Математическая модель Лоренца в строительном производстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛОРЕНЦА В СТРОИТЕЛЬНОМ
ПРОИЗВОДСТВЕ
Гоголадзе Владимир Рамазиевич
аспирант, ассистент кафедры «Менеджмент и инновации», Московский Государственный Строительный Университет, г. Москва
E-mail: gogoladze. 1 @gmail. com
MATHEMATICAL MODEL OF THE LORENZ SYSTEM IN THE
CONSTRUCTION BUSINESS
Vladimir Gogoladze
post-graduate student, assistant professor of Management and Innovations department, Moscow State University of Civil Engineering, Moscow
АННОТАЦИЯ
В работе с использованием концепции обыкновенных математических моделей построена модель производственного процесса в строительной компании. Построенная математическая модель при определённом выборе коэффициентов приводится к модели Лоренца. Изучена динамика производственного процесса в строительной компании и приведена экономическая интерпретация странного аттрактора Лоренца.
ABSTRACT
In the paper the model of the production process in the construction company is based on the concept of ordinary mathematical models. The constructed mathematical model for a specific choice of coefficients is reduced to the Lorenz model. The dynamics of the production process in the construction company is studied and the economic interpretation of the Lorenz strange attractor is given.
Ключевые слова: странный аттрактор, Лоренц, строительная компания
Keywords: strange attractor, Lorenz, construction company
1. Построение математической модели
Примем гипотезу, в соответствии с которой скорость изменения объёма производства в строительной компании пропорциональна разности между доходами от реализации продукции (оплата по договорам подряда, продажа или
сдача в аренду введенных в эксплуатацию зданий, сооружений) и расходами на осуществление производственной (операционной) деятельности (затраты на приобретение строительных материалов, содержание и аренду строительных машин и механизмов, выплата заработной платы, накладные расходы, налоги и т. д.).
Обозначим:
х- объём производства в денежном выражении-
у- объём реализованной продукции-
а- рыночная цена единичного объёма реализованной продукции-
/?- приведённая себестоимость единичного объёма произведённой продукции.
Тогда в соответствии с принятой гипотезой можем записать уравнение:
Скорость изменения объёма реализованной продукции пропорциональна разности между объёмом рыночного обеспечения произведённой продукции, объёмом насыщения рынка и объёмом обеспеченного спроса на ресурсы. Если дополнительно обозначить:
г- коэффициент рыночного спроса на заданный объём произведённой продукции-
у- коэффициент насыщения рынка-
8- коэффициент обеспеченности производства ресурсами- ъ- необходимый объём ресурсов для производственного процесса в денежном выражении,
то будет справедлива следующая запись:
х = ау — ($х.
(1)
у = гх — уу — 8хх.
(2)
Скорость изменения объёма ресурсов строительного производства
пропорциональна разности между объёмом притока ресурсов и объёмом ресурсов, потребленных в производственном процессе.
Далее, обозначив:
Ь- коэффициент скорости расхода ресурсов строительной компании в соответствии с ее производственной программой-
I- коэффициент ресурсообеспеченности строительного производства, получим уравнение
2 = -Ъг + 1ху. (3)
Таким образом, математическая модель функционирования строительного производства при принятых допущениях может быть представлена в виде:
х= ау — [$х, (4)
у = гх — уу — бхг, (5)
2 = -Ъг + 1ху. (6)
2. Исследование модели
Легко заметить, что система уравнений (4), (5), (6) совпадает с моделью Лоренца при значениях коэффициентов
а=р = 10-г = 28-у = 6 = 1 = 1-Ь=^. (7)
В этом случае на фазовой плоскости получаем странный аттрактор Лоренца, который, как известно, представляет фрактальное множество. Аттрактор Лоренца соответствует возникновению хаоса в детерминированной системе, когда объёмы производства и дохода становятся неуправляемыми и система движется к разрушению. Поэтому очевидная задача состоит в том, чтобы предотвратить хаотические режимы работы строительного предприятия с помощью подбора соответствующих значений определяющих параметров
системы.
Система уравнений Лоренца имеет вид
х = Юу-Юх, (8)
y = 2Qx — y — xz, (9)
g
z =-z + xy. (10)
Если принять единичные начальные условия для определяющих параметров системы Лоренца, то решение легко найти с использованием программного комплекса MathCAD компании PTC.
Системе уравнений Лоренца в MathCAD соответствует матричный оператор
D (t, Q): =
(laQj — i& amp-Q0 ^


(11)
Для решения системы уравнений Лоренца с единичными начальными условиями составляем программу:
1
L := Rk adapt 1, Cl., 50,3 000., D 1
i := 0. 300I
3. Решения системы уравнений Лоренца Решения даются в виде графиков на рис. 1, 2 и 3.
X, 0
-20
0
10
40
50
20 30
Рисунок 1. Зависимость объёма строительного производства от времени
40
20-
^ 0
-20
-40
0
50
10 20 30 40
Рисунок 2. Зависимость объёма реализованной продукции от времени
60
40
20
111 ЛI1Пл ж
¦'- ¦!: «!'-Г.Г. '-М
10
20
№ 1
30
40
50
ъ
0
0

Рисунок 3. Зависимость объёма ресурсов от времени
Отрицательные значения объёма производства соответствуют накоплению
нереализованной продукции, что ведёт к дополнительным затратам, а отрицательные значения объёма реализованной продукции соответствуют случаю, когда спрос на строительную продукцию падает и расходы компании превалируют над доходами.
Построим картину данной динамической системы в фазовом пространстве:
(Ы, 8, Т)
Рисунок 4. Странный аттрактор Лоренца для динамической системы производства продукции в строительном бизнесе
Полученная картина странного аттрактора Лоренца соответствует процессу перехода детерминированной системы в хаотический режим работы. В зависимости от значенияпараметра г, система меняет форму «крыльев бабочки», что соответствует изменению рыночного спроса на продукцию производства.
Список литературы:
1. Ковалев В. В., Волкова О. Н. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. М.: ПБОЮЛ Гриженко Е. М., 2000. — 424 с.
2. Колмогоров А. Н., Новиков С. П. Математика. Новое в зарубежной науке. Серия 22. Странные аттракторы М. :Издательство «МИР», 1981.- 251 с.
3. Обгадзе Т. А. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие. М.: ИГУМО, 2002.- 51 с.
4. Обгадзе Т. А., Цвераидзе З. Н. Лабораторные работы по математическим моделям в экономике: учеб. пособие. Тбилиси: Технический университет, 2006.- 76 с.
5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала, новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ.М.: Издательство «МИР», 2002. — 336 с.
6. Экономика строительства: Учебник / Под общей ред. И. С. Степанова. — 3-е изд., доп. и перераб. М.: Юрайт-Издат, 2004. — 620 с.
7. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ.М.: Издательство «МИР», 1986.- 243 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой