О существовании и единственности обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек со смешанным закреплением края

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

3. Костров А. В. Движение асимметричных баллистических аппаратов.
— М.: Машиностроение, 1984. — 272 с.
4. Чепмен Ж. Т., Кирк Д. В. // РТ и К. — 1970. — Т. 8, № 4. — С. 182−188.
5. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Параллельные вычисления. — Л.: Наука, 1975. — С. 3−228.
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА КОЛЕБАНИЙ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СО СМЕШАННЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ КРАЯ
© Седенко В. И. *, Макарова Е. Б. 4
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ), г. Ростов-на-Дону Новороссийский политехнический институт (филиал) Кубанского государственного технологического университета, г. Новороссийск
Излагаются теоремы существования и единственности модели Мар-герра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений с учетом инерции поворота точки оболочки, край которой закреплен частично жестко, частично шарнирно.
Начально-краевая задача
Предположим, что оболочка проектируется на плоскую ограниченную область О. с границей Г е С4. Пусть Г = Г1 иГ2, где Г1 иГ2 являются объединением связных компонент Г. Поперечное перемещение м& gt- точек срединной поверхности оболочки удовлетворяет уравнению:
ркм& gt-" -уЫ" + БА2w = г + (ы^)* +(^12^)* +
1 *1 1 2 (1)
+)*2 + (N12Wx2)* - - Ы2к2
с краевыми условиями жесткого защемления на Г1 и шарнирного закрепления на Г2:
* Заведующий кафедрой Фундаментальной и прикладной математики РГЭУ (РИНХ), доктор физико-математических наук, профессор.
* Старший преподаватель кафедры Общеинженерных дисциплин НПИ (ф)КубГТУ.
(2)
(3)
где п — вектор внешней нормали к Г- р — массовая плотность оболочки- к — высота оболочки-
Б — изгибная жесткость оболочки-
2 — поперечная составляющая массовых сил, действующих на оболочку.
N1, Ы2, N12 — продольные усилия в оболочке, которые выражаются
где Е и ц е (0, '-/2) — упругие постоянные.
В свою очередь? Ь е2, ?12 выражаются через продольные перемещения ми V, через поперечное перемещение срединной поверхности оболочки V и через кривизны к1, к2, которые считаются непрерывно дифференцируемыми, по следующим формулам:
Продольные перемещения ми V точек срединной поверхности оболочки удовлетворяют краевой задаче:
через характеристики деформации срединной поверхности оболочки е1, ?2, е12 следующим образом:
Ы1 = Ек (1 -^2)1 (є,+^є2) Ы2 = Ек (1 -р2) 1 (є2 + /лє1)
12 = 1Ек (1 ?12
(4)
(5)
?, = и + V + ^ ^
12×2 Х1 X! х2
+ цwxxwx 1+wxxwx + wxwxx + X ,
I Х, Х2 Х2 J Х1Х? х2 Лі Х2Х2
1 -у. Хг 1 -у.
+ тхх ^ 1+'-^хх'-^х + '-^хх'-^х + У
і Х1×2 х^ х1×2 Х1×1×1 х2
м | г = V | г = 0 (7)
где X, У — продольные составляющие внешних сил, действующих на оболочку в = и+ V. Начальные условия имеют следующий вид:
w (x, 0) = м0(х), ^(х, 0) = w1(x), х ей (8)
Предполагается в дальнейшем, что массовая плотность и линейные размеры измеряются в таких единицах, что имеют место соотношения:
рк = 1, 2рЕ& quot-1(1 + /и) = 1 Относительно начально-краевой задачи (1)-(8) см. [1−3].
Функциональное пространство Н22 (О, ц-Г1, Г2).
Обозначим через Л (0., /и- Г1, Г2) множество всех функций м из С3(о), обладающих ограниченными производными четвертого порядка, равных нулю в некоторой окрестности Г1 и для которых выполняются условия (3).
Для и, V е Л (0, /и- Г1, Г2) введем билинейную форму (д2м, и^, порождающую скалярное произведение (л2м, V) х (П). ПополнениеЛ (О, /и- Гь Г2) по норме:
\и\, х:
II 11я22 (а,^-г, г2)
=(9)
обозначим через Н22 (о, /и-Г1, Г2).
Лемма 1. Пусть м е Л (О, ц- Г1, Г2). Тогда имеет место следующее соотношение:
Лм 1г=^(^ +1) 1г2 (10)
ап
Лемма 2. Для всех и, V е Л (О,- Гь Г2)
(A2u,(а) = & amp-и^'ах ~(м+ (И)
Лемма 3. Пусть м е Л (0, ц- Г1, Г2). Тогда:
(А2 w, ^ (п) =|(^х2,х1 + & lt-х2 — 2Р^х, х, мх2×2 + 2(^+)ах (12)
?
Лемма 4. Для всех V е Л (0., ц- Г1, Г2)
Мн2(а) ~ СИя22(о,^-г, г2) (13)
Доказательства см. [4, 5].
Гильбертовы пространства В1 (^х[0, г у ]) и ВД0х[0, ])
В1 (0х[0,гг]) — это пополнение С'-([0,^], Я22(О,^-Г1,Г2)) рожденной скалярным произведением:
2 («, м- і1, І2)) по норме, по-

(W1, W2) А (ах[0, у ] = ДК, w2,)Н'- W2) щ (а,№г"г2)]*
0
Через В1 (Пх[0, г у ]) обозначим замыкание в В1 (Ох [0,г/ ]) множества
бесконечно дифференцируемых на Ох [0, у] функций м таких, что м (х1, х2, г) = 0, если у- ст & lt- г & lt- у, где ст- некоторое определенное для м число.
Определение обобщенногорешения
Обобщенным решением начально-краевой задачи (1)-(8) называется функция м е В1 (Ох [0, г у ]), удовлетворяющая следующему интегральному соотношению:
І |{- wtwlt — у Уw^wlt + В ДwДw/ + о |_а
+ {N1 + ^)W'- + (N1Wx1 + ^2^ К +{N2Wx2 + ^2^К2 —
— УиУи'- + УгУг'- + 1 + ^ (и + V)+(и'- + V)+
1 _ 1/1 1 1 1
1 уи
+k1W +k2w + 2 ^ + 2 Р2 + (14)
2 Г,, 12 1 2 V
Н-----1 + икм Н- ^ Н-Дм- +
1 -Д 2 1 2 Х2 2 Х1) Х1
+ wrwr (и'- + VI)-Zw'--Хи'-- Уу'-Ійх —
•*1×2 -*2 -*1 /
| ww
?
Для любой функции М е В1 (Ох[0,]), и, VеС1 (Ох[0,])
и началь-
ным условиям:
ИтЦМ (, 1)-М01^ = 0 (15)
Приведенное определение обобщенных решений аналогично предложенному в [3, с. 774−775].
Теорема существования обобщенныхрешений начально-краевой задачи (1)-(8) в смысле (14), (15).
Теорема 1. Пусть граница области Q Г е С3 и имеет ограниченные
производные четвертого порядка. Пусть w0 е H22 (fi, ц-Ц, Г2), w1 е H21(Q),
X (, 0), Y (, 0) е Lp (Q), X, Y e Lp'-j (fix [0,tf ]) при p & gt- 1, Z = Zo + Z^ + Z2x2,
где Z0 e Lq? 2(Q x [0, tf]) при q & gt- 1 и Z1, Z2 e L2(Q x [0, f]). Тогда существуют обобщенные в смысле (14), (15) решения w, u, v начально-краевой задачи (1)-(8), удовлетворяющие условиям:
w е В,(ох [0,tf ])n L2^(qX [0,tf ])n C ([0,tf ], H1 (q))
для всех r & gt- 1 и при 1 & lt- p & lt- 2
u, V e L"^[0, tf ], H1 (o)j n L"([0, tf ], H2p (Q))
при p & gt- 2
u, V e L» ^[0, tf ], H1 (Q)^j n L"([0, tf ], HP (Q))
для всех q & lt- 2.
Эта теорема существенно уточняет и обобщает результат, изложенный В [6].
Теорема единственности обобщенных решений Теорема 2. В условиях теоремы 1 обобщенное решение единственно.
Литература.
1. Marguerre K. Zur Theorie der gertummten Platte grosser Formanderung // Proc. 5th Internat. Congress Appl. Mech. — Cambridge: Mass., 1938- N.Y.: J. Willey and Sons, 1939.
2. Власов B.C. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. — 1944. — Т. 8, Вып. 2.
3. Ворович И. И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебания пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Мат. — 1957. — Т. 21, № 6. — С. 747−784.
4. Седенко В. И., Батыгова С. А., Сердюкова Е. В. // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. — 2005. — № 1. — С. 28−31.
5. Седенко В. И., Мартынов В. А. // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. — 2004. — Спецвыпуск. — С. 200−206.
6. Седенко В. И., Клитина Н. А. // Ученые записки «РГЭУ (РИНХ)». -2007. — Выпуск № 11. Информационные системы, экономика, управление трудом и производством. — С. 18−23.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой