О структуре общего решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с переменными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517
О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ и-ГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© В.И. Фомин
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, банахово пространство, общее решение.
Представлена структура общего решения уравнения и& lt-п)<-г) + А-& lt-г)и<-п-1)<-г) +… + Ап-1& lt-г)и'- & lt-г) + Ап& lt-г)и<-г) =
= / & lt-г), 0 & lt- г & lt-~, где А1 & lt-г) е С& lt-[0, то) — Ь& lt-Е)), 1 & lt- г & lt- п, С& lt-[0, то) — Ь& lt-Е)) — множество непрерывных функций, действующих из [0, то) в ь& lt-Е) — ЦЕ) — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в банаховом пространстве Е- /& lt-г) е С& lt-[0, то) — Е).
Замечание 1. Если Е,& lt-г) — решение уравнения & lt-3), то при любом фиксированном ~ е Е функция й,& lt-г) = ^"& lt-г)й является решением уравнения & lt-2).
Действительно, с учетом того, что
й, т) & lt-г) = к& lt-«) & lt-г)х, 1 & lt- т & lt- п, получаем
(ьй,) & lt-г) = ^,& lt-п) & lt-г)~ + А1 & lt-г)^,<-п-1) & lt-г)~ +… + Ап-1 & lt-г)Л'- & lt-г)~ +
В банаховом пространстве Е изучается уравнение
и & lt- п)& lt-г) + А1& lt-г)и & lt-п-1) & lt-г) +… + Ап-1& lt-г)и'- & lt-г) + Ап & lt-г)и<-г) =
= / & lt-г), 0 & lt- г & lt-~, & lt-
где
А, — & lt-г) е С ([0, ~) — Ь (Е)), 1 & lt- г & lt- п — С ([0, то) — ь (Е))
— множество непрерывных функций, действующих из [0, то) в ь (Е), ь (Е) — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в Е- /& lt-г)е С ([0,то) -Е).
Рассмотрим для & lt-1) соответствующее однородное уравнение
и & lt-п) & lt-г) + А1 & lt-г)и & lt-п-1) & lt-г) +… + Ап-1 & lt-г)и '-& lt-г) + Ап & lt-г)и& lt-г) =
= 0, 0 & lt- г & lt- то.
Уравнение & lt-2) можно записать в виде Ьи = 0, где Ь: Сп ([0, то)-Е) -- С ([0, то)-Е), для любой функции V е Сп ([0, то) —
Е) имеем, по определению,
(Ьу) & lt-г) = у°° & lt-г) + & lt-г)у& lt-п-1) & lt-г) +… + & lt-г)у'- & lt-г) + А & lt-г)у& lt-г) ¦
В силу линейности операторов
А & lt-г), 1 & lt- г & lt- п, 0 & lt- г & lt-то, дифференциальный оператор Ь
является линейным.
Определение 1. Сопутствующим операторным уравнением & lt-СОУ) уравнения & lt-2) называется уравнение вида
^ & lt-п) & lt-г) + А, & lt-г) ^ & lt-п-1) & lt-г) +… + Ап- & lt-г) ^ '-& lt-г) + Ап & lt-г) ^ & lt-г) =
= @, 0 & lt- г & lt- то,
рассматриваемое относительно искомой функции ^& lt-г)е Сп ([0,то) -ь& lt-Е)) {здесь 0 — нулевой оператор).
+ Ап & lt-г)К, & lt-г)~ = [^,& lt-и) & lt-г) + А1 & lt-г)^,& lt-и 1) & lt-г) +
… + Аи_! & lt-г)^. '-<-г) + Ап & lt-г)К & lt-г)] ~ = 0 ~ = 0.
Определение 2. Набор решений ^1& lt-г),^2<-г), …, Рп& lt-г) уравнения & lt-3) называется фундаментальной системой образующих & lt-ФСО) общего решения уравнения & lt-2), если п-параметрическое семейство функций
ц ц.
где х. — параметры, х. е Е & lt-1 & lt- у & lt- п), является общим
решением уравнения & lt-2).
Теорема 1. Пусть уравнение & lt-3) имеет п решений
^& lt-г), ^& lt-г),.. , ^ & lt-г), (4)
удовлетворяющих следующим условиям: р (Р& gt-<-0)Р<-Я>-<-0) = ^)& lt-0)^(р)<-0) -V 1 & lt- г, у & lt- п- 0 & lt- р, q & lt- п -1 & lt-5) & lt-по определению ^^& lt-0)<-0) = Рк & lt-0), 1 & lt- к & lt- п) —
3 [^& lt-0)] -1е Ь& lt-Е), & lt-6)
где ^ (0) — операторный определитель Вронского решений (4) в точке? = 0. Тогда совокупность решений (4) является ФСО общего решения уравнения (2), т. е. общее решение уравнения (2) имеет вид
М0. 0(?) = X ?1(?) Х1 '- (7)
1=1
где Хі (1 & lt- 1 & lt- п) — произвольные элементы из Е.
Доказательство. По определению общего решения уравнения (см. [1]) формула (7) будет задавать общее решение уравнения (2), если
1) для любых конкретных значений параметров Х[, х2,…, Хп є Е функция вида (7) является решением
уравнения (2) (это условие выполняется в силу замечания 1 и аддитивности оператора Ь) —
2) при любом фиксированном наборе начальных значений и», и0,…, м0п-1) є Е решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными условиями
и (0) = и0, и '-(0) = и0,.. , и (п-1) (0) = и0п-1) (8)
принадлежит семейству решений (7).
С учетом того, что
и^ (?) = X 1 (?)Хі, 1 & lt- т & lt- п -1,
1=1
начальные условия (8) принимают вид
X^}(т)(0)х1 = и'-т 0 & lt- т & lt- п-1, (9)
1=1
(по определению, и& lt-0) = и0, и® = и0). Операторный определитель системы (9) имеет вид
параметров х1, Хп, задаваемых формулой & lt-10).
Теорема 1 доказана.
Замечание 2. Следуя стандартной терминологии, выражение в правой части & lt-7) можно назвать линейной комбинацией операторных функций ^(г), Р2(г),.. , Рп & lt-г) с векторными коэффициентами
х"х2,…, хп.
Замечание 3. Уравнение & lt-2) и СОУ уравнения & lt-2) различаются между собой не только природой неизвестной величины & lt-в уравнении & lt-2) в качестве искомой величины выступает функция и& lt-г) е Сп ([0,то) -Е), в СОУ уравнения (2) — функция р& lt-г) е Сп ([0,то) -ь& lt-Е))), но и характером вхождения неизвестной величины в уравнение (при фиксированном г е [0, то) каждое слагаемое в уравнении & lt-2) есть значение соответствующего оператора из Ь& lt- Е) на соответствующем векторе из Е & lt-для первого слагаемого в качестве такого оператора выступает единичный оператор), а в СОУ уравнения & lt-2) каждое слагаемое представляет собой произведение соответствующих операторов в банаховой алгебре Ь& lt- Е)).
Замечание 4. В скалярном случае (Е = Я1) СОУ уравнения & lt-2) идентично уравнению & lt-2) и ФСО общего решения уравнения & lt-2) трансформируется в фундаментальную систему решений уравнения & lt-2).
З, а м е ч, а н и е 5. Для существования ФСО общего решения уравнения & lt-2) достаточно разрешимости п задач Коши для уравнения (3) с начальными условиями вида
Р (к)& lt-0) = I, Рв& lt-0) = 0, V 0 & lt- г & lt- п-1, г *к — к = 0,1,2,…, п-1, & lt-11)
где I и 0 — соответственно единичный и нулевой операторы.
Действительно, набор решений
Р Ж & lt-12)
*1(0) ВД … ^(0)
^'-(0) ^2(0) … ^(0)
Р1(п-1)& lt-0) Р2(п-1)& lt-0) … Рп (п-1)& lt-0)
т .е. А = ^ & lt-0) (оператор, А определяется однозначно в силу условия & lt-5) — понятие операторного определителя см. в [1]). В силу условия & lt-6) применимо операторновекторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве [1], согласно которому система & lt-9) имеет единственное решение
х} = X, А к] [^ (0)] -Чк-1), 1 & lt- ] & lt- п, (10)
к=1
где, А — операторное алгебраическое дополнение элемента определителя W (0), записанного в к -й строке и у -ом столбце (1 & lt- к, ] & lt- и).
Итак, решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными условиями & lt-8) имеет вид & lt-7) при значениях
таких задач Коши является ФСО общего решения уравнения (2), ибо в силу (11) определитель Вронского решений (12) в точке? = 0 есть единичный операторный определитель (т.е. операторный определитель, у которого каждый элемент главной диагонали равен единичному оператору, а остальные элементы равны нулевому оператору), следовательно, выполняются условия (5), (6) теоремы 1, так как I© = (c)I и единичный операторный определитель равен единичному оператору: ^ (0) = I, следовательно, существует
(0)]-1 = I є Ь{Е).
В случае, когда операторные коэффициенты уравнения (2) постоянны:
и (п)(?) + А1и (п-1)(?) +… + Ап-1и (?) + Апи{?) = 0, 0 & lt-? & lt- ~, (13)
ФСО общего решения такого уравнения построена в [1], [2]: если характеристический операторный многочлен
Р (Л) =Лп + А1Лп-1 +… + Ап-1Л + А уравнения (13) имеетр корней
Л"Л2, …, лр є ЦЕ)
с кратностями соответственно
тх, г2,…, г (р & lt- п, г1 + г2 +… + гр = п
= п),
и*(?) = X Р- (?)х і (?) + X Р- (?)х} (().
1=1 1=1
Пусть
удовлетворяющих следующим условиям:
АкЛг = ЛгАк, V 1 & lt- к & lt- я, 1 & lt- г & lt- р-
л, Л у = Л Д, V 1 & lt- г, ] & lt- р- 3 (л г — Л у У1 е Ь& lt- Е),
V 1 & lt- у & lt- г & lt- р,
то система операторных функций
{{г*^ г Ь!
X Р- (?) Х 1 (?) = 0.
1=1
Тогда
и*М = X Р/ (?) хі (?),
1=1
и* (?) = X р/(?) х 1 (?)+X р'-і (?) х 1 (?)¦
1=1 1=1
Пусть
является ФСО общего решения уравнения (13).
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и и,(г) — частное решение уравнения (1). Тогда общее решение уравнения & lt-1) имеет вид
и (?) = и0. 0(?) + и*(?)
(14)
где и0.0 & lt-г) задается формулой & lt-7).
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству соответствующего утверждения из [1].
Теорема 3. Пусть уравнение (3) имеет п решений вида & lt-4), удовлетворяющих следующим условиям:
Р/р)(г)Р/(г) = Р^Чг)Р1 & lt-р)(г), V 1 & lt-г, у& lt-п-, (15)
0& lt- р, q & lt-п-1 — 0& lt-г & lt-то
3 [W (г)] -1е Ь& lt-Е), V 0 & lt- г & lt- то, (16)
где w (г) — операторный определитель Вронского решений & lt-4). Тогда уравнение & lt-1) имеет частное решение вида
п г
и,(г) = X Р (г){ А у & lt-т)[W (т)] ч/(т)йт, (17)
у=1 0
где Апу (т) — операторное алгебраическое дополнение элемента Р& lt-п-1) (т) определителя W (т) & lt-1 & lt- у & lt- п).
Доказательство. Будем искать и,(г) методом вариации произвольных постоянных в виде
X р- (?) х'- 1 (?)=0. 1=1
Тогда
и*(?) = X р- (?) х- (?),
1=1
и** (?)=X і) х і (?)+X р- (?) х'-і (?).
1=1 1=1
Пусть
Тогда
и*п-1} (?) = X Р/& quot--1'1 (?)х і (?),
и,(п} (?) = X Р?' (?)Х- (?) + X РС-І) (?)хі (?). 1=1 1=1
Подставляя функцию & lt-18) и найденные выражения для ее производных в левую часть уравнения (1), имеем:
& lt-Ьи,)<-г) =
п п п
X Р& lt-п) (г) ху (г)+X Р--п-1) (г) х) (г)+А1 (г)Х р)"-1) (г)ху (г) +
у=1 у=1 у=1
и* (?} = X Р- (?)Х- (?), 1=1
(18)
^A"-2(?)X Р-(?)Хі (?)н
где х (г) — неизвестные пока функции. Подберем + Ап-1(г)Х Ру) (г)ху (г) + Ап (г)Х Ру (г)ху (г) =
1 1=1 1=1
х (г) (1 & lt- у & lt- п) таким образом, чтобы функция (18)
была решением уравнения & lt-1). Используя правило дифференцирования композиции операторной и векторной функций [3], получаем
= X Ріп -1) (?)хі (?) + [Р^ (?) + А1 МР/"-1 (?) +… +
1=1
-=1
-=1
і=1
+А"-2 (г)Р'-(г)+А"-2 & lt-г)Р)(г)+А" (О^ОТЫО+[Р^ (г) +
+ А1 (г)Р2& lt-«-1) (г)+… +А"-2 & lt-г)Р2<-г)+Ат_х (г)Р) (г) +
+А» (г)Р2 & lt-г)]х2 (г) + -+[Р"(л) (г)+А (г)Р"(«-1) (г)+… +
+ Ап-2 & lt-г)ри<-г) + А"-1 & lt-г)К & lt-г) + Ап & lt-г)Рп & lt-г)]хп & lt-г) =
п п
= ХР'-& quot--11^ & lt-г)+0×1<-г)+®*2<-г)+… +®х"(г) = ХР^х) (г),
М М
так как Р1 (г), Р2(г),…, Рп (г) — решения уравнения (3). Получили равенство
п
& lt- Ьи,)(г) = Х Р! п-1)& lt-г) х) (г). у=1
По условию (Ьи,)(г) = f (г):
п
Х Р (п-1)& lt-г) х) (г) = f (г). у=1
Итак, функция вида & lt-18) является решением уравнения (1), если
Хр & lt-г)х) (г) = 0,
≠1
Х Р) & lt-г)х) (г) = 0,
м
•… (19)
Х РТ2)(г) х) (г) = 0,
≠1
Х Р (п-1)& lt-г) х) (г) = f (г).
Операторный определитель системы & lt-19) имеет вид А (г) = W (г) (оператор, А (г) определяется однозначно в силу условия (15)). В силу условия (16) можно применить при каждом г е [0, то] операторно-векторное правило Крамера, согласно которому система & lt-19) имеет единственное решение
х) & lt-г) = Х Ау & lt-г)[w<-г)] А, 1 & lt- у п '
к =1
где Аку (г) — операторное алгебраическое дополнение элемента определителя W (г), записанного в к-й строке и у-ом столбце & lt-1 & lt- к, у & lt- п), Ьк & lt-1 & lt- к & lt- п) — правые
части уравнений системы & lt-19). С учетом того, что Ьк = 0, 1 & lt- к & lt- п -1, Ьп = f (г), получаем
х) (г) = А», (г^(г)]-1 f (г), 1 & lt- у & lt- п & gt-
откуда
ху & lt-г) = 1 Ап (т)|ж& lt-т)] «У& lt-т) йт, 1 & lt- у & lt- п'- (20)
0
В силу & lt-18), & lt-20) уравнение & lt-1) имеет частное решение вида & lt-17). Теорема 3 доказана.
Заметим, что условия & lt-5), & lt-6) теоремы 1 — это частный случай условий (15), (16) теоремы 3 при г = 0.
В силу теорем 1−3 справедлива Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда общее решение уравнения & lt-1) имеет вид & lt-14), где и00(г) задается формулой (7), а и,(г) — формулой (17).
Для получения решения задачи Коши & lt-1), & lt-8) достаточно в общем решении уравнения & lt-1) подобрать значения параметров х1, х2 ,…, хп таким образом, чтобы
выполнялись начальные условия & lt-8).
Результаты настоящей работы анонсированы в [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомин В. И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 5. С. 656−660.
2. Фомин В. И. О случае кратных корней характеристического операторного многочлена линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 5. С. 710−713.
3. Треногин В. А. Функциональный анализ. М., 1980. С. 144.
4. Фомин В. И. О структуре общего решения линейного дифференци-
ального уравнения n-го порядка с переменными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Материалы Воронеж. зимней математ. шк. „Современные методы теории функций и смежные проблемы“. Воронеж, 2007.
С. 230−231.
Поступила в редакцию 20 сентября 2008 г.
Fomin V.I. About general solution’s structures of linear differential equation by n-multiplicity with variable limited operational coefficients in the banach space. The general solution’s structure of equation was mentioned u (n)(t) + A1(t)u (n-1)(t) +… +
+A"_1(f)ut) + A» (t)u (t) = f (t), 0 & lt- t & lt-~, where A (t) e C ([0,") — L (E)), 1 & lt- i & lt- n, C ([0, & lt-«) — L (E)) — collection of continuous functions, acting from [0,& lt-«) to L (E) — L (E) — the Banach algebra of limited linear operators, acting in the Banach space E- f (t) e C ([0,& lt-*>-) — E).
Key words: differential equation, Banach space, general solution.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой