О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 954
Данг Хань Хой
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА ПЕРИОДОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА МНОГОМЕРНОЙ СФЕРЕ
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
The problem of periodic solutions of some liner integral-differential equations over multidimensional sphere is considered. It is shown, that the parameter set, under which a uniqueness and existence of the problem solution takes place, is a measurable set of complete measure.
В настоящей работе исследуется структура множества периодов, при которых существует единственное периодическое по времени решение нелокального уравнения типа Шредингера на многомерной сфере. Эти исследования полезны для изучения и моделирования периодических режимов различных квантово-механических систем и перспективны для практических приложений.
В работах [1,2] было обнаружено, что при исследовании задачи о периодических решениях некоторых уравнений с частными производными множество периодов, для которых имеет место единственность периодического решения, обладает довольно сложной структурой. В настоящей работе мы исследуем этот вопрос для специального класса линейных уравнений в пространстве функций на многомерной сфере.
Мы рассмотрим задачу о периодических решениях для нелокального уравнения типа Шредингера
(L — X) u =--aA — xlu (x, t) = v G (u — f) (1)
V i dt J
с условием периодичности по t
u It=0 = ut=b. (2)
Здесь u (x, t) — комплексная функция на Sn x[0,b], Sn — многомерная сфера, n & gt- 2- a Ф 0- X, v — заданные комплексные числа- Gu (x, t) = I g (x, y) u (y, t) dy (dy —
J Sn
мера Лебега — Хаусдорфа на сфере Sn) есть интегральный оператор на пространстве
L2 (x [0, b]) с гладким ядром g (x, y) на Sn xSn- f (x, t) — заданная функция.
Заменой t = Ьт наша задача сводится к задаче с фиксированным периодом, но для
нового уравнения, в котором коэффициент при производной по т есть 1:
b
1-- aA — X |u (x, bT) = vG (u (x, bT) — f (x, Ьт)). ibdT J
Итак, задача (1), (2) сводится к задаче о периодических решениях для уравнения
(L — X) u = f^bd& quot-_ aA — X) u (x, t) = vG (u — f)
с фиксированным условием периодичности по t
u t=o = u t=1.
Считаем, что дифференциальный оператор 1- - aA задан на пространстве функций
i bdt
(x, t) е Сш (п x [0,1]), таких, что ut=0 = ut=1. Обозначим через L замыкание этого операто-
ра в Н = Ь2 (& quot- х [0,1]). Известно, что собственные числа оператора Лапласа Д на сфере Б& quot- имеют вид Xк = к (к + & quot- -1), к є Z, к & gt- 0, и им соответствует ортонормированный базис собственных функций Wk (х) є Сш) (см., напр., [3]).
Лемма 1. Функции ет (х,ґ) = e, 2лmtwk (х), к, т є 2, к & gt- 0, есть собственные функции оператора Ь с соответствующими собственными значениями
. 2тп
Х кт =--- + ак (к + & quot- - 1)
Ь
на пространстве Н. Эти функции образуют ортонормированный базис в указанном пространстве. Область определения оператора Ь есть
О (Ь) = {и иыект {^ктикт2 & lt- ^икт & lt-ю}
Спектр о (Ь) оператора Ь есть замыкание множества {Xкт}.
Лемма 2. \О\2 & lt-М0 = ГГ е (х, у)|2?хёу.
0. М,?"- хБ& quot-
Заметим, что оператор Лапласа Д является формально самосопряженным относительно скалярного произведения (и, у) = Г и (х)у (х)йх на пространстве Сх (б& quot-). Произве-
*
дение Дх о О = ДхО есть интегральный оператор с ядром Д^(х, у). Положим
М = тах{\Д хО\,\О\}.
Лемма 3. Пусть у = Ои = I Уктет, тогда
2 4 М 2 2
кт
& lt-------------------------2\и\2. (3)
(к (к + & quot- -1) +1)2
При этом если к Ф 0, то
, 2, 4акт /. ч
уктГ & lt-------2, (4)
(к (к + & quot- -1) +1)
где акт = (ДхОи, ект У
Предположим, что а, X вещественны. Тогда по лемме 1 спектр о (Ь) оператора Ь лежит на вещественной оси. Наиболее типичным и интересным случаем является случай, аЬ
когда число — иррационально. В этом случае, как следует из теоремы Г. Вейля (см., напр., 2п
[4]), множество чисел Xкт всюду плотно на вещественной оси, и о (Ь) = К Теперь мы также предположим, что X Ф Xкт Ук, т є 2, к & gt- 0. Тогда определен обратный оператор
(Ь — X)-1, но этот оператор неограничен. В выражении для обратного оператора (Ь — X)-1 появляются малые знаменатели.
(Ь — X)-1 у (х^) =-Укт-ект, (5)
ккт X
где Укт есть коэффициенты Фурье ряда у (х,) =
уктект. к, тєИ, к& gt-0
Для положительных чисел о и С через Ао © обозначим множество таких положительных чисел Ь, для которых при всех целых т и к, к & gt- 0, выполнено неравенство
С
к*(6)
Как видно из определения, множества Ао © увеличиваются при уменьшении С и при увеличении о. Поэтому в дальнейшем для получения утверждений о непустоте такого множества или его части возникает требование, чтобы С было достаточно малым, а о — достаточно большим. Через Ао обозначим объединение по С & gt- 0 множеств Ао ©.
Теорема 1. Множества Ао ©, Ао — борелевские. При этом Ао является множеством
полной меры, т. е. его дополнение на полупрямой Я + имеет нулевую меру.
Теорема 2. Пусть функция g (х, у) задана на Б& quot- х Б& quot- и такова, что функция Д^(х, у)
непрерывна на Б& quot- х Б& quot-, 0 & lt- о & lt- 1, Ь е Ао©. Тогда определен обратный оператор (Ь — X)-1,
и (Ь — X) 1 о О есть компактный оператор.
Теорема 2 доказывается с помощью оценок малых знаменателей в коэффициентах Фурье ряда (5) с использованием неравенств (3), (4) и (6).
Обозначим К = КЬ = (Ь — X) — о О. Верна
Теорема 3. Пусть Ь е Ао ©. Тогда задача (1), (2) имеет единственное периодическое решение с периодом Ь для всех V е С за исключением не более чем счетного дискретного множества значений.
Доказательство. Уравнение (1) сводится к уравнению вида
V — X)-1 о О — 1]и = (Ь — X)-1 о О (/).
V
Обозначим (Ь — X) 1 о О -1 = К — 1 Так как К = (Ь — X) 1 о О есть компактный оператор,
V V
его спектр о (К) не более чем счетен, и единственной возможной предельной точкой этого
1
множества является нуль. Поэтому множество? = V Ф 0
є о (К)| & gt- не более чем счетно и
дискретно, и для всех V Ф 0, V? ? оператор К -1 обратим, т. е. уравнение (1) имеет един-
V
ственное решение. Теорема доказана.
Исследуем вопрос о разрешимости задачи (1), (2) при фиксированном значении параметра V. Для этого нам необходимо изучить структуру плоского множества Е с С х Я +,
состоящего из пар (V, Ь) таких, что V Ф 0 и 1? о (К), где К = КЬ =(Ь — X)-1 о О. Справед-
V
лива
Теорема 4. Множество Е — измеримое множество полной меры на С х Я +.
Для доказательства теоремы 4 нам потребуется ряд вспомогательных утверждений, приводимых без доказательства.
Лемма 4. Операторная функция КЬ непрерывна по Ь є Аа^^, г = 1,2,…
Следующее утверждение хорошо известно в функциональном анализе (см., напр., в
[5] Теорему 10. 20 и Упражнение 20).
Лемма 5. Спектр о (К) компактного оператора К непрерывно зависит от К в пространстве Сотр (н) компактных операторов на Н в том смысле, что для любого положительного є найдется 5 & gt- 0 такое, что для всех компактных (и даже ограниченных) операторов В, таких, что \В -К\& lt- 5, верны включения
о (В) с о (К)+ КЕ (0), о (К)с о (В) + КЕ (0). (7)
V
Здесь Уе (0) = {X е С | IX & lt- е} - е-окрестность нуля в С.
Из леммы 5 легко вытекает следующее
Предложение. Функция р (^К) = Шб1(X, о (К)) непрерывна на С х Сошр (Н)
Доказательство. Пусть X е С, К е Сошр (Н) и е & gt- 0. По лемме 5 существует положительное число 5, такое, что для любого оператора Н, лежащего в 5-окрестности | Н — К||& lt- 5 выполнены включения (7), из которых непосредственно вытекает оценка | р^, К) — р (^Н)| & lt- е. Тогда для всех ц е С, | ц — X |& lt- е, и Н, ЦН — К||& lt- 5 ,
| р (ц, К) — р (^ Н)| & lt- | р (ц, К) — р (1,К) | +| р (X, К) — р (^ Н) |& lt- | ц — X | +е & lt- 2е, откуда ввиду произвольности е & gt- 0 следует непрерывность функции р^, К). Предложение доказано.
Из доказанного предложения и леммы 4 непосредственно вытекает
Следствие 1. Функция р^, Ь) = Шб1(Х, ст (Кь)) непрерывна по (X, Ь) е С х Ао (-
О
г.
Теперь мы можем доказать теорему 4.
Доказательство. По следствию 1 функция —, Ь] непрерывна по переменным
(V, Ь) е (С {0})х Ао | и поэтому множество Вг = |(у, Ь) | р1, ь] Ф 0, Ь е Ао ^ измеримо.
Значит В = игВг измеримо. Ясно, что множество В с Е и Е = В и В0, где В0 = Е В. Очевидно, В0 лежит в множестве нулевой меры С х (Я+Ао) (напомним, что по теореме 1 множество Ао имеет полную меру Лебега на Я +), и так как мера Лебега полна, множество В0 измеримо. Итак, множество Е измеримо как объединение измеримых множеств. Далее, по теореме 3 для Ь е Ао сечение Еь = {V е С | (V, Ь) е Е} имеет полную меру, поскольку его
дополнение | V е о (КЬ)| не более чем счетно. Поэтому множество Е имеет полную плоскую меру Лебега. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает следующее важное
Следствие 2. Для почти всех V е С задача (1), (2) имеет единственное периодическое решение для почти всех значений периода Ь е Я +.
Доказательство. Поскольку множество Е измеримо и имеет полную меру Лебега,
то для почти всех V е С сечение Е^, = {Ь е Я + | (V, Ь) е е}= -Ь е Я+ |1 г о (КЬ)| имеет полную меру, и значит задача (1), (2) имеет при таких Ь единственное периодическое решение с периодом Ь. Следствие доказано.
Пользуясь случаем, автор выражает свою искреннюю благодарность проф. Е. Ю. Панову за внимание к работе.
1. Данг Хань Хой // Тез. докл. междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». М., 2004. С. 48.
2. Данг Хань Хой // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2004. № 28. С. 77−79.
3. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. С. 163.
4. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. С. 151.
5. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. С. 293.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой