Математическая управляемая модель криволинейного движения транспортно-погрузочного средства

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

& gt-- Аграрный вестник Урала № 11 (129), 2014 г. -«
Инженерия
УДК 917. 977. 8
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УПРАВЛЯЕМАЯ МОДЕЛЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТРАНСПОРТНО-ПОГРУЗОЧНОГО СРЕДСТВА
А. Н. КРАСОВСКИЙ,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, А. Г. ПАРАМОНОВ,
аспирант, Уральский государственный аграрный университет
(620 075, г. Екатеринбург, ул. К. Либкнехта, д. 42- тел.: 8 (343) 371-33-63)
Ключевые слова: криволинейное движение, математическая модель, управляющий момент, трехзвенный маятник, уравнение Лагранжа.
Рассматривается задача о моделировании управляемого криволинейного движения транспортно-погрузочного средства, состоящего из трактора с прицепом. В качестве расчетной схемы выбирается трехзвенная маятниковая система. При этом рассматривается такое криволинейное движениесистемы, при котором центр тяжести первого стержня (трактора) двигается по окружности. Определяются управляющие силовые моменты (пары сил) в цилиндрических шарнирах, соединяющих звенья системы, обеспечивающие устойчивое движение второго стержня (дышла) и третьего стержня (прицепа) вблизи рассматриваемой окружности. Для составления математической модели процесса используются уравнения Лагранжа второго рода. В соответствии с известной теорией достаточно сложные нелинейные дифференциальные уравнения линеаризуются и рассматриваются малые движения (колебания) системы. Так как рассматривается случай, когда центр тяжести трактора двигается по окружности с постоянной скоростью, то это определяет граничные условия для решения дифференциальных уравнений на фиксированном отрезке времени. В рассмотренном случае малых движений системы найденные управляющие моменты (пары сил) обеспечивает требуемое движение и исходной нелинейной управляемой системы, моделирующей трактора с прицепом. В рассматриваемой модели в качестве обобщенных координат, определяющих положение звеньев маятника, являются углы. В случае большого отрезка времени движения тракторного поезда по окружности этот отрезок разбивается на малые интервалы и конечное положение системы на одном отрезке является начальным положением система на следующем отрезке времени. Предлагаемая конструкция допускает эффективное компьютерное моделирование движения системы „трактор — дышло — прицеп“ в реальном масштабе времени. Похожая задача рассматривалась авторами в работах в упрощенной форме. Здесь приводится уточненная математическая модель рассматриваемого транспортно-погрузочного средства.
A. A. KRASOVSKII,
doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of department, A. G. PARAMONOV,
graduate student, Ural State Agricultural University
(42 K. Libknehta Str., 620 075, Ekaterinburg- tel: +7 (343) 371-33-63)
Keywords: curvilinear motion, mathematical model, control point, three-tier pendulum Lagrange equation. The problem of modeling managed curvilinear motion of transport and loading facilities, consisting of a tractor-trailer. As a three-tier design scheme chosen pendulum system. When this is considered a curvilinear motion of the system in which the center of gravity of the first shaft (tractor) is moving in a circle. Determined by the governing power points (a pair of forces) in cylindrical hinge connecting the parts of the system, providing stable movement of the second rod (drawbar) and the third bar (trailer) in the vicinity of the circle under consideration. To produce a mathematical model of the process used the Lagrange equations of the second kind. In accordance with the well-known theory rather complex nonlinear differential equations are linearized and are considered small movement (oscillation) of the system. Since we consider the case when the center of gravity of the tractor moves in a circle at a constant speed, it defines the boundary conditions for the solution of differential equations on a fixed time interval. For the case of small motions of the system found control points (a pair of forces) provides the desired motion and the original nonlinear control system, which simulates a tractor-trailer. In this model, as generalized coordinates to determine the position of the pendulum links are corners. In the case of a large amount of time tractor train traffic on this segment of the circle is divided into small intervals and the final position of the system on one segment is the initial position of the system at the next time interval. The proposed design allows for efficient computer simulation of the motion of the & quot-tractor — drawbar — trailef'- in real time. A similar problem was considered by the authors in a simplified form. Here is a refined mathematical model of the considered transport and loading facilities.
Положительная рецензия представлена С. А. Ляпцевым, доктором технических наук, заведующим кафедрой
Уральского государственного горного университета.
THE MATHEMATICAL MODEL OF A GUIDED CURVILINEAR MOTION TRANSPORTATION-LOADING EQUIPMENT
. — Аграрный вестник Урала № 11 (129), 2014 г. — & lt- C. ^CZr'-
Рассматривается криволинейное движение транс-портно-погрузочного средства, состоящего из трактора с прицепом (рис. 1).
При этом схема для такой системы имеет следующий вид сверху (рис. 2).
Тогда в качестве расчетной схемы выбирается трехзвеннаямаятниковая система, состоящая из трех стержней, соединенных цилиндрическими шарнирами, двигающаяся в горизонтальной плоскости (рис. 3).
Так как система двигается в горизонтальной плоскости на расчетной схеме (рис. 3) силы веса стержней (трактора, дышла и прицепа) отсутствуют.
При этом устойчивое движение второго стержня (дышла) и третьего стержня (прицепа) вблизи окружности радиуса R обеспечивается выбором подходящих управляющих моментов М1упр в цилиндрическом шарнире (в точке О), соединяющем первое звено (трактор) со вторым звеном (дышло), и М2ур в цилиндрическом шарнире (в точке О2), соединяющем второе звено (дышло) с третьим звеном (прицеп) (рис. 4). Рассматривается случай, когда центр тяжести трактора — точка С двигается по окружности заданного радиуса R с постоянной скоростью Утр. Для составления математической модели, то есть описания движения системы с помощью дифференциальных уравнений [2], используется основной аппарат моделирования движения механических систем с тем или иным количеством степеней свободы — уравнения Лагранжа второго рода [1, 2]. В рассматриваемом случае система имеет три степени свободы [1], поэтому в качестве обобщенных координат [1] выбираем три угла ф, и у2 (рис. 4).
Уравнения Лагранжа второго рода принимают
следующий вид:
dT ]_dT_ _ Q
кдфу
d_ dt
дТ



¦Т _ Q
ду i Qvi
d dt
дТ
дТ

ду 2 J дУ 2
_ Q.
где Т — кинетическая энергия [1, 2] системы, которая определяется через параметры трактора (первого стержня), дышла (второго стержня) и прицепа (третьего стержня) и имеет достаточно сложную
ф°рму. п п п
В уравнениях (1) — (3) и суть
обобщенные силы [1, 2], которые в рассматриваемом случае имеют вид
ПФ= 0, Ц,! = упр, О = М2упр. (4) Рассматривая малые колебания (движения) трех-звенной маятниковой системы (рис. 3), линеаризуем получаемые в процессе дифференцирования левых частей уравнений (1) — (3) достаточно сложные нелинейные дифференциальные уравнения движения известным методом [1] и приводим их к виду
Ф = 0, (5)
M,
У _
1 упр
13
— i 12
(6)
дышл дышл
M.
У i _
2 упр
13 12'-

l2
тел тел
(7)
где две точки над буквой обозначают вторые производные по времени.
Полученную систему дифференциальных уравнений (6) — (8), мы называем управляемой математической моделью криволинейного движения (в рассматриваемом случае — движения по окружности, заданного радиуса) трактора с прицепом, изображенного на рис. 1. При этом из уравнения (6) следует, что мы рассматриваем такой случай, когда центр тяжести Ст трактора двигается по окружности с постоянной скоростью vmp _ ю • R _ ф • R _ cons (ф _ 0).
Задаваясь начальными условиями
нач '- тнач'- У 1нач'- У 2нач'- Ф1 нач У 1нач У 2 нач (8)
интегрируем два раза дифференциальные уравнения (6) — (8) и получаем следующие законы движения системы
Ф (t) _ Фнач +ФnaJ& gt-
У 1 (t) 1 нач +V 1HJ +
У 1 (t) 1нач 1HJ +¦
M,
1 упр
13 24
-х t
1 2
тдышл дышл
M,
13 24
-х t
тдышл^дышл
на отрезке времени
i, _ 0 & lt- t & lt- t,.
(1)
(2)
(3)
(9) (10)
(11) (12)
Чтобы обеспечить устойчивое движение (следование) прицепа за трактором на малом отрезке времени (12) задаемся требуемыми (например, исключающим складывание, как «ножа», прицепа и трактора — третьего звена маятника с первым) граничными условиями в момент времени ^
Г кон
фкон, V 1 кон 2кон, Ф кон т нач 5 т 1кон 2кон. (13)
Вообще говоря, с содержательной точки зрения значения (13) нужно выбирать такими, чтобы и дышло и прицеп следовали вблизи заданной окружности, по которой двигается трактор (рис. 3).
Искомые управляющие моменты имеют следую-
щий вид:
m,. «» _
24 13
Лшшл (Ф1кон _Ф1нач _ф1нач (tкон _ tнач))
СtКОн _ tam)2
(Ф 2 кон _Ф2нач _ф2 нач (t кон _ t нач))
M _
24 13
дышл дышл
(14)
(15)
2упр 0™" - *нач)2 Можно проверить, что размерности моментов (14) и (15) — «сила умноженная на расстояние», например, в системе СИ: Ньютон на метр (Н х м).
Построенное управление в виде управляющих моментов (14) и (15) обеспечивает перемещение системы (5) — (7) из заданного начального (8) в требуемое конечное (13) положение за заданное время (12). При этом, в соответствии с принципом малых колебаний системы [1], найденные управляющие моменты (14) и (15) обеспечивает и указанное перемещение исходной нелинейной системы, получаемой в виде уравнений Лагранжа второго рода (1) — (3) без линеаризации последних.
Как видим, управление математической моделью системы «трактор — дышло — прицеп» осуществля-
m
д
2
-• - Аграрный вестник Урала № 11 (129), 2014 г. — * ^^^
Рисунок 1
Инженерия /
Рисунок 2
Рисунок 4
Авторы благодарят заведующего кафедрой эксплу-
Рисунок 3
ется постоянными моментами (14) и (15). При этом, если отрезок времени (12) достаточно велик, то его атации машинно-тракторного парка Уральского госу-следует разбить на достаточно малые интервалы. дарственного аграрного университета Ю. Н. Строганова за ценные советы по расчетной схеме решаемой задачи.
Литература
1. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. М.: Наука, 1980 и более поздние издания.
2. Красовский А. Н., Чой Е. С. Теоретическая механика: курс лекций. Екатеринбург: УрГАУ, 2014.
3. Ким А. В., Красовский А. Н. Математическое и компьютерное моделирование систем с последействием. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2010.
4. Красовский А. Н., Никаноров С. В., Парамонов А. Г. Основы программного управления линейными динамическими системами. Екатеринбург: УрГАУ, 2014.
5. Красовский А. Н., Парамонов А. Г. Упрощенная математическая управляемая модель криволинейного движения трактора с прицепом // Вестник Курганской ГСХА. 2013. № 4.
6. Красовский А. Н., Парамонов А. Г. Упрощенная математическая управляемая модель криволинейного движения транспортно-погрузочного средства // Аграрный вестник Урала. 2014. № 5 (123).
References
1. Buchholz N. N. Main course of theoretical mechanics. P. 2. M.: Science, 1980 and later editions.
2. Krasovskii A. N., Choi E. S. Theoretical mechanics: course of lectures. Ekaterinburg: UrSAU, 2014.
3. Kim A. V., Krasovskii A. N. Mathematical and computer modeling of systems with aftereffect. Ekaterinburg: Ural State Technical University, 2010.
4. Krasovskii A. N., Nikanor S. V., Paramonov A. G. Basics program control linear dynamic systems. Ekaterinburg: UrSAU, 2014.
5. Krasovskii A. N., Paramonov A. G. Simplified mathematical model of controlled curvilinear motion of the tractor-trailer // Herald of Kurgan State Agricultural Academy. 2013. № 4.
6. Krasovskii A. N., Paramonov A. G. Simplified mathematical model of curvilinear motion-controlled transport and loading facilities // Agrarian Bulletin of the Urals. 2014. № 5 (123).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой