Математическая модель течения сжимаемой смазки в зазоре частично пористого подшипника с внешним наддувом газа

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621. 822. 574
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ ЧАСТИЧНО ПОРИСТОГО ПОДШИПНИКА С ВНЕШНИМ НАДДУВОМ ГАЗА Логинов В. Н., Космынин А. В., Широкова З. В., Медведовская Ю. В.
Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре, e-mail: vnl_1955@mail. ru
Рассмотрено аналитическое решение задачи определения поля давления в зазоре частично пористого цилиндрического подшипника с внешним наддувом газа, работающего в режиме подвеса (при не вращающемся вале) и в гибридном режиме (при вращающемся вале). Решение базируется на классических в теории газовой смазки допущениях о течении смазочного слоя в зазоре подшипника. В основе лежит решение модифицированного уравнения Рейнольдса и уравнения течения сжатого газа через пористую матрицу. В рамках метода непрерывных линий наддува газа уравнения течения смазки при неподвижном вале решаются методом разделения переменных. Газодинамическая составляющая давления в гибридном режиме работы находится с помощью метода разложения по малому параметру. Это позволяет сравнительно просто определить поле давления в зазоре подшипника. Сравнение теоретических результатов с опытными данными показало вполне удовлетворительную для инженерных расчетов точность.
Ключевые слова: пористая среда, газовый подшипник, газовая смазка, смазочный слой, несущая способность, относительный эксцентриситет, число сжимаемости
MATHEMATICAL MODEL OF FLOW OF COERCIBLE GREASING IN GAP PARTLY POROUS BEARING WITH EXTERNAL SUPERCHARGE OF GAS Loginov V.N., Kosmynin A.V., Shyrokova Z.V., Medvedovskaya Y.V.
Komsomolsk-na-Amure state technical university, Komsomolsk-on-Amur, e-mail: vnl_1955@mail. ru
Analytical solution of the considered task definition’s pressure in the gap partially porous cylindrical bearings with external supercharged gas suspension mode (when not rotating shaft) and hybrid mode (with the rotating shaft).
The solution is based on the classical theory of gas lubrication for lubricating layer assumptions in the gap of the bearing. The decision was based on a modified Reynolds equation and the equation of compressed gas flow through porous matrix. The method of continuous lines of gas flow adjuster, equations with fixed shaft lubrication are solved by separation of variables. Gas-dynamic pressure component in a hybrid mode decomposition method is a small parameter. This makes it relatively easy to determine the pressure field in the gap of the bearing. Comparison of the theoretical results with experienced data showed quite satisfactory for engineering calculations precision.
Keywords: the porous medium, the gas bearing, the gas greasing, lubricating layer, load capacity, the relative eccentricity, number of compressibility
Использование в высокоскоростных ро- тельное согласование опытных и теорети-
торных системах подшипников на газовой ческих результатов, полученных на основе
смазке связано с необходимостью практи- аналитической методики расчета с исполь-
ческой реализации прорывных технологий, зованием разложением по малому пара-
например, в ситуациях, когда применение метру, в качестве которого принято число
газовых опор является единственно воз- сжимаемости. Однако с ростом числа сжи-
можным решением, обеспечивающим нор- маемости (больше 0,4) наблюдается замет-
мальную работу узлов трения. Известно ное рассогласование теоретических и экс-
успешное применение газовых подшипни- периментальных данных.
ков в станкостроении [1, 4, 5, 7], криоген- С целью расширения сведений о ханой и авиакосмической технике, метроло- рактеристиках подшипников, работающих
гическом оборудовании, гироскопических в широком диапазоне изменения числа сжи-
устройствах, газотурбинных установках, маемости, в КнАГТУ разработана аналити-
в атомной энергетике и т. д. При этом следу- ческая методика расчета, в основе которой
ет указать на достаточно ограниченную ин- лежит метод разложения по малому параме-
формацию о реальном внедрении газовых тру, в качестве которого принят относитель-
опор в различные механизмы, что связано ный эксцентриситет. Эта методика и излага-
с коммерческой и оборонной секретностью. ется в настоящей работе.
К настоящему времени заложены хо- Пусть газ из камеры нагнетания под
рошие основы расчета эксплуатационных давлением Ps поступает через пористые
характеристик газовых подшипников, кото- вставки в смазочный слой цилиндрического
рые в целом говорят о надежных результа- подшипника. Пористые вставки расположе-
тах, получаемых с применением численных ны равномерно по окружности в два ряда.
методов [3, 6, 10]. Между тем результаты Форма пористых вставок цилиндрическая.
исследования, представленные в работах На вал действует внешняя радиальная на-
[8, 9], показывают на вполне удовлетвори- грузка F (рис. 1).
тжмишрмть.
xt
'шшшштштй
uA-i
Рис. 1. Газовый статический подшипник с двумя рядами пористых вставок:
1 — непроницаемая часть вкладыша подшипника- 2 — вал- 3 — пористая вставка
Используя общепринятые допущения [2], получим уравнения для определения
поля давления в зазоре: в непроницаемой части вкладыша подшипника
э/
ds
НЪР*^-
ds
+ Я’А
dz
'-рдР'- dz
= 6LmR
д (НР) ds 5
(1)
в пористой среде 12,
Э2Л8, ЭЧ ЭЧ _0& gt-
(2)
дх2 ду2 дг2
где 5 = фЯ — длина дуги в смазочном слое- Я — радиус вала- ф — полярный угол, отмеряемый от линии действия нагрузки (сечение с максимальным давлением) — Н — толщина смазочного слоя, Н = с (1 — есо8 ф) — с — средний радиальный зазор, е = в/с -относительный эксцентриситет- в — эксцентриситет- Р = Р (5, 2) — абсолютное давление в смазочном слое подшипника,
Лв=Л8(*, М =Рь — квадрат давления в пористой среде (здесь и далее индекс 5 означает характеристики пористой среды) — ц — коэффициент вязкости- ю — угловая скорость вращения вала- Ь = 2Ь0 — длина подшипника.
При работе подшипника в режиме подвеса (ю = 0, 0 = 0) ряды пористых вставок в первом приближении заменим эквивалентными им по площади пористыми кольцевыми втулками шириной, А (метод непрерывных линий наддува). В работе [8] найдено приближенное решение системы уравнений (1), (2) и определены наибольший и наименьший квадрат давления в области пористых вставок:
Timax =Лд (0) — лтй1=лд (л),
где
л.
л,
Къс h3 R2 ЦА
1 + Кп
К0 =
К=ъ
с31п (1+ 8/І?)
12 kpR
— конструктивный параметр, И = Н/с, И = 1 — есо8 ф — относительная толщина смазочного слоя.
Переходя в уравнении (1) к безразмерным переменным, получаем
'- э& gt-.
Ъг Эф
/г3 —
Эф
+ г
эс2
= 0,
(3)
где Z = z/L0-, Z е [0, 1], у = п/Ап — относительный квадрат давления, Ап = nmax — nmin, r = R/L0 — относительный радиус вала.
Решение уравнения (3) найдем в виде у (ф, Z) = X (9)Z (Z). Подставляя эту функцию в уравнение и разделяя переменные, получим систему уравнений:
r2Z& quot-+X2Z = 0- (4)
hX'-+3h'-X'--'-k2hX = 0. (5)
Из уравнения (4) находим:
Za (?) = A sin (aQ + В cos (a?) —
a = X/r- X Ф 0- (6)
zo (Q=^+^- x = 0. (7)
Решения уравнения (5), соответствующие (6) и (7), обозначим: Ха=Ха (ф) —
*о=*о (Ф) Таким образом, решение уравнение (3) представляется в виде
?(Ф, 0=^(Ф)ЛЮ+^(ФК (?). (8)
Решение уравнения (5) при X Ф 0 было найдено в работе [9] в виде ряда по степеням т = cos ф, но этот ряд медленно сходится и распределение давления в сечениях Z = const существенно зависит от числа слагаемых в приближенном решении.
В связи с этим зависимость h = ^ф) заменим линейной
h0 = h0 (фХ
где
/г0(ф) = -?0ф + 6, Ф& lt-°-
/г0(ф) = ^0ф+6, ф& gt-0-
Ъ = 1-е- к0=2е/71.
В полученное решение подставим h = h (ф), что равносильно замене производной h'- в уравнении (5) ее средним значением (h'-).
В этом случае при X = 0 нормированное решение, удовлетворяющее условиям: X0(0) = 1, X0(n) = 0, будет иметь
h (0) — /г (п)
При X Ф 0 после перехода к новой независимой переменной
т = (1 + cos ф)/2, т е [0, 1], h = (1 + s)(1 — kjT), kj = 2s/(1 + s), получим: (1 — к, х) -3kl — -v2(l- кхх) Х = 0-
dx2 1 dx v = nk.
(9)
Решение последнего уравнения будем искать в виде ряда
n=0
an+1
*іЛ (и + 2) a" + v2(a"_! — к{ап2)
n (1 +и) n = 1, 2, …
Полагаем
лт (ф)-лг"(ф)=|-& lt-1,т"-.
n=0
Ряд Х (ф)-^аитй быстро сходится при
л=0
всех значениях ф, так как при п & gt->- 1 и максимальном значении т (0) = 1 его остаток эквивалентен ряду из членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = к
Таким образом, нормированное решение уравнения (5)
Х"(ф) = Х (ф)/Х (0).
Неизвестные постоянные в (6) и (7) определяются из граничных условий и условий непрерывности и гладкости решений.
В непроницаемой части подшипника, расположенной между линией наддува и торцом подшипника, решения будем искать в виде:
2А 9=4 етпМ) —
Подставляя Х (ф) в уравнение (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т, получим рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов ап.
Зка, + V2 ап
ао = 0- а1 = 1- а2=^^~-----
В осевом сечении с максимальным давлением (ф = 0):
ATe (0& gt- = Jf^C0) = l-
z,") = y (0,C) = z4(O+z0″).
Коэффициенты A1 и a1 определятся из условия максимума давления в сечении Z = Z1, где Z = L/L — относительная ко -ордината линии наддува, т. е. из условий:
Z1(Z1) = 1, Zj/(^1)=0, что эквивалентно системе уравнений
4 sinCa^!) + *?≠!-
Ахщ cos (aj^j) + & amp- = 0.
Откуда находим
А1 =-к{щ cosCa^j))-1, где a1 — корень уравнения
+ cos^^) = 0.
Аналогично в непроницаемой части подшипника, расположенной между линиями наддува:
Z," © = 4, sin (a, 0+ Вг cos (a, 0-
z"")=t С- z2(0=Ш О=гщ ®+z"ffl.
Из условий максимума давления в сечении Z = Z и отсутствия перетекания смазки в сечении Z = 1: Z2(Z1) = 1- Z'-(^1)=0-
z'-(i)=o.
Последние равенства эквивалентны системе уравнений:
4 sin ((x2^j) + B2 cos (oc2^i) + к^ ~
A2a2 cos{& lt-x2L)1)-B2ql2 = 0-
A2a2 cos a2 — B2 a2 sin a2+k-0.
Откуда находим:
4 = ~ка2] cos (a2^,) + (1 -кС, х) sin (a2?j) — В2 = ка2 sinCa. Cj) ¦+ (1 — *?i) cos (cc2?j),
где а2 — корень уравнения
к сов (а2 (1 — ^)) + (1 — К,)а2 вш (а2 (1- С1)) — к =
Подставляя найденные решения в (8), получим:
?(Ф, о=ЛГ, №'- (О+Хщ Ш* (О,? & lt- С, — ?(Ф.О = X, т0(О+хщ №а, (О, С г ?,•
Таким образом, квадрат давления определяется по формулам:
т"(ф, О=ти, (2. Ю+^ (О)+Дл№ №" Ю+(ф)г, (О),? & lt- С, — л (Ф, ?)=ти, + Дл№(Ф)Л (0±*¦", (Ф)2″, (О), С г с,.
Работа подшипника в гибридном режиме смещается от равновесного положения в на-
вращение вала в отличие от случая работы правлении своего вращения и образует отлич-
в режиме подвеса приводит к асимметрич- ный от нуля угол ориентации нагрузки 0.
ному распределению давления газа в зазоре Дифференциальное уравнение для поля подшипника [4, 5, 7, 10]. Вследствие этого вал давления в этом случае принимает вид
(h3 dp) h p^r- + r2h3 Э (dp 1 p-
Эф V T J
э_
Эф
где р-РЦР] - относительное давление- (Р) — среднее давление в зазоре подшипника, работающего в режиме подвеса,
. бцюД2
Л = --- - число сжимаемости. с2(Р
= Л
d (hp) Эф '
(l0)
Первым интегралом этого уравнения является
А3Р"Рш=А (^Р"-0-
(ll)
СО-* СО V тш
Разложим относительное давление в ряд по степеням е:
Будем считать, что в гибридном режиме работы поле давления в зазоре подшипника формируется двумя независимыми состав-
(l2)
ї-і
ляющими: давления внешнего наддува газа, найденного выше, и давления р = р (ф), обу- нении (11) также зависит от 8, поэтому:
Постоянная интегрирования С в урав-ии (11) также зависит от 8, поэтому:
словленного эффектом смазочного кхина. Тог-- С = УС, гк, — Подставляя эти разложения да уравнение (10) для рщ = рш (ф) принимает вид ^ к
(ад)'-=А (^)'-.
к=0
в уравнение (ll), получим
Ґ оо «N
(і - Зе COS Ф + Зе2 COS2 Ф — є3 COS3 ф) — p'-jE'- + pip'-jEl+i
j=1
i, j=1
= Л
1-С0+?(л- Pk-i COS ф — Ct)є*
к=1
(l3)
Отсюда сразу находим С0 = 1. Прирав- |
нивая коэффициенты при одинаковых сте- І (рт ~ Рт- созф)& lt-іф = 0,
пенях 8, получим, что (13) — бесконечная -п система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения урав- вид
нений системы (13) содержат постоянные интегрирования, которые определяются из
Первое уравнение системы (13) имеет
условия [2] J phd§ - 2%, откуда получим
р[ = Арг — Л (сов ф + С,).
Его решение
р,=К,(ф)е*
В FUNDAMENTAL RESEARCH №S, 20l3 В
где
(*""лхп-па г& lt- Л
-Лф, ъг О
К, (ф) = -Л J (cos ф+С,)е"Лф& lt-/ф=- Л
-Л cos ф+sin ф Cj v Хчі Л,
Таким образом, р'-2 = Ар2 + /2 (ф),
А = То (Л cos Ф — sin Ф) + Q + Ki^, где
_ А /2 (ф) = - А (р, cos ф+С2) — рхр[ + 3/& gt-'- cos ф.
где /0_ д2, 1- Постоянная интегриро-
0 Подставляя в эти уравнения найденные
вания А, =0 из условия периодичности / ,
1 J г Рх и р1 и используя формулы тригономе-
функции Рх (Рх (-П) = рДл», а постоянная трии, находим:
С0 = 0 из первого равенства системы (14). 0
/2 (Ф) = Yicos 2Ф+Ъ sin 2Ф — ЛС2- Окончательно: у =0,5у0(-Л2+2Лу0−3) —
(m = l).
нч
рх = у0(Л совф- віпф) —
У2 = 0,5у0 (Л2у0 — 2Л — у0) —
Р = -У0 (Л 8Шф + СОвф). С0 =Сг+0? 5Луо +1?5у0 / Л.
Второе уравнение системы (13) примет Решением второго уравнения является
вид функция
-Лсо8 2ф+2вт2ф 1 ^ -2сов2ф-А8т2ф, лф
Рг~Ъ а*+4 +Ъ ЛЧ4 +Ч+К2е ,
при этом из условия периодичности функ- «_ ~аУ1~2У2. «_ 2у!-Лу2
ции Р2 получим 2 и, а из системы (13) Л+4 Л+4
при m = 2 находим С°2=0,5Ху0 Таким об- Третье уравнение системы (13)
разом, ^з=АРз+/з (Ф)»
Рг = Уз cos 2ф + у4 sin 2ф + С°- где
/з (Ф) = -ЧРг cos ф+С3) — (р, р2 У + Зр'-2 cos ф — Ър[ cos2 ф+Ърхр[.
Функция73(ф) выражается через синусы и косинусы одинарного и тройного углов:
/з (Ф)= Уъcos Зф + У6 sin Зф + у7 cos ф+yg sin ф — ЛС3-
у5 = -0,5Ау3 + Зу4 + 0,75у0 +1,5у0у3 -1,5Лу0 у4 -1,5Af0- У6 = -0,5Лу4 — Зу3 + 0,75Лу0 +1,5Лу0у3 +1,5у0у4 — 0,75(Л2 — 1) у^- у7 = -0,5Лу3 + Зу4 + 2,5у0 — 0,5у0у3 — 0,5Лу0у4 — Л-у* - 0,5А- у8 = -0,5Лу4 — Зу3 + 0,75Лу0 + 0,5Лу0у3 — 0,5у0у4 — 0,75(Л2 — 1) у* + 0,5Л2у0.
Интегрируя третье уравнение системы При интегрировании уравнений си-
(13) с использованием третьего равенства стемы (13) коэффициенты у. прямо просистемы (14), получим: порционально зависят от малых величин
Ръ =у9со83ф+у108ш3ф+у11со8ф+у128шф- (Л2+т2)-1 и Л (Л2+т2)-1. В связи с этим
-Лу5-Зу6 Зу5 -Лу6 при m & gt- 4 слагаемыми PiPj можно прене-
^9~ Л2+9 ' Yl0_ Л2+9 ' бречь-
Таким образом, при m & gt- 4 уравнения
«_ ~ЛУ7 — у8. «_У7-Лу8 имеют вид
Уп Л2+1 ' Уп Л2+1 '- Рт=Лрт+/т (Ф).
где fn (ф) = -HPm-i cos ф + Cm) + З/V, cos ф — 3p'-m2 cos2 ф+p'-m3 cos3 ф,
которые легко интегрируются.
В результате получим приближенное решение уравнения (11) с точностью о (є5):
А, = 1 + Ає + Pi*? + Р?3 + Pfi4 +ЛЄ5-
Квадрат давления находится по формулам
п (ф, 0=л* (z"(c)+z» (0& gt- (ад)+,/Апад J z0(о+
+(ад)+,/дпх*(ф))2jt,(Ф)2Ц (О), С& lt-С, — п (Ф& gt-0=іи +(p. m+Jtox,(to'-}2"(0+(р. (Ф)+,/Д^(Ф)|zjo), ?& gt-?»
где вдИ. р0), р"(Ф).
Сравнение теоретических результатов Зависимости коэффициента несущей расчета с экспериментальными данными способности подшипника Сд от относи-
проводилось по коэффициенту несущей тельного эксцентриситета 8 при К = 0,266,
способности Сд. г = 0,833 и ^ = 0,5 показаны на рис. 2.
Рис. 2. Зависимости коэффициента несущей способности Св от относительного эксцентриситета е: а — неподвижный вал (Л = 0- р = 0,167), б — вращающийся вал (Л = 0,126-рх = 0,362) ---------------------------------- теория- • - эксперимент
Сравнение расчетных и опытных данных показывает их вполне удовлетворительную для инженерной практики точность. Относительная погрешность при определении Сд не превосходит 8%.
Работа выполнена в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11−08−49-а).
Список литературы
1. Высокоскоростной шпиндельный узел внутришли-фовального станка для прецизионной обработки деталей летательных аппаратов / А. В. Космынин, В. С. Щетинин,
А. С. Хвостиков, А. В. Смирнов, С. С. Блинков // Фундаментальные исследования. — 2О11. — Ч. 1, № 8. — С. 137−138.
2. Константинеску В. Н. Газовая смазка: — М.: Машиностроение, 1968. — 718 с.
3. Космынин А. В., Чернобай С. П., Виноградов С. В. Расчет частично пористых газовых подшипников высокоскоростных шпиндельных узлов // Автоматизация и современные технологии. — 2008. — № 10. — С. 8−12.
4. Космынин А. В., Шаломов В. И. Аэростатические шпиндельные опоры с частично пористой стенкой вкладыша // Современные проблемы науки и образования. — 2006. -№ 2. — С. 69−70.
5. Космынин А. В., Щетинин В. С. Расчет несущей способности газомагнитных опор высокоскоростных шпиндельных узлов // СТИН. — 2010. — № 9. — С. 6−8.
6. Космынин А. В., Щетинин В. С. Эксплуатационные показатели высокоскоростных шпиндельных узлов металлообрабатывающего оборудования с газомагнитными опорами // Успехи современного естествознания. — 2009. -№ 11. — C. 69−70.
7. Космынин А. В., Щетинин В. С., Иванова Н. А. Методика расчета несущей способности газомагнитного подшипника высокоскоростного шпиндельного узла // Вестник Самарского ГТУ — 2010. — № 4. — C. 226−229.
8. Логинов В. Н., Космынин А. В., Широкова З. В. Аналитическое решение задачи определения характеристик цилиндрического газового подшипника // Современные проблемы науки и образования. — 2012. — № 5. — С. 121−121.
9. Математическая модель опорного газового подшипника, работающего в гибридном режиме / В. Н. Логинов, А. В. Космынин, З. В. Широкова, Ю. В. Медведовская // Современные проблемы науки и образования. — 2012. — № 6. -
C. 79−79.
10. Щетинин В. С., Космынин А. В. Математическая модель расчета несущей способности высокоскоростного шпиндельного узла на газомагнитной опоре // Трение и смазка в машинах и механизмах. — 2010. — № 8. — С. 31−35.
References
1. Kosmynin A.V., Shhetinin V.S., Hvostikov A.S. ,
Smirnov A.V., Blinkov S.S. Fundamental’nye issledovaniya, 2011, no. 8 (1), pp. 137−138.
2. Konstantinesku V.N. Gazovaya smazka (The gas greasing), Moskow, 1968, 718 p.
3. Kosmynin A.V., Chernobay S.P., Vinogradov S.V.
Avtomatizaciya i sovremennye tehnologii, 2008, no. 10, pp. 8−12.
4. Kosmynin A.V., Shalomov V.I. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya, 2006, no. 2, pp. 69−70.
5. Kosmynin A.V., Shhetinin V.S. STIN, 2010, no. 9, pp. 6−8.
6. Kosmynin A.V., Shhetinin VS. Uspehi sovremennogo estestvoznaniya, 2009, no. 11, pp. 69−70.
7. Kosmynin A.V., Shhetinin V.S., Ivanova N.A. Vestnik Samarskogo GTU, 2010, no. 4, pp. 226−229.
8. Loginov V.N., Kosmynin A.V., Shirokova Z. V Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya, 2012, no. 5, pp. 121−121.
9. Loginov V.N., Kosmynin A.V., Shirokova Z.V., Medvedovskaya Y.V. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya, 2012, no. 6, pp. 79−79.
10. Shhetinin V. S., Kosmynin A. V. Trenie i smazka v mashinah i mehanizmah, 2010, no. 8, pp. 31−35.
Рецензенты:
Феоктистов С. И., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Технология самолетостроения», ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре-
Биленко С. В., д.т.н., доцент, зав. кафедрой «Технология машиностроения», ФГБОУ ВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», г. Комсомольск-на-Амуре.
Работа поступила в редакцию 18. 06. 2013.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой