic laws of non-stationary process of reverse osmosis divisions are revealed.
Key words: mathematical model, device of tubular type.
1.
2
3.
LITERATURE
1. Dytnersky Y.I. Baromembrane processes. Theory and calculation. M.: Khimiya, 1986.
2. Mathematical modelling of convective heat and mass exchange on the basis of Navier-Stokes' equations / V.I. Polezhaev, A.V. Bune, N.A. Verezub, etc. M.: Nauka, 1997.
3. Chemical hydrodynamics. Handbook / Kutepov A.M., Polyanin A.D., Zapryanov Z.D., etc. M.: Kvantum, 1996.
4. Churaev N.V. Physics and chemistry of processes of mass transfer in capillary-porous bodies. M.: Khimiya, 1990.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой