О свойствах интегралов от многочлена Лежандра

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 586 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 1
0 СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЧЛЕНА ЛЕЖАНДРА*
К. В. Холшевников1'-2, В. Ш. Шайдулин1'-3
1 С. -Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199 034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
2 Институт прикладной астрономии РАН,
Российская Федерация, 191 187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10
3 Главная астрономическая обсерватория РАН,
Российская Федерация, 196 140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65
Систематически излагаются свойства интегралов
/X
1 Р", к-1(у) & amp-У
от многочлена Лежандра Р"(х) на основном промежутке -1 х ^ 1. Определена производящая функция
(1 — 2хг + г2) к-½ = ^(х,^ + (-1)к (2к — 1)!! ^ Р"к (х)г"+к,
«= к
где = 0, а при к & gt- 0 величина Qk — многочлен степени 2к — 1 по каждой из переменных х, г. Выведено дифференциальное уравнение второго порядка, получен аналог формулы Родрига и определена асимптотика при п — оо. Доказано представление
Р"к (х) = (х2 — 1) к /"к (х),
если и только если п ^ к, где /"к -некоторый многочлен, не делящийся на х — 1. Основной результат состоит в получении точной оценки
Рпк (совв)& lt- п^к.
Здесь
½ = (га+ I)2 — (к2 — I) -. = М1 = 0. 674 885,
где //,-первый максимум функции //. //, (/) на полуоси / & gt- 0.. //, (/)-функция Бесселя. Приведем таблицу первых Ак и разностей Ак —1 к1/6:
к 1 2 3 4 5 6
Ак Ак-^к1/6 0. 8250 0. 1501 0. 8684 0. 1109 0. 9024 0. 0919 0. 9305 0. 0802 0. 9545 0. 0720 0. 9757 0. 0659
Библиогр. 7 назв. Табл. 1.
Ключевые слова: интегралы от многочлена Лежандра, функции Бесселя, асимптотика, оценка, рекуррентность.
Введение. Свойства многочленов Лежандра и их производных изучены практически с исчерпывающей полнотой. Однако в некоторых приложениях (например, при рассмотрении ряда Лапласа по сферическим функциям для ньютоновского потенциала) встречаются повторные интегралы, для которых полином Лежандра служит производной порядка к ^ 1. В настоящей статье мы выводим свойства указанных интегралов как аналогичные свойствам самих многочленов Лежандра, так и не
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11−02−232-а) и Программы проведения фундаментальных исследований СПбГУ по приоритетным направлениям (грант 6. 37. 110. 2011).
имеющие соответствующих аналогов. Для полноты картины мы приводим не только нетривиальные, но и простые свойства рассматриваемых функций.
Определение и простейшие свойства. Пусть Р» — многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Р"(1) = 1. Определим рекуррентно последовательные интегралы от Р":
Р"0(ж) = Р"(ж), Р"к (х) = У Р", к-1(у) к & gt- 1. (1)
Тем самым многочлены Р"к определены при к ^ 0. Обобщением формулы Родрига
(2п)!!Рп (х) = -, п& gt-0,
служит ее аналог
ап — к (ж2 _ 1) п
(2п)!!Р"й (х) =-1, (2)
Отсюда получаем два следствия. Во-первых, Р"к при п ^ к — многочлен степени п+к, четный при четных п + к и нечетный при нечетных п + к. Во-вторых,
Р"к (ж) = (ж2 — 1) к/"к (ж), п & gt- к, (3)
где /"к — некоторый многочлен. В частности,
(2п)!!Р""(ж) = (ж2 — 1)™, /"" = _!_,
(2П-2)!!Р", п1(х)=Х (Х2−1)™-1, /","-1 = 77гАтт77 • (4)
(2п — 2)!! '-
Покажем, что /"к (ж) не делится ни на ж — 1, ни на ж + 1. Вычислим
,, лЛ у Р"к (ж) Рпк (ж)
/пй (1) = 1Ш1 -ттг = 11П1
+1 (ж2 — 1) к 2к (ж — 1) к '-
применяя к раз правило Лопиталя. В результате
1 (-1)"+к = /п'-г (& quot-1)= (2 к)\ '- (5)
Второе из равенств (6) доказывается аналогично первому. Следствием известной формулы [1]
(2п +1)Р"1 = Р"+1 — Р"-1, п & gt- 1,
служит ее аналог
(2п + 1) Р"к = Р"+1,к-1 — Р"-1,к-1, п & gt- 1, к & gt- 1. (6)
Покажем, что при к & gt- п свойство (4) нарушается. Более того, левая часть (4) не содержит ж2 — 1 множителем.
Непосредственым интегрированием и индукцией по к легко установить, что Рок (х) = -^-, Р1к (х)= (к+1у (х~к)& gt-
откуда
Теперь с помощью соотношения (7), переписанного в форме
Рп+1,к-1 (1) = (2п +1)Р"Й (1) + Рп1,*_1(1), индукцией по п устанавливается равенство
= (-1)& quot- - - 2)… (Л — п). (7)
Как обычно, при п = 0 пустое произведение считается единицей. Правая часть (7) отлична от нуля при к & gt- п, так что (ж) не делится на ж — 1.
Нам понадобится явное выражение для Дп (ж) = Рп, п+1(ж). Используя (7), получим
(2п + 1) Д" = Рп+1," - Дп-ь Подставляя сюда значение Рп+1,п (ж) из (5), получим рекуррентность
ж (ж2 — 1)& quot- 1
Д"

(2п +1)(2п)!! 2п +1 '-
которая легко решается:
д = V _(-1ГФ2 — 1)& quot-"-"-_ (-1)& quot- р
п ^ (2п+1)(2п- 1)---(2п+1 -2т)(2п-2т)!! (2п+1)!! Поскольку До = ж + 1,
Р& quot-, п+1 (ж) = (- 1)
ж (1-ж2)& quot--т ж+1
^ (2п + 1)(2п — 1) • • • (2п + 1 — 2то)(2п — 2т)!! + (2п+ 1)!!
(8)
Производящая функция. Семейство многочленов при п ^ к ^ 0 порождается производящей функцией
(1 — 2жг + ?2)й-½ = (ж, г) + (-1)й (2к — 1)!!? Р"й (ж)г. (9)
Здесь до = 0, а при к & gt- 0 величина д — многочлен степени 2к — 1 по каждой из переменных ж, г.
При к = 0 представление (9) многочленов Лежандра стандартно. Действуя по индукции, проинтегрируем (9) по ж в пределах от -1 до ж. После элементарных преобразований получим
/X
дк (м) & lt-и+
ж
+ (-1)к+1(2к + 1)!!? РП1к+1(х)гп+к+1.
П'-& lt-
= к
Мы пришли к равенству (9) с заменой к на к +1 и рекуррентности
Г х
дк+1(х, г) = (1+г)2к+1 + (-1)к+1(2к+1)!!Рк'-к+1 (х)г2к+1 — (2к+1)*у дк (М) ?1, (10)
где Рк'-к+1 (х) определен формулой (8). Соотношение (9) доказано. Левая часть (9) сводится к биному при х = 0:
[ + '- ~ + 2! + 4! (2^-2)!! +
^ (2к — 1)!!(2т — 1)!! 2& amp-+2т
+ (2к + 2т)!! * '- (П)
т=0 4 '-
Отсюда при к ^ 1
п (п л, , — 1 2, (2к-1)(2к-3) 4, , (2к — 1)!! 2Й2
= 1 + ----* +. (12)
Пусть п ^ к. Сравнение (9) и (12) показывает, что
Рпк (0) = 0 при нечетном п — к,
а при четном п — к
Заменяя в (14) по формуле Валлиса отношение двойных факториалов эквивалентной степенной функцией, получим асимптотически (при фиксированном к и п ^ & lt-х)
РпЛ (14)
Дифференциальные уравнения. Функция Рпк (х) при к = 0 является регулярным решением дифференциального уравнения Лежандра
(1 — х2) у'-'- - 2ху'- + п (п + 1) у = 0. (15)
Легко показать, что и в общем случае Рпк (х) будет регулярным решением дифференциального уравнения
(1 — х2) у'-'- + 2Бк ху'- + ЕкпУ = 0 (16)
при некоторых постоянных Б к, Екп. Для к = 0 это справедливо при Во = -1, Еоп = п (п + 1). Дифференцируя (18), убеждаемся, что Рп, к-1(х) удовлетворяет уравнению
(1 — х2) у'-'- + 2(Бк — 1) ху'- + (Екп + 2Бк) у = 0.
Сравнивая с (18), получаем рекуррентности
D — + 1, Efc" - Ek i" -.
Первое разностное уравнение (19) решается элементарно, после чего легко решается
и второе:
Dfc — k — 1, Efc" - n (n +1) — k (k — 1).
Итак, дифференциальное уравнение для Р"й (ж) при п ^ 0, к ^ 0 имеет вид (1 — ж2) у'-'- + 2(к — 1) жу'- + (п + к)(п — к + 1) у = 0.
(18)
В большинстве приложений ограничиваются сужением P"fc (x) на отрезок -1 ^ x ^ 1 и пользуются заменой переменных x — cos в, считая 0 ^ в ^ п. Уравнение (18) принимает форму
у — (2k — 1) ctg ву + (n + k)(n — k + 1) y — 0,
(19)
где точки означают дифференцирование по в.
Ниже нам встретится функция и (в) — (- 1) k sin-k+½ вР"й (cos в). Соответствующее дифференциальное уравнение
Н 1
и + р (в)и = 0, р (в) = С2--5-, С = п±
sin2 в 2
не содержит члена с первой производной.
Асимптотика. Асимптотика Рп хорошо известна [1]:
H — k2 —
1
(20)
Pn (COS в) —
2
sin в
cos

+
rp (n, fl) n sin в
(21)
где фигурирующие здесь и ниже поправочные члены г^ (п, в) равномерно ограничены при п ^ 1,0 ^ в ^ п. Она немедленно обобщается на случай произвольного фиксированного к ^ 0:
Pnfc (cos в)
[2smk-½ в п nk+½

+
Гк (п, в) n sinfc+1 в
(22)
При к = 0 формулы (22) и (21) совпадают. При произвольном к справедливость (22) устанавливается индукцией по к с использованием (7).
Равномерные по ж оценки. Известны равномерные по ж оценки многочленов Лежандра и их производных любого порядка [1] на основном отрезке -1 ^ ж ^ 1. В [2, § 4. 6] фактически приведена такая оценка и для Р"1:
|Pn1 (cos в)| & lt-
2
nn2(n + 3/2)
n ^ 1.
(23)
Для оценки РП2 воспользуемся соотношением (18) при к = 2. Экстремальные на отрезке -1 ^ ж ^ 1 значения многочлены у = Р"2 принимают при у'- = Р"1 = 0, так
что
(n + 2)(n — 1) |Pn2(x)| & lt- max 1(1 — x2) Pn (x)|.
4
Отсюда с учетом неравенства [2, § 4. 6]
)ВЫ& gt- (24)
получаем
Рп2(х) & lt- А 2, 2. (25)
у п (п + ½)(п — 1)2(п + 2)2
Несколько огрубляя оценки, перепишем их в более простом виде:
РпЛх) & lt- Щ, РЛх)& lt-Щ1 1. (26)
Второе из соотношений (26) доказано при п ^ 2. Его справедливость при п =1 устанавливается непосредственно.
В неравенствах (26) точны как показатель степени убывания левой части с ростом п, так и константа /тг. Для доказательства следует в (26) положить х = 0 и сравнить с (14).
Как и для рассмотренного случая к = 2, обращение к (18) показывает, что
\Рпк\ & lt- т--гт7-г-г-гтЦ^-зЦ, п^к, (27)
1
(¦п + к)(п -к + 1)1
где норма означает максимум модуля при -1 ^ х ^ 1. Отсюда при п ^ к с учетом (26)
«о «. у/2А (п + 2)!!(п-к-1)!! «^ (п + 1)!!(п — к — 1)!!
11пк11 п5/2 (п + к)\{п — 3)!! '- 11 пк11 & lt- тг3/2 (п + Л)!!(п-2)!! 1 —
при четном к ^ 2 и нечетном к ^ 1 соответственно.
Пусть к ^ 2 четно. Вне зависимости от четности п имеем
где использовано
2(т+1)/2
2 '- V'- л/5Р V 2& quot-
т! = 2"/2г + 1), = (30)
при четном и нечетном т соответственно. Применяя формулу Стирлинга, получаем
(31)
где использован символ асимптотически меньше. Это значит, что при больших (по сравнению с к) п правая часть может быть меньше левой на величину порядка п-й-½.
Пусть к ^ 1 нечетно. Вне зависимости от четности п имеем \р ||. Г (| + |)Г (^ + 1) у/2А
1111 & lt- 2й-1пЗ/2Г (п)Гда + 1) '- п& gt-к- М
Применив формулу Стирлинга, придем к той же формуле (31). 60
Итак, асимптотическая оценка (31) доказана. Ее точность устанавливается сравнением с (14). Естествен вопрос, нельзя ли заменить знак асимптотически меньше на меньше, как это выполнено для k =1, 2. Ответ отрицателен. Уже при n = k = 3 левая часть (31) при x = 0, как показывают прямые вычисления, равна 1/48 = 0. 0208, а правая — 0. 0171. Но при n ^ 4, k = 3 неравенство (31) выполнено строго, а не только асимптотически. Действительно, при k = 3 неравенство (27) принимает вид
(n + 3)(n — 2)|||Р"з||| & lt- |||Pni|||,
что с учетом (23) влечет (31) при n ^ 4, k = 3.
Оценки при фиксированном x. Наличие sin в в знаменателях поправочных членов (22) делает невозможным модификацию оценки (31) добавлением справа множителя sin в в положительной степени. Но за счет увеличения константы этого можно достигнуть. В [3] это сделано для k =1. Здесь мы рассмотрим случай произвольного k.
Пусть n ^ k. Рассмотрим уравнение (20), ограничиваясь по симметрии отрезком 0 & lt- в & lt- п/2.
Функция и является единственным решением (20), непрерывным вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическим при 0 & lt- в ^ п/2 и представимым рядом
и = Е а"^2т'- = L (33)
()!'- m=0
Коэффициент 1/(2k)'-'- получен из условия
и = (-1)k sin-k+½ ep"fc (cos в) =sink+½ e/"fc (1) + …
с учетом (4, 6).
По следствию из теоремы Сонина-Пойя [4, § 6. 2], [5, § 19] наибольшее значение M модуля и (в) на отрезке 0 ^ в ^ п/2 достигается в точке впк первого локального максимума:
M = U (впк). (34)
Сопоставим (20) с уравнением сравнения
Ui + Р1(в)и1 =0 (35)
при
=, 2 = G2-F (I-±)& gt-O.
Легко показать, что р1(в) ^ р (в) при 0 & lt- в ^ п/2, причем p1(n/2) = p (n/2) & gt- 0. За и1(в) примем решение (35), непрерывное вместе с первой производной на отрезке 0 ^ в ^ п/2, вещественно-аналитическое при 0 & lt-в ^ п/2 и представимое при 0 ^ в ^ п/2 в виде
= Щт/+½? Ьо = 1- (36)
По теореме сравнения Штурма [4, § 6. 2], [5, § 20] м (0пд-) & lt- М1(0пд-), и тем более
М & lt- «, 1(& lt-и), (37)
где 0пк -первый локальный максимум функции М1(0).
Легко получить явное выражение для функции М1(0). Подстановка? =0, М1 = Ztu2 приводит (35) к уравнению Бесселя
*2^+^ + (*2-А2)"2=0. (38)
Нужное нам решение голоморфно в нуле, поэтому
с
и2 = cJfc (t), U1 = cVtJk (t) = 7-+ …).
(2k)'-'-
Сравнивая с (36), находим В результате Отсюда с учетом (37)
c = v-k-½.
ux = V-k-xl^tJk{t).
Ак=и3(Ъ), (39)
где = %/?•/& amp-(?), -первый локальный максимум функции «з.
Итак, при п ^ к доказана оценка
|Р"й (сО80)| & lt- «= ^(п+1)2_(^2_ 1) (40)
Отсюда асимптотически при фиксированном k и n ^ ж
Ак
пк+½
IPnfcCcos^lS^^sin*-1^. (41)
Точность оценок. Для доказательства точности постоянной в неравенстве (40) определим коэффициенты am, bm рядов (33), (36). Подставим (33) в (20), выразив предварительно sin2 в через cos 2 В и применив стандартное разложение косинуса
__o2m+1/)2m
4sin20= y (-l)™-1, ,.
y (2m)!
1
Получим
oo
W 1) s — 1 1
22s + 1

i* + * + ^ + * - = 1 a1"2'-+*-s/2+
L i=0
i=0
+ aiв^+к+½ = 4ЯЕ^+к+½.
i=0
С учетом значения Н приходим к рекуррентности
(4т + 2к — 3)(4т + 2к — 5)
С2
48 т (т + к)

ат-1 +
+
С2

4 т (т + к) (4т + 2к — 7)(4т + 2к — 9)
12 т (т + к)
360 т (т + к)
ат-2 + …, (42)
причем опущенные в (42) члены суть линейные комбинации ая с меньшими индексами, коэффициенты при которых — линейные функции от С2. Из (42) следует, что ат являются многочленами от С2 степени т:
ат — ат0С т + ат1С'-
Из (42), (43) получаем рекуррентности
2т-2
+…
1
ат0 = -
4 т (т + к)
ат-1,0:
аоо
(43)
(44)
а
т
1
_ 1 (4т + 2/г-3)(4т + 2/г-5)
т1 4 т (т + /г) т 1,1 48 т (т + к) т 1,0
+ 77^-/,, Дт-2,0, а01 = 0. (45) 12 т (т + к)
Из (44) вытекает
к'-
Дт0 = (-1Г, т, '-, • (46)
4тт!(т + к)!
Теперь можно вычислить сумму двух последних слагаемых в (45):
а 1 I Г 1У& quot--1
т1 4то (то + к) ^ 12. 4™т!(т + к)! '-
Полагая
к!
т к!
ат1 = (,-1) --г: --р-гат1,
4тт!(т + к)!
приходим к соотношению
4к2 — 1
ат1 ат-1,1
откуда
ат 1 — ат_1д----, ао1 — 0,
4к2 — 1 1 т (4к2 — 1) к!
ат 1 =---- то, ат1 = (-1)
12 '- & quot- 7 12 • 4тт!(т + к)!
Окончательно,
к!
т к!
ат = (-1)
'- 2 т _ т (4к2 — 1) 2т2 12
4тт!(т + к)!
Простое рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (36)
у2
Ьт -7: гг & amp-т-1 4 т (т + к)
(47)
влечет
v2m k|
Ьт = (-1ГЛт u: (48)
4mml (m + k) l Используя ряды (33), (36), вычисляем разность
tk+½ ~ b _ a
(49)
^ 1 m=1
Как и выше, t = vo. Согласно (47), (48)
(-1)mkl
v2m+k +½ 4mm|(m + k) lv k+½
2m / л 7 2 1 ^ //-, 2m-2
, G 2m m (4k2 — 1U G
Сумма в квадратных скобках содержит конечное число слагаемых, и нас интересуют лишь ограниченные значения t ^ tk. Поэтому
lim |u (0) — u1(o)| =0 (50)
n-
равномерно по t, поскольку v ^ ж, G ^ ж, G/v ^ 1 при n ^ ж. Точность константы Ak доказана.
Свойства последовательности Ak. Согласно вышеизложенному
Ak=u3(tk), и3(х) = y/xJk (x), (51)
где tk — наименьший положительный корень целой функции
Ui (x) = 2/хи'-3(х) = Jk{x) + 2xJ'-k (x). (52)
По теореме Диксона [7, § 15. 23] корни J'-(x) и U4(x) чередуются. Очевидно, tk & gt- j, где j — зависящий от k первый положительный корень J'- (x).
Положим tk = j + т. Разлагая U4(tk) в ряд Маклорена по т, получаем
оо с Т s
?- (1 + 2S)4sj)+2J4s+1J) =0. (53)
в!
Дифференциальное уравнение Бесселя (38) позволяет выразить производную любого порядка Л3'-(ж) в виде линейной комбинации Л (ж) и Л (ж):
ж8 Лз)(ж) = К Л (ж) + ЬяжЛ (ж), (54)
где многочлены К3(ж), Ь3(ж), зависящие также от к, определяются рекуррентно:
К8+1 = -вК8 + (к2 — ж2)?я + жК8, + 1 = К 8 — вЬд + жЬ8, Ко = 1, ?0 = 0.
Первая производная исчезает при ж = а, и (54) влечет
Л'-а) = адл а) — (55)
bm am
Уравнение (53) принимает вид
00 s
]Г [(1 + 2s) Ka (j) + 2Ks+1(j)} = 0.
s=0 j S'-
С точностью до второй степени т (эта точность даже избыточна)
j 2j2
Воспользуемся асимптотическим представлением [7, § 15. 83]
j = k + мк1/3 + rik-1/3, м = 0. 808 618. (57)
Здесь и ниже rs — ограниченные функции натурального аргумента к. Подставляя (57) в (56), приходим к уравнению
1 — (4мк1/3 + Г2к-1/3) т — (2 — Мк-2/3 + Г3к-4/3) т2 + … =0,
откуда
т= - к-^+чк-1. 4 м
В результате для tk приходим к тому же представлению (57) с заменой Г1 на Г5 =
П + 1/(4м).
Для определения Ak достаточно обратиться к формуле Никольсона-Ватсона [7, § 8. 43, формула (5)]. Для ее применения следует представить аргумент tk функции Бесселя в виде tk = к/ cos в. С учетом (57)
cos/3 = 1- Мк~2/3 + г6к-4/3, /3 = v^k-V3 (1 + trk-2/3), tg/3 — fJ — i tg3 fj = -i/35 + … = -i (2M)5/2k-5/3 (l + r8k-2/3).
В результате формула Никольсона-Ватсона показывает, что
Jk (tk)= М1к-1/3 + rg к-1. (58)
Здесь где
Окончательно,
Mi = ^ [Л/з (0 + J-i/зСО] = 0. 674 885,? = 5(2 м)3/2 = 0. 685 550.
Ай = М1к1/6 + гюк-1. (59)
Прямое вычисление при фиксированном к не представляет трудностей.
Мы вычислили эти величины вплоть до к = 100. Константы, как и должно быть, возрастают и превосходят фигурирующую в асимптотической формуле (31) постоянную /2/и. Разность А^ - /лк1/6 положительна и стремится к нулю, хотя и медленно. Сходимость улучшится более чем на десятичный порядок при сдвиге аргумента в
формуле (59) на 3. 449, что равносильно частичному учету влияния поправочного члена в (59).
Приведем таблицу значений? к, Ак, к1/6, + 3. 449)1/6, Ак — к1/6, Ак — ^(к + 3. 449)1/6 для к = 1,…, 12:
k 1 2 3 4 5 6
tk 2. 1659 3. 3108 4. 4241 5. 5192 6. 6022 7. 6764
Ak 0. 8250 0. 8684 0. 9024 0. 9305 0. 9545 0. 9757
ink1/6 0. 6749 0. 7575 0. 8105 0. 8503 0. 8825 0. 9097
jtti (k + 3. 449)1/6 0. 8655 0. 8953 0. 9208 0. 9431 0. 9632 0. 9813
Ak-?lkV6 0. 1501 0. 1109 0. 0919 0. 0802 0. 0720 0. 0659
Ak — + 3. 449)1/6 -0. 0405 -0. 0268 -0. 0184 -0. 0127 -0. 0086 -0. 0056
k 7 8 9 10 11 12
tk 8. 7438 9. 8059 10. 8636 11. 9176 12. 9685 14. 0166
Ak 0. 9946 1. 0117 1. 0274 1. 0419 1. 0555 1. 0681
/life1/6 0. 9334 0. 9544 0. 9734 0. 9906 1. 0065 1. 0212
jtti (k + 3. 449)1/6 0. 9979 1. 0132 1. 0274 1. 0407 1. 0533 1. 0651
Ak-?ikV6 0. 0612 0. 0573 0. 0541 0. 0513 0. 0490 0. 0469
Ak — + 3. 449)1/6 -0. 0033 -0. 0015 0. 0000 0. 0012 0. 0022 0. 0030
Заметим, что разность Ак — М1(к + 3. 449)1/6 монотонно уменьшается, начиная с к = 52.
Литература
1. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 476 с.
2. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270 с.
3. Антонов В. А., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Об оценке производой многочлена Ле-жандра // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 4. С. 3−9.
4. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С. -Петерб. ун-та, 1992. 240 с.
5. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003. 352 с.
6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. СПб.: Лань, 2009. 800 с.
7. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 797 с.
Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г.
Сведения об авторах
Холшевников Константин Владиславович -доктор физико-математических наук, профессор- e-mail: kvk@astro. spbu. ru
Шайдулин Вахит Шамильевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник- e-mail: shvak@yandex. ru
ON PROPERTIES OF THE INTEGRALS OF LEGENDRE POLYNOMIAL
Konstantin V. Kholshevnikov1'-2, Vakhit Sh. Shaidulin1,3
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St. Petersburg, 199 034, Russian Federation- kvk@astro. spbu. ru, shvak@yandex. ru
2 Institute of Applied Astronomy RAS, Kutuzova nab., 10, St. Petersburg, 191 187, Russian Federation- kvk@astro. spbu. ru
3 Pulkovo Observatory, Pulkovskoe chaussee, 65, St. Petersburg, 196 140, Russian Federation- peter. tovstik@mail. ru, shvak@yandex. ru
Properties of the integrals of Legendre polynomial Pn (x)
Pno (x) = Pn (x), Pnk (x) = J Pn, k-l (y) dy
on the main segment — 1 & lt- x & lt- 1 are exposed. One defines the generating function
(1 — 2xz + z2) k-½ = Qk (x, z) + (-1)k (2k — 1)!!? Pnk (x)zn+k,
n = k
where Qk is a polynomial of degree 2k — 1 with respect to each variable x, z if k & gt- 0, and Qo = 0. A second-order differential equation is determined, an analogue of Rodrigues formula is obtained, and asymptotics when n ^ & lt-x is deduced. The representation
Pnk (x) = (x2 — 1) k fnk (x)
is valid if and only if n & gt- k- fnk being a certain polynomial not divisible by x — 1. As the main result we obtain exact estimate
|Pnfc (cos0)| & lt- sin*-½ 0, n& gt-k.
v k+½ Here
½ = (n+ I)2 & quot- (fc2 & quot- l) & quot- I?). Ak = Vt^Jk (tk) Ml = 0. 674 885,
and Jfc (i), tfc are the Bessel function, and the first maximum of y/ijk{t) on the semi-axis t & gt- 0, respectively. Below, we give a table of the values of tk, Ak, ^ik1/6, (k + 3. 449)1/6, Akk1/6, and Ak& quot-^i (k + 3. 449)1/6 at k = 1,…, 12. Note that the difference Ak (k+3. 449)1/6 monotonically decreases beginning with k = 52. Refs 7. Tables 1.
Keywords: integrals of Legendre polynomial, Bessel functions, asymptotics, estimate, recurrence.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой