Математическая модель операции вытяжки с утонением стенки двухслойных анизотропных материалов в конической матрице

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
УДК 539. 374- 621. 983
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ ДВУХСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В КОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ
М. В. Грязев, С. С. Яковлев, К.С. Ремнев
Приведена математическая модель операции вытяжки с утонением стенки двухслойных анизотропных материалов в конической матрице, позволяющая определить кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояние заготовки, силовые режимы формоизменения.
Ключевые слова: анизотропия, вытяжка, двухслойный материал, скорость деформации, деформация, напряжение, сила, пластичность.
В машиностроении на современном этапе находят широкое применение двухслойные материалы, т. е. материалы, в которых основной материал подвергается плакированию. Плакирующий слой, как правило, выполняет основную функцию — предохраняет изделие от коррозии. Процессы пластического формоизменения двухслойных материалов в настоящее время мало изучены.
Материалы, подвергаемый штамповке, как правило, обладает анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала и технологическими режимами его получения. Анизотропия механических свойств материала заготовки может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением, в частности, операций глубокой вытяжки.
Рассмотрен процесс пластического деформирования цилиндрической двухслойной заготовки в конической матрице. Материалы двухслойной заготовки принимаются неупрочняющимися, подчиняющимися условию пластичности Мизеса-Хилла и ассоциированному закону пластического течения [1]. Анизотропия механических свойств заготовки — цилиндрическая. Примем что, отношение диаметра заготовки к толщине Вз / Но & lt- 20. В этом случае можно считать, что течение материала проис-
ходит в условиях плоской деформации. Простейшим является радиальное течение в системе координат р0/'- (рис. 1).
Получены основные соотношения для течения металла в клиновом канале с углом, а при изменении толщины заготовки от Н§ до И 1 без разделения слоев с последующим присвоением им соответствующих индексов. Поле скоростей характеризуется уравнениями:
?р= ?р (р, 0) — Ке = 0- V/= 0. (1)
Рис. 1. Схема к расчету кинематики течения двухслойного материала
Для определения вида зависимости радиальной скорости от координат используем уравнение неразрывности, которое с учетом уравнений (1) принимает вид
Л
Эр (рРР) _ ° (2)
Общее решение этого уравнения
?р= Щ (3)
р
Компоненты тензора скоростей деформаций находятся по формулам
. _Э^р_ Ф (0) — х _ 1 Ф'-(0)
Хр Эр р2 ' Хрв 2 р2
Хв^Л Хвг'-_ °-
р р2
(4)
X 2'-_ °- Х/р_ °.
Поскольку физические уравнения ортотропного тела связаны с глав-
ными осями анизотропии, запишем выражения для компонент скоростей деформации в новых осях х, у, / (главные оси анизотропии) с помощью формул преобразования компонент скоростей деформаций [2]:
ф (в)
р2
соБ2в
1 Ф'-(в).
2 р2
біп 2 в- XУ _
Ф (в)
р
2
СОБ2 В +
1 Ф (в)
2 р2
БІп2в-
хУ
Ф (в). «в1 1 Ф'-(в) ов -----т-^-БІП 2 В ±-----------СОБ2 В.
(5)
2 р2
Принимая во внимание, что процесс деформирования реализуется в условиях плоской деформации
= 0, Хх = Чу, Х/у = Х/х = ^
то
Оох+Ьоу
^ ^ у =О- % =х =0, (6)
О + ь у
получим выражения для определения интенсивности напряжений О/ и ин-
тенсивности скоростей деформаций X/ анизотропного тела применительно
к нашему случаю, которые запишутся соответственно так
12
О,
А
(Г + О + Н)
(О х -О У)
2
4(1 — с)
и
X, _ 2 ((1 — с) хУ + X2 }1'-2,
3
(7)
(8)
где с — характеристика анизотропии в условиях плоской деформации, которая связана с параметрами анизотропии Г, О, Н, N следующим образом [1]
с _ 1
N (Г + О)
2(го+он+т)
(-? & lt- с & lt- 1) — 2 N:
1
т
sхy
Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций
для плоского течения анизотропного материала запишутся так:
4а (1 — с) г 4(1 — с). … _,
о у-°=---т, Ху- Ох-о=---тт/Ху-ху = 2т& amp-ху, (9)
У
где
(1 + а)
т
іху
2[(1 — суа+& amp- ]12
(1 + а)
а _ О / Г
(1°)
ЭУ ^хУ]
Определив компоненты напряжений в системе координат р, в, 2 через компоненты напряжений в системе координат х, у, г по формулам преобразования компонент напряжений
2 2 Ор _ О х соб в + О у біп в + т ху біп 2в-
г
Ов_ох біп в + о у соб2 в — тху БІп2в-
2
'-у
О 2 О 2 —
ху'-
рв
О у -О х
БІп2 В + тСОБ2в
2 ху
(11)
и подставив в эти соотношения выражения (9), получим уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций в следующем виде:
4(1 — с)
Ор_О +
°в_° +
(1 + а)
4(1 — с)
(1 + а)
9 9
т, Xу (абіп в-соб в) + 2 т, Xху БІп2в-
2 2 у (асоб в-біп в)-2т-?хуБІп2в-
(12)
трв 2(1 с) т/Ху БІп2 В + 2 т, Xху СоБ2 В.
Преобразуем функцию Ц/ путем подстановки в выражение (9) компонент скоростей деформаций
т*хур
2
(1 (1 (1 — с) Ф (0)соб20+ Ф'-(0)біп20 + -Ф (0)біп20+ Ф'-(0)соб20
V 2) V 2)
2
½
(13)
Примем, что функция Ц/ = Ц/ (р) — для этого будем предполагать, что скорость V р равномерно распределена по радиусу р и с = 0- ф (е)=фср- Ф'-(0)= 0.
В этом случае выражение (13) преобразуется к виду
= ^хур2
2
ф
ср
Используя условие непрерывности потока материала, найдем
_ Р (А
ф
ср
а
(14)
(15)
где Vo — скорость пуансона- И1 — толщина стенки протянутой заготовки- а
— угол матрицы.
Таким образом, функция Ц/ (р) принимает вид
т (р) _Рр2-
тsхy а
2У°И1
(16)
Уравнения равновесия
Э^ 1p0 Op — o0
Эp p Э0 p0p 1 ЭО0 2t0p _
0-
(17)
±--------^ + -^ _ 0.
Эp p Э0 p
Подставив во второе уравнение системы (17) выражения для определения компонент тензора напряжения Ор, Ое и Тре, получим
1 Эо 1 Э
p Э0 p Э0
---P (acos2 0- sin2 0) x Ф (e)cos2e ±Ф_(e)sin2e 1 + a І 2
1
— 2Р[-Ф (0) sin 20 ±Ф'-(0) cos20] sin20
4(1 — с) р
х
p
х
1
Ф (0)cos20±Ф_(0^іп20
sin20- -^x p
х
1
Ф (0) sin 20 ±Ф_(0) cos20
cos20.
Последнее выражение позволяет определить величину о так
о
= ---- b (acos20-sin20) F (0)cos20 ±F'-(0)sin20 +
1 + a V 2)
(1 ^
+ 2b -F (0)sin20 + -F'-(0)cos20 sin20−20Ф (0) +
V 2)
(1 ^
+ 4PcJ F (0)cos20 + - F'-(0)sin20 sin20d0-/(p). (18)
v 2)
Подставив выражения для определения компонент тензора напряжения Op, О0 и tp0 в первое уравнение системы (17), имеем
Р #(р) = ф^"(0)(1 — с • sin2 20) — 2Ф'-(0)с sin 40 -Р dp
— 4(1 + с cos40-с cos2 20) ф (0).
Это уравнение распадается на два
(1 — с sin2 20) Ф'-(0) — 2с sin40F'-(0) — 4(1 — с sin2 20) Ф (0) = D
и
p d/(p)
_D.
Р dр
Из последнего уравнения следует, что
dm = яр. dр р
После интегрирования получим
(19)
(20)
(21)
(22)

/ (р) = яр 1п р + С. (23)
Заметим, что, полагая в соотношении (20) с = 0, получим уравнение для определения Ф (0) в случае изотропного материала [3]. В дальнейшем при определении поля скоростей все величины, относящиеся к слою 1 будем обозначать индексом 1, а величины, относящиеся к слою 2 индексом 2.
По аналогии со случаем вытяжки с утонением стенки изотропного материала [3] подберем в первой области функции
уп (0) = 4е20 + Ще~20 — Д/4, у, 2(0) = -^ б1(е20−1) Щ,
а для второй области
у21(0) =2е20 + В2е 20 — °2/4,
У22(0) = - ?0 82(6 -20-е -2а) М 2.
Решение в каждой области будем искать в виде
Ф1(0) = А-е20 + В1е-20 — Д /4 — V0 8- (е20 — 1) N1,
Ф2(0) = А, е20 + В2в~ 20 — 02/4 — ?0 82 (е -20 — е -2а) М 2.
Функции Уц (0) и у 21(0) должны удовлетворять граничным и сопряженным условиям, а у 21(0) и у 22(0) — нулевым, однородным и граничным условиям. Сами функции Ф0) и Ф2(0) должны удовлетворять дифференциальному уравнению (20) в точках 0 = 0 и 0 = а:
4Ф1(0)] = 0,
(24)
^2[Ф2(а)] = ^
которые с учетом приведенных выше выражений преобразуются к виду:
4Ф1(0)] = -4?081 = 0, т. е. N1 = 0 (25)
и
2 [Ф2(а)] = [1 — с2 Бт2(2а)] Ф2'(а) — 2 С1 Бт (4а) Ф{(а) —
— 4[1 — с2 Бт2(2а)] Ф2(а) — О = -4 С2 Бш4ае2аА +
+ 4с2 Бш4а е~2аВ2 — С2 Бт2(2а) О --4?082{[1 -с2Бт2(2а)] е2а-Бт4а-е_2а }м2. (26)
Приведем окончательные выражения для определения значений компонент напряжений Ор, О0 и Тр0 в первом слое:
(1 ^
Ор1 _-4Р1Ф[(в)-2Р1Ф[(в) + 4Р1с1І Ф[(в)соБ2в± Ф[(0)біп20 біп20dв +
V 2)
(1 ^
+ 4с1Р1соб20 Ф1(0)соб20^-Ф{(в)БІп2в — ДР^пр- С1-
V 2)
1
О01 _-2Р1Ф[(в) + 4Р1с1І Ф[(в)соБ2вн- Ф[(в)БІп2в
V 2
— ІП р- С1-
(1 Хрв1 _р1Ф1(в) — 2с1 Ф1(в)соБ2 В + - Ф1(0)біп20
V 2 Во втором слое по аналогии найдём
(1 Ор2 _-6р2Ф2(в) + 4р2с21 Ф2(0)соб20 + -Ф2(0)бІп20
біп20 dв-
(27)
біп20.
біп20 dв +
(1 ^
+ 4с2Р2соб20 Ф2(в)соБ2 В + - Ф2(0)біп20 — Г& gt-2Р2іп р- С2-
V 2)
(1 ^
002 _-2Р2Ф2(в) + 4Р2с21 Ф2(в)соб2 В ± Ф2(0)біп20 біп20dв-
V 2 у
(28)
— ^2р2Іп р- С2-
(1 трв2 _Р2Ф2 — 2с2р2 Ф2(в)соБ2 В + 2Ф2(в)Біп2в
біп20.
где
Р1 _
TSXy а° о
------------ р2 _
_ тsхy 2 (а а°) 2^°^2
постоянных
21
Задача сводится к нахождению десяти
Ак, вк, ск, вк, N1, М2, где к _ 1,2.
Они определяются из следующих условий:
1. Постоянство расхода металла
а° а
| Рр1рйЮ+ | Ур2р& lt-^в_-К°(51 + § 2).
0 а°
2. Непрерывность скоростей течения металла на границе раздела слоёв металла
^1^а°) _ ^2^а°).
3. 4. Непрерывность напряжений Ов на границе раздела слоёв
Ов1(ра°) _ 0в2(P, а°).
Это условие даёт два соотношения между искомыми неизвестными коэффициентами.
5. Непрерывность касательных напряжений, возникающих на границе раздела слоёв металла
^р01(Р'ао) — '-р02(рао) •
6. На контактной поверхности заготовки с пуансоном реализуется закон трения Кулона
^р01(р, о) --m п s0i (p, o) •
7. На контактной поверхности заготовки с матрицей реализуется закон трения Кулона
тр02(р& gt-a) — -цМ о02(рa) •
8. Учёт изменения направления течения материала на входе в очаг пластической деформации в первом и втором слоях оцениваем по наибольшей величине угла поворота
ор1(р2, a0) — '-s1xytga0, еслиslxy & lt- '-s2xy, ор2(р2,a) —2xytga, еслиs1xy & gt-'-s2xy •
9. Удовлетворение дифференциальному уравнению (26) при 0 — 0
L1 [Ф1 (0), N1 ] - 0.
10. Удовлетворение дифференциальному уравнению (26) при 0 — a
L2 [Ф2(аХ M 2] - 0.
Силу P процесса на выходе из очага пластической деформации можно определить следующим образом
P — P1 + P2 + Ртр, (29)
где P1 — p (dп + 61) Px1 — сила в первом слое- P2 — p (dп + 281 + 82) Px 2 — сила
р2
во втором слое- Ртр — яцпdп 1 а01(р 0) dp- dп — диаметр пуансона- 81 и
р1
82 — толщина первого и второго слоев в готовом изделии соответственно.
Для определения величин осевого о x и касательного txy напряжений, сил в первом P1 и втором P2 слоях воспользуемся формулами преобразования компонент напряжений при повороте осей координат [2].
Подставляя выражения для определения осевого о x и касательного txy напряжений в формулы преобразования компонент напряжений при
повороте осей координат, получим выражения для определения величины осевого оx и касательного txy напряжений:
2 2 оx — Ор cos 0 + О0 sin 0 — Тр0 sin20-
ор-о0 • 20. 20 (30)
t xy — ^^--------sin20 +'-р0 cos20.
Принимая во внимание, что dx — р^0sin 0- dy — р^0cos0, выражения (30) и
dPx — о xdy +1 xydx — о ^^0 cos 0 + t xy р0 sin 0,
получим соотношение для определения приращения силы dPx:
2 2
dPx = (Op cos 0 + Gq sin 0- 2tp0 sin 0 cos 0) p^d0 cos 0 +
22
+ [(Op-O0)sin 0 cos 0 + tp0 (cos 0- sin 0)] Pid0 sin 0 или с учетом приращения напряжения о x, связанного с максимальным поворотом направления течения материала на выходе из очага деформации [4], будем иметь
dPx = (Op cos0 — tp0 sin 0) pid0 +1sxy ?g0ipi cos0d0, (31)
где 0i = ao — для первого слоя- 01 = a — для второго слоя.
Величины Pxi и Px2 определяются после интегрирования соотношения (31) по 0 для первого слоя в пределах 0… ao и для второго в пределах ao… a:
ao
Px1 = I ^p^pb 0) cos 0-tp01 sin 0]p1 d0 + tsxy1 tga0 p1sin a0 0
и
a
Px2 = I [sp2(P1,0)cos0-tp02sin0]p1 d0 + tsxy2 ^gap1(sina-sina0). a0
Подставив в это выражение формулы для определения напряжений Op и tp0 (27), (28), получим
^ 0
-6P^(0) + 4Р1 q 10n (0)sin20d0 +
0
+ 4 P1q cos200n (0) — D1 P^n p1 — C1) cos 0- (РФ1 (0) — 2 qP1 Фп (0)sin20)sin 0]p1d0 + ts1xy tga0p1 sina0-
и
a f 0
Px2 = I — 6 Ь2Ф2(0) + 4 b2 c2 I Ф22(0) sin20 d0 +
a0 _ v a0
+ 4 P2 C2 cos20 Ф22 (0) — D2 P2 ln p1 — C2) cos 0 —
— (р2ф2 (0) — 2 C2 P2 ф22 (0) sin 20) sin 0]p1d0 +152xy tgap1(sin a — sin a0), где
Ф11 = Фl (0)cos20+1Ф1 (0)sin20- Ф22 = Ф2(0)cos20+1Ф2 (0)sin20.
Полученные соотношения для анализа процесса вытяжки с утонением стенки двухслойного анизотропного материала позволяют установить влияние технологических параметров на кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояния заготовки, силовые режимы исследуемого процесса.
ao
Pxl _ I o
Работа выполнена в рамках государственного задания на проведение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014−2020 годы и гранта РФФИ № 13−08−97−519 р_центр_а.
Список литературы
1. Яковлев С. П., Яковлев С. С., Андрейченко В. А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с.
2. Яковлев С. С., Кухарь В. Д., Трегубов В. И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С. С. Яковлева. М.: Маттти-ностроение, 2012. 400 с.
3. Трегубов В. И., Яковлев С. П., Яковлев С. С. Технологические параметры вытяжки с утонением стенки двухслойного упрочняющегося материала // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2005. № 1. С. 29 — 35.
4. Теория обработки металлов давлением / Учебник для вузов / В. А. Голенков, С. П. Яковлев, С. А. Головин, С. С. Яковлев, В. Д. Кухарь / Под ред. В. А. Голенкова, С. П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.
Грязев Михаил Васильевич, д-р техн. наук, проф., ректор, mpf-tula@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tula@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ремнев Кирилл Сергеевич, канд. техн. наук, доц., mpf-tula@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODEL DRAWING OPERATION WITH WALL THINNING TWO-LAYER ANISOTROPIC MATERIALS IN CONEMA TRIX
M.V. Gryazev, S.S. Yakovlev, K.S. Remnev
A mathematical model for drawing operation with wall thinning bilayer anisotropic materials in a conical matrix, allowing to determine the kinematics of the flow of material, stress and strain state of the workpiece, forming power modes.
Key words: anisotropy, extractor fan, two-layer material, the rate of deformation, deformation, strain, strength, ductility.
Gryazev Michail Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, rector, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Remnev Kirill Sergeevich, candidate of technical sciences, associate professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой