Математическая модель регенеративного теплоутилизатора

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621. 515
Математическая модель регенеративного теплоутилизатора
Соболь Е. В. john-stud-spb@mail. ru
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, факультет КТ и К, кафедра кондиционирования воздуха
В данной статье описана математическая модель регенеративного теплоутилизатора: получены зависимости для нахождения коэффициента теплоотдачи, дифференциальные уравнения для расчета процессов тепломассопере-носа. Представлено описание программного модуля для решения уравнений и получения коэффициентов регенерации и аккумуляции.
Ключевые слова: коэффициент теплоотдачи, процессы тепломассоперено-са, программный модуль.
В последнее время рост стоимости энергетических ресурсов и повышение требований к качеству жизни существенно обострили проблему сокращения затрат на отопление и вентиляцию бытовых и производственных помещений. Одним из решений данной задачи является использование локальных систем вентиляции с утилизацией теплоты удаляемого из помещения воздуха. Важная роль в таких системах отведена регенеративному теплоутилизатору.
На рис. 1 изображен регенеративный теплоутилизатор с указанием направления движения теплоносителя. Движение воздуха попеременно осуществляется в обоих направлениях. Во всех каналах регенератора происходят одинаковые процессы теплообмена, поэтому можно рассматривать единичный канал (рис. 2). Процесс теплообмена в канале насадки является установившимся. Температура поверхности канала изменяется по длине насадки и по времени. Примем следующие допущения:
— регенератор теплоизолирован, поэтому потери тепла из насадки в окружающую среду отсутствуют-
— теплообмен в насадке происходит без конденсации паров влажного воздуха-
— теплофизические свойства регенератора и воздуха постоянны-
— время прохождения воздуха через регенератор намного меньше, чем время цикла.
Рис. 1. Конструкция стационарного регенеративного теплоутилизатора (1 — корпус регенератора- 2 — изоляционная фольга- 3 — вентилятор- 4 — теплоизоляция- 5 — регенеративная насадка).
Рис. 2. Сечение канала насадки регенеративного теплоутилизатора.
На рис. 2 изображен единичный канал насадки. Здесь: I и II — торцевые сечения насадки- GaK — расход воздуха на этапе аккумуляции (передача теплоты удаляемого воздуха насадке) — Gper — расход воздуха на этапе регенерации (передача теплоты от насадки к приточному воздуху) — Tin — температура большего потенциала- Tout — температура меньшего потенциала- L — длина насадки. Расход воздуха через единичный канал насадки определяется как общий расход воздуха, отнесенный к общему количеству каналов насадки. Толщина стенки канала равна половине стенки между смежными каналами.
На рис. 3 приведены зависимости изменения температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала I и II от времени [2]. Здесь так — время процесса аккумуляции теплоты насадкой- трег — время процесса отдачи теплоты от насадки воздуху.
Рис. 3. Изменение температуры поступаемого и удаляемого воздуха в торцевых сечениях канала в зависимости от времени.
Рассмотрим изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала I за один период цикла. За период цикла будем принимать: тц = так + трег. За время первого полупериода так температура в канале сечения I постоянна и равна внутренней температуре помещения. Через полупериод происходит изменение направления движения воздуха и в течение времени трег температура в сечении изменяется по кривой, представленной на графике. После этого температура воздуха скачком изменяется на первоначальное состояние. Далее циклы повторяются.
Подобным образом происходит изменение температуры воздуха в торцевом сечении канала II.
Площади заштрихованных участков диаграммы пропорциональны теплоте аккумулированной насадкой — Qак и регенерированной теплоте — Qрег.
& lt-2ак = Qрeг — (1)
рег
Орег = JTdt-Tout- (2)
0
так
a" = Tt — Jtdr. о)
0
Рассмотрим выделенный элемент насадки длиной Az (Рис. 4). Для участка канала Az составим уравнение теплового баланса для воздуха за время Ат.
Рис. 4. Выделенный участок канала длиной Д2.
Количество теплоты в выделенном элементарном объеме в начальный (предыдущий) момент времени:
а = 2 (т (щ)+т ($) св г в ^ (4)
Количество теплоты в элементарном объеме через время Ат:
О = 1 (T (*) + T (*)) с о sAz
Q2 2 в (i) ТВ (i +1W z
в (i)+ ТВ (1+1)) св о в s Az (5)
Теплота воздушного потока, поступившая в контрольный объем:
Q = GT®, с, At (6)
Теплота воздушного потока, вышедшего из контрольного объема:
04 = GTB %v& gt- cB At (7)
Количество теплоты участвующее в теплообмене с насадкой:
Q5 — paAzAt
f T (k) + T (k) T (k) + T (k) ^
1 В (i) 1 В (i+1) 1 Н (i) 1 Н (i+1)
2 2
V У
(8)
Здесь: TB — температура воздуха- TH — температура насадки- s — площадь проходного сечения канала- рВ — плотность воздуха- p — периметр проходного сечения канала- a — коэффициент теплоотдачи.
Примем, что положительными являются процессы, приводящие к уменьшению теплосодержания контрольного объема. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид
Q4 — Q3 + Q5 = Qi — Q2-
(Tiki+i) — С) GcBAt+(T5(k)+V2) — T^) paDzDt = (9)
— (T (k) — T (k-1))с 0
~ 1B (i+½) В (i+½)/ ^вИВ^^
Пусть Az ® 0 и At ® 0, тогда в любом сечении воздушного канала процесс тепломассопереноса описывается дифференциальным уравнением
3T ^t
Gc*~z + СвГВs -t+ Pa (T? — TH) = 0 (10)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо задать краевые условия.
В качестве граничного условия зададим температуру воздуха на входе в канал
T if G — G
in J ак
T tifG — G (11)
o u tJ рег
Так как при номинальном режиме работы регенератора тепловые процессы имеют циклический установившийся характер и не зависят от исходного теплового состояния, начальные условия могут задаваться в произвольной форме.
Для определенности примем, что при t= 0 температура воздуха в канале линейно изменяется от Tin до To t, тогда начальное условие имеет вид
T — T (Tin Tout) z (12)
tb (t-0) _ Tin L
TB (z-0) — *
Составим уравнение тепломассопереноса для элементарного объема насадки.
Количество теплоты в элементарном объеме насадки в начальный (предыдущий) момент времени
06 = 2 (ТнН'-(01)+ ТНЦ) сн р" Зн Аz (13)
Количество теплоты в элементарном объеме насадки через время Ат
07 = 2 (ТН (!)+ ТНи) Сн Р Н ^ (14)
Теплота, поступившая в элементарный объем насадки вследствие теплопроводности
Т (& quot-) + т (& quot-)
0, = Л" Аг н& quot-'- +АТн& quot--'-) (15)
Аг.
Теплота, вышедшая из элементарного объема насадки вследствие теплопроводности
Т (& quot-) + Т (& quot-)
09 =лн sн Ат ('-+1'- + Тн ('-) (16)
Аг.
Теплота, участвующая в теплообмене с воздухом
01О = -05. (17)
Здесь: сн — теплоемкость материала насадки- рН — плотность материала насадки- sН — площадь поперечного сечения насадки- ЛН — теплопроводность материала насадки.
Уравнение теплового баланса для элементарного объема насадки имеет
вид
09 — 08 — 010 = 06 — 07-
(Т (& quot-) — 2 Т (& quot-) + Т (& quot-) ^
1н (,+1) Н (, 1 В (, -1) у
Аг
ЛнСнАт+(ТН'-|+12) — Т?,+12))раАгАт= (1,)
_ (ТН (!+½) ТН (г+½)) СНрНSН А
Н (,+½) А Н (,+½)
Если Аг ® 0 и Ат® 0, то уравнение примет вид
э 2 т Т
ЛнСн -ЭТг + Ра (Тн — Тв) + Снрнsн -т = 0 (19)
Для решения дифференциального уравнения (19) необходимо сформулировать краевые условия. В допущениях было принято, что насадка теплоизолирована, поэтому граничные условия можно представить в виде
эгг
H
V
dz
f
= 0-
J z=0
dT
Л
H
V
dz
=0
(20)
J z=L
Начальное условие для уравнения (19) аналогично начальному условию для уравнения (10)
(T — T t) z
in out)
T = T —
H (t=0) in
L
(21)
Для решения дифференциального уравнения (10) необходимо знать коэффициент теплоотдачи а. Методика расчета коэффициента теплоотдачи была взята из литературного источника [1]
Ш -Л
а = --, (22) dэ
где ^ - эквивалентный диаметр канала- X — коэффициент теплопроводности воздуха- N4 — число Нуссельта.
В качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр
л 4f
йэ (23)
э П ,
где /- площадь поперечного сечения канала- П — смоченный периметр.
Для определения расчетного уравнения числа Нуссельта необходимо знать режим движения воздуха в канале насадки. Найдем число Рейнольдса по следующей зависимости
™ РуЛэ
Яе = --э (24)
V ,
где р — плотность воздуха, р = 1. 2 кг / м3- и — характерная скорость воздуха- п -динамическая вязкость воздуха, V = 1. 82 -10−5 Н — с / м2.
Для ламинарного режима движения воздуха, когда число Рейнольдса лежит в пределах Яе & lt- 2 000. При таком режиме движения можно выделить вязкостной и вязкостно-гравитационный режимы. Они определяются через число Релея:
Ra = Gr — Рг, (25)
где Ог — число Грасгофа, Рг — число Прандтля.
Число Прандтля для воздуха
Рг = 0. 713. (26)
Число Грасгофа
аг = - Ц (27)
V2 ,
где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2- tc — температура поверхности теплообмена- to — температура теплоносителя- в — температурный коэффициент объёмного расширения теплоносителя, V — коэффициент кинематической вязкости.
Ь 1
Р =--(28)
273 + к 9
При условии Яа & lt- 3 105 преобладает вязкостной режим и уравнения для числа Нуссельта имеет вид
Ми = 1. 55(Ре • 4вн / ?/'-е, (29)
где Ре — число Пекле, I — длина трубы, е1 — коэффициент, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине трубы.
е = 1+0. 01
2/
Яе ^
Г Л/3
V1 / 4вн J
(30)
При условии Яа & gt- 8 105 преобладает вязкостно-гравитационный режим и уравнение для числа Нуссельта имеет вид
№ = 0,15Ре0,33Яа0,1е, (31)
где Ре — число Пекле- Яа — число Релея- е — поправочный коэффициент, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи по длине канала. Число Пекле
Ре = Р э (32)
С ,
где Ср — теплоемкость при постоянном давлении, Ср = 1005Дж / (кг • К) — х — коэффициент теплопроводности воздуха, % = 0,0257Вт / (м • К).
Для турбулентного режима движения теплоносителя, при числе Рейнольд-са Яе & gt- 10 000 расчетное уравнение имеет вид
Ш = 0,021Яе08 Рг0 43 е, (33)
где Pr — число Прандтля.
При переходном движении воздуха 2 000 & lt- Re & lt- 10 000 используют уравнение для турбулентного режима, вводя в них поправочный множитель епер, зависящий от значения числа Рейнольдса.
Таким образом, тепловой расчет процессов тепломассопереноса в канале регенеративного теплообменника сводится к совместному решению дифференциальных уравнений (10), (19) с краевыми условиями (11), (12) и (20), (21).
Для решения дифференциальных уравнений был применен метод разностных аналогов. Производные в уравнении (10) заменим на отношение конечных разностей. Для внутренних узлов применим интерполяцию по двум точкам, для крайнего узла применим интерполяцию по трем точкам. Это обеспечит одинаковую погрешность расчета. После подстановки в дифференциальное уравнение (10) получим уравнение для узлов пространственной и временной сеток. Подобным образом получаются уравнения для решения дифференциального уравнения (19).
Таким образом, расчет сводится к решению на каждом временном слое системы состоящей из (2n) линейных алгебраических уравнений.
В матричной форме система линейных алгебраических уравнений имеет
вид
[AT = b. (34)
где [Л] квадратная матрица коэффициентов размером 2nх2n- T — вектор-
столбец искомых температур размером 2n- b — вектор-столбец коэффициентов вычисляемых по результатам расчета предыдущего временного слоя размером 2n.
Матрица [ Л] является разреженной, число элементов отличных от нуля в
любой ее строке не больше четырех. Полученная система уравнений решалась методом Гаусса с учетом разреженности матрицы. Интегралы, входящие в условие (1) решались по методу трапеций. Коэффициент аккумуляции теплоты:
Как = Tnt — f T dT/T — Toa) TaK (35)
Коэффициент регенерации теплоты:
Крег = Tnd/- ToutTрег 1 (Tin — Tout) Трег (36)
Результатом построения модели была разработка программы в среде Visual Basic (Рис. 5). Для выполнения расчета необходимо задать геометрию насадки,
теплофизические характеристики материала насадки и теплоносителя и параметры работы регенератора. Результатом расчета в программе являются коэффициент теплоотдачи и коэффициенты аккумуляции и регенерации, а также температурные поля по временным слоям. При описанных ранее допущениях коэффициенты регенерации и аккумуляции должны быть равны. Температурные поля по временным слоям показывают характер теплообмена в каждом сечении насадки. Эта программа будет полезна для изучения теплообмена в насадке и дальнейшего совершенствования конструкции регенеративного тепло-утилизатора.
Рис. 5. Интерфейс программы расчета теплообмена в регенеративном
теплоутилизаторе.
Список литературы
1. Бараненко А. В., Бухарин Н. Н., Пекарев В. И., Сакун И. А., Тимофеевский Л. С. Холодильные машины. — Санкт-Петербург, 1997.
2. Васильев В. А., Гаврилов А. И., Каменецкий К. К., Соболь Е. В. Параметрическое исследование регенеративного теплообменника. // Вестник МАХ, 2010, № 1.
Mathematical model of a regenerative heat exchanger
Sobol E.V. john-stud-spb@mail. ru
St. -Petersburg State University of Refrigeration and Food Engineering
The present paper describes a mathematical model of a regenerative heat exchanger: there are developed dependences for determination of heat transfer coefficient, differential equations to calculate heat and mass transfer. A program module to solve equations and estimate regeneration and accumulation coefficients are shown.
Keywords: heat emission coefficient, heat emission processes, program module.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой