О свойстве фундаментальности сегментов класса натуральных чисел

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 765
С. В. Дронов
О свойстве фундаментальности сегментов класса натуральных чисел
Настоящая работа выполнена в аксиоматике альтернативной теории множеств (AST) и продолжает цикл работ, посвященных задаче распространения функций и последовательностей на гипердействительные структуры. При построении одного из распространений (способ микрокопирования) в [1] возникла проблема существования предела фундаментальной последовательности в гипердействительной структуре, построенной по сегменту A, более широкому, чем сегмент конечных натуральных чисел FN. Те сегменты, для которых такие пределы существуют, в [1] назывались фундаментальными. Здесь мы докажем, что практически все нетривиальные сегменты N являются таковыми, а также рассмотрим вопрос существования пределов монотонных ограниченных последовательностей и ситуацию, когда фундаментальная последовательность содержит лишь счетное количество членов.
1. Фундаментальность последовательных сегментов. Всюду в работе под словом сегмент условимся понимать начальный отре-
A
зываем аддитивным, если для любых n, m G A справедливо n + m G A Как в [1], через будем обозначать гипердействительную струк-
A
вательность х = {xn, n G A} с условимся называть фундаментальной, если она теоретикомножественно определима и
(Уп G A) (3jn G A) (yt, s G A)
t? s & gt- jn xt xs & lt- n'-
(1)
Число x G назовем пределом x относительно A
(Ук G A) (3vk G A) У G A) t & gt- Vk ^ xt — x& lt- k.
(2)
Сегмент Л, следуя [1], будем называть фундаментальным, если любая фундаментальная Л
Л
Замечание 1. Поскольку арифметические операции и отношение порядка на11 определяются по рациональным представителям соответствующих элементов гипердействительной структуры, то все вопросы, связанные с (1)-(2),
можно решать в рамках класса рациональных чисел С^. Например, (2) выполнено тогда и только тогда, когда при произвольном выборе рациональных *хп € хп, некотором *х € и произвольном к € Л имеет место
(Зук € Л№ € Л) г & gt- Ук ^ *xt -* х & lt- к.
х
мент представителем которого является *х, что мы будем записывать как х = ^(*х).
Описанный сейчас процесс коротко договоримся называть переходом в С^.
Л
Тогда любая теоретике-множественно определимая Л-последователъность элементов11, имеющая предел, фундаментальна.
к€
Л и г, в & gt- у-2к. Тогда
х — х8 & lt- хг — х + х8 — х& lt- + ту- = 7*
2к 2к к
Лемма доказана.
Л
Л
ментальна. Тогда х имеет предел относитель-Л
Замечание 2. Несмотря на то, что фундаментальные последовательности являются ограниченными, одной монотонности и ограниченности оказывается недостаточно для существования предела. Пусть, например, а €
Л = {7 € N: (Эк € FN) 7 & lt- ак}. Рассмотрим хп — а/п, п € Л. Ясно, что сегмент аддитивен
хп & lt- а
п
х'2п — хп & gt- 0, 4л/п.
Доказательство леммы 2. Перейдем и и будем считать, что х возрастает. Зафиксируем п€Л
ап € Л
любого натурального т выполнялось
jn & lt- m & lt- an ^
— *xm & lt- ~ ¦
n
Возможность построения такого продолжения
т€Л
т & gt- ]п ^ (-п + *хап & lt- *хт & lt- *ха). (3)
=1=
x
а
Без ограничения общности можно считать, что А-постедовательность ап, п е, А не возрастает и, по теореме 1 из [3], А ф С{а. п, п е А}. Поэтому найдется такое, а е, А чт0 (Уп е А) ап & gt- а. Выберем х = д (*ха) — это тот элемент для которого *ха является представителем. Член
а
взят из любого из построенных продолжений -нетрудно показать, что они идентичны с точки А
При т & gt- ]п из (3) получаем, что * ^ ^ ^ ^ хт & gt- хап & gt- ха ,
пп откуда, привлекая монотонность и замечание 1, приходим к справедливости (2). Лемма доказана.
А
х С11 — теоретике-множественно определи-А
выбрать монотонную подпоследовательность Ур = хпр, р е А.
Доказательство. Число, а е11 назовем левым для последовательности х, если
(Уп е А) (Зкп е А) кп & gt- п & amp- хкп & gt- а.
Все числа, не являющиеся левыми, назовем правыми. Все члены х, лежащие справа от левого, а а
а
ность гк, к е, А по индукции. Пусть ^ = х. Если хк уже построено, то в качестве гк+% возьмем любое из чисел, подконтрольных гк. Далее возможны два случая.
1. (Зт е А) (Уп & gt- т гп~ левое число. Тогда Ур = ?т+р, р е, А монотонно не убывает-
2. (Ут е А) (Зпт е А) гпт ~ правое число. Тогда ур = гпр, р е, А монотонно не возрастает.
Лемма доказана.
Теорема 1. Сегмент N фундаментален тогда и только тогда, когда аддитивен.
А
А
на. Выберем из нее монотонную подпоследовательность ур = хп, р е А. По лемме 2 у нее есть предел х е т. е., для произвольного п е А
(Зуп е А) (Ур е Ар & gt- 1пур — х& lt--. (4)
п
Возьмем любое к е, А и выберем р е А, р & gt- тах{]2к, 72к}¦ Тогда пр & gt- ]2к, и из (1), (4) следует, ЧТО при? & gt- 2'-2 к выполнено
что совпадает с (2).
Рассмотрим теперь простой пример, показывающий, что без условия аддитивности сегмент не является фундаментальным. Пусть сегмент А
7 е, А 27 е А. Возьмем одно из таких 7. Рассмотрим хп — -, п е А. Убедимся, что эта последовательность фундаментальна. Для этого выберем г, в е А, г & gt- в & gt- 7. В этих предположениях
. 2(г — 7) 2 2 2 2 1
хг — хв & lt- г — - & lt- - -.
г7 7 г 7 2^ 7
Осталось заметить, что в справедливости (1)
п
С другой стороны, ясно, что единственный претендент на роль предела этой последовательности — число 0 — не удовлетворяет (2). Действительно, при том же выборе 7
I I 1
хп & lt- -7
п & gt-27,
1
1 1
х — х& lt- х — Ур + Ур — х& lt- = к
но 27 е А. Теорема доказана.
2. Об углублении свойства фундаментальности. Естественным образом возникает желание погрузить неаддитивный сегмент в больший аддитивный. Эту возможность мы сейчас и рассмотрим.
А
аеА
А
ся сегмент В, заключенный между, А и а, и продолжение х, которое имеет предел отно-ВВ полнительно наделен свойством замкнутости относительно любой заранее фиксированной теоретике-множественно определимой операции.
Доказательство. Перейдем в (^. Из теоретико-множественной определимости х следует,
А
определена при п & lt- 5, 5 е А. Из (1) и теоремы 1 в [3], как и при доказательстве леммы 2, извлекаем возможность найти такое 5о е А, что для любого 7 е А
(З3-у^ (Уг& gt- в) в & lt- 50 хЬ хз & lt-.
7
Продолжим последовательность до некоторого в е, А Выберем адаптивный сегмент В так, чтобы он обладал нужными свойствами замкнутости и, А С В С тш{5, 50, в, а}. Это можно
сделать в соответствии с теоремой 12 из [4]. Тогда (при обратном переходе в ^Ы.) последова-хп, п е В Теорема доказана.
3. Существование ст-пределов. В п. 5 работы [1] было введено понятие ст-сходящейся последовательности. Рассмотрим здесь это понятие подробнее. Счетный класс элементов {хп, п е пч} с назывался в рабо-ст
если
(Уп е А) (З]п е га) (Уг, в е ПЧ)
М & lt- 2п ^ х — х5 & lt- п. (5)
стА
если найдется х е такой, что для любого кеА
(Зук е ПЧ)(Ур е FN) р & gt- ук ^ хр-х & lt- у. (6)
к
хст
А
ст
ст
стА утверждение очевидно.
А
стА
ст
Для дальнейшего нам потребуется еще одно В
В-постедовательность т = {тк, к е В} условимся называть стабилизирующейся, если
(Зр е В) (Ук е В) к & gt- р ^ тк = тр.
В
ше ПЧ, т = {т3, в е В} С FN — монотонно неубывающая теоретике-множественно опреВ
Вст
найдется счетный набор натуральных чисел аз, 2 е ПЧ, такой, что В = и{а^ 2 е FN}.
Доказательство. Если ш не стабилизируется, то можно построить ее строго возрастающую подпоследовательность тк^, 2 е FN по индукции. При этом в силу строгой монотонности для произвольного 2 будет выполнено ткз- & gt- 2, откуда и{т^ 2 е ПЧ} = FN. Определим А^ = {п е В тп & lt- тк6}, 2 е FN.
Тогда из свойств монотонности ш следует, что А^ - теоретико-множественно определимый сегмент, т. е. натуральное число (см., например: [2, лемма 1]), которое мы и обозначим аОчевидно, что а^, 2 е FN — требуемый набор, поскольку
г е В ^ тг е FN ^ (32) тг & lt- тк:!. Лемма доказана.
Теорема 3. Произвольный аддитивный сег-ст
А
ходя из (5), рассмотрим класс последовательностей j = {2п, п е А} С FN для всех воз-ст
стей х. Очевидно, что j можно считать неубывающей. Если хотя бы одна j не стабилизируется, Аст
3] и теоремы 1 настоящей работы, такой сегмент ст
Если же все j стабилизируются, то перейдем в и рассмотрим любую конкретную х. Для произвольного п е, А щи г, в & gt- ]р справедливо хг — хв & lt- п. Это означает, что х& lt-1,хв в совпадают, т. е. при г & gt- ]р последовательность х постоянна, и существование ее предела очевидно. Теорема доказана.
Замечание 3. Из доказательства теоремы 3 ст
ст
ст
последовательностей исчерпывается стабилизирующимися последовательностями, т. е. фактически лишь константами.
4. О монотонных ограниченных последовательностях. При доказательстве фундаментальности аддитивных сегментов было использовано существование предела специальной монотонной последовательности. Изучим здесь условия, при которых подобные пределы существуют (ср. пример из замечания 2).
А
ментальным, если произвольная монотонная теоретико-множественно определимая последо-
А
ниченности:
(Зт е А) (Ув е А) & lt- т,
имеет предел х е Будем говорить, что сегмент, А замкнут относительно функции /: N ^ IV, если (Ув е А) /(в) е А.
Теорема 4. Сегмент является парафунда-ментальным тогда и только тогда, когда он замкнут относительно всех монотонно возрастающих теоретике-множественно определимых функций.
А
/
для некоторого во е, А /(во) е А. Определим д (в) = тах{к /(к) & lt- в}.
Ясно, что g (s) & gt- t s & gt- f (t). Пусть
Xk
1
д{кУ
к e A.
и, если мы введем /(к = дт^(к), то, дополнительно привлекая неотрицательность членов последовательности, получим
Понятно, что ни одно число, кроме |, не может претендовать на роль предела этой последовательности. Но
|хк —1 & lt- - ^ д{к) & gt- в0 ^ к & gt- /(в0),
21 в0
к е А
Докажем достаточность. Заметим, что сегмент, замкнутый относительно любых возрастающих функций, является мультипликативным, а следовательно, и аддитивным. Теперь предпо-
А
довательность х не имеет предела. Изменяя при необходимости знак у всех ее членов и добавляя к ним некоторую постоянную, можно считать, что последовательность возрастает, и для некоторого т е, А справедливо 0 & lt- хя & lt- т, в е А. Используя лемму 2, получаем
(3° е А) (Ук е А) (Звк е А) хвк — хэ & gt- Т. О
Без ограничения общности можно считать, что (Ук е А) вк & gt- тах{к, вк-1}. Определим по индукции
д (0Цк) = вк, д (п+1) (к) = вд (п к.
Тогда по построению
(Уп е A xg (™+1) (к) — Xg (n (к) & gt-
md
f (k) & gt- Z_- (xg{n (k) — xg (n-vк) & gt- m'
n=l
/ к А
Тем самым построена монотонно возрастающая функция, относительно которой сегмент не замкнут. Полученное противоречие доказывает достаточность. Теорема доказана полностью.
Следствие. Любой парафундаментальный сегмент является фундаментальным.
Замечание 4. Доказанная теорема дает повод полагать, что парафундаментальных сегментов не так уж много. Но в [4] была построена теоретико-множественная операция /* (операция Аккермана), замкнутость относительно которой влечет замкнутость сегмента относительно любой операции из стандартной цепочки. С точки зрения [5] это позволяет считать, что все /*-замкнутые сегменты являются парафун-даментальными. Алгоритм построения таких сегментов, содержащих данный и расположенных достаточно близко к нему, подробно описан в [4]. Это дает нам возможность строить цепочки вложенных друг в друга гипердействитель-ных конструкций, каждая из которых содержит пределы монотонных ограниченных последовательностей своих элементов.
x
Литература
1. Дронов, С.В. О непосредственном распространении гипердействительных функций / С. В. Дронов // Известия АлтГУ. — 2007. -Ж.
2. Дронов, С.В. О четких продолжениях последовательностей / С. В. Дронов // Известия АлтГУ. — 1999, — № 1.
3. Дронов, С.В. К возможности движения эт-го-ризонта в AST / С. В. Дронов // Известия
АлтГУ. — 2005. — Ж.
4. Козлов, С.Д. О строении изотонного группоида на классе натуральных чисел в AST/ С. Д. Козлов, С. В. Дронов // Сиб. мат. журнал. — 1994. — № 3.
5. Флоренский, П.А. О типах возрастания / П. А. Флоренский // Богословский вестник. — 1906. — № 7/8.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой