Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 622. 011. 43
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Аршинов Г. А. — к. ф. -м. н.
Кубанский государственный аграрный университет
Исследуются условия возникновения уединенных продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих стержнях.
В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесенном к системе координат с осью х, расположенной вдоль осевой линии стержня, и осями у, 2 — в одном из поперечных сечений, перемещения точек стержня аппроксимируются функциями
где и !, и 2, и з — соответственно перемещения по осям х, у, ъ- 1 — время, V —
где х1 = х, х2 = у, х3 = ъ.
Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [1]:
и1 = и (х, 1-), и2 = -ууих, и3 = -У2их,
(1)
_ Эи
коэффициент Пуассона, их = т-.
Эх
Деформации стержня задаются тензором Г рина:
(2)
— ?
где 1, т — параметры Ламе, 0 = ?п — объемное расширение, 5У| - символы
Кронекера еу = ?у — 3 05 у — компоненты девиатора деформаций, а, Р, 7 —
реологические константы материала,? и = - е^е^ - интенсивность деформа-
3
ций.
Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальными путем разложения функций
f (т) = 10(т)5у + 2|т?у (т) + 2т7? и (^)еА|(т) в ряд Тейлора по степеням (1 — т).
При условии быстрого затухания памяти материала Р1 & gt->- 1 в разложениях можно сохранить два слагаемых ряда и записать
о у = Р (105у + 2 т? у) + 2утр (? иеу),
где введены операторы
^ а Э «а, а Э а
Р = р2Э1 +(1 -Р}' Р = р2Э1-Р '
действующие на функцию f (1) по правилам
а „“ ач_ _ а „а
Pf =Xft + (1X, Рf =Х -тт
Ь2 ^ у р2 1 р
Компоненты девиатора деформаций:
= 2(1 + П) 1 п 2ч 2
е11 =-----3---их + 3(1 -П)их + ,
1 п 1/1 2 ч 2 V 2Г2 2
е22 =“ (1 +П)их -» (1 -П)их------ ихх
3 6 6
2
пу V у
е12 =^^ихх + ~их^
2
пъ V 2ъ
е13 =-уихх + ~ихихх,
2 2,2 где г = ъ + у.
Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа так же, как в работе [2], и преобразуется к безразмерным переменным
^ х с с .и * х * у
Х =------1, т = ?-1, и* = -, х =-, у = -,
11 1 а, а а
где, А — амплитудный параметр возмущения, 1, ё — соответственно характерА
ные длина волны и поперечный размер стержня, с — скорость волны,? = - -
характеристика нелинейности волнового процесса.
Если длина волны 1 значительно превосходит амплитудный параметр А
А, т. е.? = - - малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологические постоянные а, Р, 7 определяют отношения порядков
= 0(?), у = ОС1), — = 0(л/е),
Р21 '-? 1
где — - характерный размер поперечного сечения,
то безразмерное уравнение движения стержня примет вид:
рс2
Е
— и- + 2? ихх — ?2ихх + ?п2 (ихххх — 2еиХХХт ^2иХХтт)¦
+
+
а, а ас Э Э
+(1 -р)и XX +?(1 -р)и хи XX +рх1(?ЭT& quot-ЭX) ¦[и XX+?и Xи XX] + (4)
22? ауи X и XX = 0 ,
где, а =---------, а звездочки отброшены.
р (1 + п) Р
Функцию и представим в виде асимптотического разложения: и = и0 + ?ц +… и подставим в уравнение (4). Из нулевого приближения следует уравнение:
Е
+
'-і
Ру-І
где Е — модуль упругости.
Так как ^ 0, то скорость распространения волны с
— (і-Р)• р р
Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кор-тевега де Вриза — Бюргерса:
Л
Ут + Ь1 УУх — ь2У Ух + Ь3УXX + Ь4УXXX = 0'
(5)
а
где У = u0x, Ь1 = 1 -р, Ь2 = ауе, Ь3
ас
2"2 і2
Ь -Р 21е ' 4 = 2е12
Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия
Шо
ш=
Б
(6)
где щ, ш1, Б — неизвестные функции независимых переменных.
Подстановка (6) в уравнение (5) дает
1

У о =±

Ь
6Ь4 Б
4 -LXX
Ь
3 Ь1
3 + 1
Ь2 FX Л/6Ь^ 2Ь2 5
1
Ь2 Б
+ У1. Подстановка в последнее равенство
где функция у1 удовлетворяет уравнению (5)
В результате у 0 = ±
2(k1X-fflT)
функции Б = 1 + е п приводит к точному решению уравнения (5) в виде:
к1
У = ± - п М
6Ь4+u, k1X-wг
& quot-Ь
-Ш (-
п
)]
Ь
3 Ь1
3 + 1
л/6Ь2ь7 2Ь2 '
(7)
1 Ь2 1 Ь3

)к1----2^ к]3, п є 2, к1 — произвольный параметр.
4 Ь2 6 Ь4
п
Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает структуру ударных волн.
Ь3
к к
1) Пусть — & gt- 0 и ± - п 2пу
6Ь4
Ь2
'-3 + = 0.
6Ь2Ь4 2Ь2
тогда
к 6ъ, = ь3 * _ь,
2п V Ь
6Ь2Ь4 2Ь2
и
У =(-
Ь1 + Ь3

6Ь2Ь4
Ж-
:)]
3 Ь1
3 + 1
п д/6Ь2Ь4 2Ь2
В итоге
У = (А- ±^)(1 — іЬ (кіі-юг)).

2 л/ 6Ь2Ь4
п
Ь Ь3
Если-----& gt- ±, =, то при выбранных условиях в стержне возникает

6Ь4Ь2
уединенная ударная волна растяжения (у & gt- 0), если -- & lt- ± 3
2Ь2
6Ь4Ь2
— вол-
на сжатия (У & lt- 0).
к к
2) Пусть — & lt- 0 и * - п 2п у

Ь2 д/6Ь2Ь4 2Ь2
тогда
2пД!
6Ь4
Ь2
Ь3 ±А_ & lt- 0
6Ь2Ь4 2Ь2
и
/ Ьі Ь3 к^ - ютч
У = Ьт-------------гт=Ж-----------------------)
Ьі
2Ь2 д/6Ь2Ь4 7 4 п 7 д/6Ь2Ь4 2Ь2
+
В результате
y = (±A. -_^)(1 +)).
Y V 2b2 л^ь2ь7 n «
bi. b3 ________ bi ^ b3
Если ±------& gt-, = или -----& gt- ±, =, то при указанных усло-
2Ь2 л/бЬ4Ь2 2Ь2 л/бЬ4Ь2
виях в оболочке возникает ударная волна растяжения (у & gt- 0).
, Ь Ь3 Ь,. Ь3
Если ±------& lt-, = или -----& lt- ± ,-==, то при выбранных ус-
2Ь2 д/бЬ4Ь2 2Ь2 '
ловиях — ударная волна сжатия (у & lt- 0).
к к
Из проведенного исследования следует: как при -- & gt- 0, так и — & lt- 0 в
2п 2п
Ь^ Ь3
случае выполнения условия --------& gt- ±, = в физически и геометрически
2b2 V6b4b2
нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна рас-
bi b3
тяжения. Если выполняется условие -------& lt- ±, =, то образуется ударная
2b2 л/6Ь4Ь2
волна сжатия.
Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным
w
получается поправка к скорости распространения волны -e.
ki
Список литературы
1. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
2. Аршинов Г. А. Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 (5). http: // ej. kubagro. ru.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой