О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 925
ББК 22. 161. 6
Р 65
Ройтенберг В. Ш.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: vroitenberg@mail. ru
О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре
(Рецензирована)
Аннотация. Описаны связные компоненты и классы топологической эквивалентности множества полиномиальных векторных полей степени & lt- n, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре.
Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, проективная плоскость, сфера Пуанкаре, грубость, связные компоненты.
Roytenberg V. Sh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: vroitenberg@mail. ru
On connected components of the set of polynomial vector fields, structurally stable in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere
The paper examines connected components and classes of topological equivalence of the set of planar polynomial vector fields of degree & lt- n, which are structurally stable in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere.
Keywords: polynomial vector fields, projective plane, Poincare sphere, structural stability, connected components.
1. Введение
Давно известно описание множества Z° грубых векторных полей на ориентируемых замкнутых двумерных многообразиях [1] и классов топологической эквивалентности таких векторных полей [2]. Изучались также связные компоненты [3, 4]. Фазовые портреты полиномиальных векторных полей, заданных на плоскости R2, естественно рассматривать на компактификации R2 в виде проективной плоскости RP2 -сфере Пуанкаре векторного поля. Хороший обзор результатов изучения полиномиальных векторных полей имеется в книге [5]. Необходимые и достаточные условия грубости в RP2 полиномиальных векторных полей степени & lt- n к настоящему времени неизвестны. В работе [6], однако, доказано, что в пространстве всех полиномиальных векторных полей степени & lt- n векторные поля, грубые в RP2, всюду плотны. В связи с имеющимися трудностями представляется естественным изучить множество 2°Pn полиномиальных векторных полей степени & lt- n, грубых в окрестности экватора проективной плоскости. В работе автора [7] получены необходимые и достаточные условия грубости. В настоящей работе будут описаны классы топологической эквивалентности и связные компоненты множества 2°Pn.
Далее будем пользоваться, по большей части без специального упоминания, обозначениями и терминологией работ [6, 7].
2. Определения. Формулировка результатов
На плоскости R2 рассмотрим полиномиальное векторное поле
X (х, y) = P (х, y) д / & amp- + Q (х, y) д / 5х,
где
Р (Х'- У) = Е 1=0 Рт (X, У), Рт (X, У) = Е 1=0 *к, т-**У,
в (*& gt- У) = Е 1=о в" (х, у), & lt-2т (х, у) = Е 1=о ьк, т-кхкут-к.
Векторное поле X естественно отождествляется с арифметическим вектором (а00,Ь00,а10,а01,…, Ъп0,…, Ь0п) е к (п+1)(п+2), а множество Рп всех полиномиальных векторных полей степени & lt- п с пространством Я (п+1)(п+2) с евклидовой нормой || • ||.
Определение 1. Пусть V и V — некоторые окрестности экватора Е. Фазовые портреты векторного поля X е Рп в V и векторного поля X е Рп в V топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм к: V ^ V, к (Е) = Е, переводящий траектории поля X в V в траектории поля X, сохраняющий ориентацию на траекториях, принадлежащих Я2.
Определение 2. Векторные поля X е Рп и X е Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора, если существуют такие окрестности V и V экватора, что фазовые портреты векторного поля X е Рп в V и векторного поля X е Рп в V топологически эквивалентны.
Определение 3. Векторное поле X е Рп — грубое в окрестности экватора Е, если существует такая его окрестность и (X) в Рп и такая окрестность V экватора, что фазовый портрет любого векторного поля X е и (X) в V топологически эквивалентен фазовому портрету векторного поля X в V.
Обозначим Е°Рп — множество векторных полей из Рп со следующими свойствами:
1) если на экваторе есть особые точки, то все они являются гиперболическими- 2) если экватор является замкнутой траекторией, то она является гиперболической.
В работе [7] доказана
Теорема 1. 1. Векторное поле из Рп является грубым в окрестности экватора тогда и только когда, когда оно принадлежит Е°Рп.
2. Множество Е0Рп открыто и всюду плотно в Рп.
Для описания связных компонент и классов топологической эквивалентности множества Е0Рп понадобится ряд обозначений.
Для нечетного п = 2к -1 обозначим Тп множество упорядоченных наборов Т = (Т1,т2,…, т2т), где т = 2 г, 1 & lt- г & lt- к, т = (тт), тп, тг2 е{-1,1}, г = 1,2…, 2 т, удовлетворяющих условиям
Т +11 = Тг1, (1)
Т = (т, Т2,…, Т2(п+1)) ёТп, если тт2 =-1 при всех г = 1,2…, 2(п +1), (2)
и таких, что при 1 & lt- г & lt- т +т =.
Для четного п = 2к обозначим Тп множество упорядоченных наборов
т= (т1,т2,…, т2 т), где т = 2 Г — 1, 1 & lt- Г & lt- к + 1, Т = (Тг1,Тг 2^ Тг1, Тг 2 е{-1,1}, г = 1,2…, 2 т ,
удовлетворяющих условиям (1) и (2), и таких, что при 1 & lt- г & lt- т т+т = -тг.
На множестве Тп введем отношение эквивалентности Набор
Т = (т[, т'-2,…, т'-2т) еТп эквивалентен набору Т = (т1,т2,…, т2т) еТп: Т ~ Г, если он получается из Т циклическим сдвигом, то есть для некоторого р е{1,…, т} тТ = г1+(- + _Г)той2т, г = 1,…, 2 т. Соответствующий класс эквивалентности будем обозначать т = [Г]. Пусть
Т := Т /~.
п п
Нам будет удобно, как и в [6], рассматривать «продолжение» поля X е Е°Рп не только на проективную плоскость ЯР2 — сферу Пуанкаре, но и на круг Пуанкаре К.
Пусть е° - особая точка поля X е Е°Рп, принадлежащая экватору круга Пуанкаре
К и карте и2 (Ц2), где ее {+, -}. Пусть (и°,°) ((v°,°)) — ее координаты. Тогда ^(и°) = ° (Я& gt-(у°) = °), где Щи): =-иРп (1,и) + & lt-2п (1,и) ((v, 1) + Рп (v, 1)). Матрица линейной части поля Хце (Хце) в точке е° имеет ненулевые собственные значения Я^?=аК1(и°) и А? е = -арп (и°, 1) (Л2е=^^2(и°) и Ле=-а& lt-2п (u°, 1)), где, а =1 при е = + и, а = (-1)п-1 при е = -. Если е° е Ц2 п ие2, то Л2 = ЛЛ2е (] = 1,2). Поэтому для любой особой точки е°, лежащей на экваторе, однозначно определена упорядоченная пара чиселп ЛЛе, ЛЛ2), где г = 1,2 и е е {+, -} выбраны так, что е° е и2. Эту пару будем называть типом особой точки е°.
Пусть Т = (т1,т2,…, т2 т) еТ п. Рассмотрим множество векторных полей из Е°Рп, имеющих на экваторе круга Пуанкаре 2 т особых точек е1, е2,…, е2т, пронумерованных в циклическом порядке, задаваемым на экваторе направлением убывания координаты и так, что т — тип точки ег, г = 1,2…, 2 т. Ясно, что оно не изменится, если набор Т
заменить на эквивалентный. Следовательно, это множество можно обозначить Е°Рп, где т = [Т]. Ниже докажем, что Е°ТРп ^ 0 для любого т = [т ] еТп.
Для Г = (т1,т2,…, т2 т) е Т «обозначим Т := (т1, Т2 ,…, т2*т) е Тп, ^ Т = т2 т-г+1. Если
т'- ~ т 2, то (Г1)* ~ (Г2)*. Поэтому можно определить отображение Тп э [Т] ^ [Г]* е Тп, положив [Г]* = [Г* ]. При некоторых т е Тп множества Е°ТРп и ЕТ, Рп могут совпадать.
Пусть п нечетно. Тогда определено множество Е°, гРп (Рп) векторных полей из Рп, имеющих экватор в качестве устойчивой замкнутой траектории, на которой ориентация, заданная векторным полем, совпадает (противоположна) ориентации, индуцированной из Я2. Заменяя здесь слово „устойчивой“ на слово „неустойчивой“, получим определения множеств Е°игРп и Е°и!Рп.
Сформулируем результаты статьи.
Теорема 2. 1 При нечетном п множества Ъ ([г Рп, Рп, Кг Рп, Е°и1 Рп, ЕТРп, тетп,
и только они являются связными компонентами множества Е°Рп.
При четном п множества Е0ТРп, т е Тп, и только они являются связными компонентами множества Е°Рп.
2. Векторные поля X и X из Е°Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора тогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному из множеств Е° Р Р, Е° Р ^Е°, Р или Е0Р, Р, т еТ.
яг п п '- иг п и1 п Т п п'-п
3. Доказательство теоремы 2
Лемма 1. Для любого т еТп множество Е0тРп не пусто.
Доказательство. Пусть т = [т], где т = (т1,т2,…, т2т).
Рассмотрим сначала случай т1 = (1,1). Зададим числа и1 & gt- и2 & gt- … & gt- ит. Пусть
Б (и) := ё0 + ё^и +… + ёпип + ип+1 := ё (и)(и -и1)… (и -ит),
где ё (и) = 1 при т = п +1 и ё (и) = ып-т+1 +1 при т & lt- п +1. Можем выбрать последовательность натуральных чисел и'- & gt- и'-2& gt- … & gt- и'-п, не совпадающих с числами из последовательности и1, и2,…, и2т, так, чтобы и'-& lt-и1, а между числами иг и иг+1 (г = 1,…, т-1) было ровно одно число из этой последовательности, если тi+12 = -тi2, и не было ни одного числа, если т{+12 = т{2. Пусть
С (и) := с0 + с1и +… + сп-1ип-1 + ип := (и — и1'-)… (и — и'-п).
Рассмотрим векторное поле X = Рп (х, у) д / дх + Qn (х, у) д / ду, где Рп (х, у) = -0хп — С1 хп-1 у -… — Сп-1 хуп 1 -уп, Q» (х, у) = ёхп + (ё — С0) хп-1 у +… + (ёп-1 — Сп-2)хуп-1 + (ёп — Сп-1)уп.
Бесконечно удаленные особые точки поля X лежат в картах и1± и имеют координаты, являющиеся нулями многочлена ^(и). В рассматриваемом случае ^(и) = Б (и). Так как п-т +1 четно, то нулями ^(и) являются числа иг, г = 1,…, т. Ясно, что R2(ui) = (-1)г-1 = тг1. Учитывая, что -Рп (1, и) = С (и), индукцией по г получаем 8§ и (-Рп (1, ui)) = т2. Отсюда следует, что X е Е0тРп.
При т = (1,-1) построение поля X е 2ТРп аналогично, только берем и'- & gt- и1 и учитываем условие (2).
Если т1 = (-1,0) или т = (-1,-1), то, по доказанному выше, существует X еЕ0_т]Рп и тогда -X еЕт^.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для любого т еТп множество Е0тРп связно.
Пусть т = [т ], т= (т1,т2,…, т2т). Рассмотрим сначала случаи т1 = (1,1) и
т = (1,-1).
Пусть векторное поле X еЕ°тРп, т = [т ], и е1, е2,…, е2т — последовательность особых точек, фигурирующая в определении ЕтРп. Будем говорить, что векторное поле X еЕ0тРп, т = [т], правильно соответствует т, если точки ei, г = 1,2…, т, лежат в карте и+. Пусть и1 & gt- и2 & gt- … & gt- ит — координаты этих точек, а и'- & gt- … & gt- и'- - действительные нули многочлена Рп (1,и). Так как X е Е0Рп, то числа ui, г = 1,2…, т, не совпадают с числами и2, ] = 1,2…, I. Будем говорить, что векторное поле X еЕТРп, т = [т], стандартно соответствует т, если оно правильно соответствует т, и1 & gt- и'- при т1 = (1,1) и и1 & lt- и'- при т = (1,-1), и если Рп (1, ui) и Рп (1, иг+1) одного знака (это равносильно тому, что т2т+12 = 1), то между ui и иг+1 нет нулей Рп (1, и), а если Рп (1, ui) и Рп (1, иг+1) разных
знаков, то между и{ и и{+1 находится единственный нуль.
Для доказательства связности Е0тРп достаточно доказать следующие утверждения.
1) Любое векторное поле из Е0тРп можно соединить путем в Е0тРп с векторным
полем, правильно соответствующим т.
2) Любое векторное поле, правильно соответствующее т, можно соединить путем в Е0тРп с векторным полем, стандартно соответствующим т.
3) Любые два векторные поля, стандартно соответствующие т, можно соединить путем в Е0тРп.
Докажем сначала утверждение 1). Все бесконечно удаленные особые точки векторного поля X е Е0тРп лежат в картах и± на К тогда и только тогда, когда коэффициент а0п ^ 0. Множество Е0тРп открыто, и потому любое поле из Е0тРп можно соединить путем в Е0тРп с полем, у которого все бесконечно удаленные особые точки лежат в картах и±. Поэтому утверждение 1) достаточно доказать для векторного поля X е Е0тРп, т = [т], у которого все бесконечно удаленные особые точки лежат в картах и±. Пусть е1, е2,…, е2т — последовательность бесконечно удаленных особых точек поля X, фигурирующая в определении X, как поля из Е0тРп. Предположим, что в карте и1+ лежат точки ег = (иг, 0), г = 1,…, г, и е]+т = (и}, 0), ] = г +1,…, т, где
иг+1 & gt- … & gt- ит & gt- и1 & gt-… >- иг. Пусть (р1 = агС? и1, ф е (агС?иг+1, ж/22), а Т& quot-: Я2 ^ Я2 —
поворот на угол 0* = *(ф — ф1):
Т (х, у) = (хсо$ 9* + у бш^, -хбш^ + у совв*).
Отображение Т индуцирует диффеоморфизм Т*: ЯР2 ^ ЯР2, Т* (Е) = Е. Векторное поле X* е Рп, задаваемое равенством X* (х, у) := TX (Т 1 (х, у)), принадлежит Е0тРп, при этом X0 = X, а X1 правильно соответствует т. Для X1 последовательностью особых точек, фигурирующей в определении Е0тРп, является е] = Т 1(е1),…, е2т = Т 1(е2т). Точки е^,…, е1т лежат в карте и1+ и имеют координаты и1 & gt- … & gt- ит, где и1 = tg (фi + #,). Таким образом, [0,1] э * ^ X* - путь в Е0тРп, соединяющий поле X е Е0тРп с полем X1, правильно соответствующим т.
Докажем утверждение 2). Пусть X — векторное поле, правильно соответствующее т. Многочлены Я1 (и) и Рп (1, и), соответствующие полю X, можем представить в
виде Я1 (и) = ё0 + ё1и +… + ёпип + ёп+1ип+1 = ё (и)(и — и1)… (и — ит) и
Рп (1,и) = -с (и)(и-и[)п1… (и-и'-)п, где многочлены ё (и) и с (и) положительны, причем
их коэффициенты при старших степенях совпадают.
Пусть и'-…, и2 — нули Рп (1,и), лежащие между ui и им, г = 0,1,…, т (считаем
и0 =+оо, ит+1 = -00), рг 1,…, ргг — их кратности, рг = рг1 +… + р гг. Положим
а) 8г1 (и):= (и — и21) р 1. (и — и2г) р = ир + (и), ёг2(и) = ^ если рг четно-
б) ёгМ):= (и — игу* -1(и — и22) р2… (и — и'-]г)ргг = ир-1 + (и), & amp-2(и):= и — и2 если рг нечетно-
в) gi1(u) := gi2(и) := 1, если Рп (1, и) не имеет нулей, лежащих между иг и иг+1.
Запишем Рп (1, и) в виде Рп (1, и) = -с (и)g°1(u)g°2(u) — gт1 (и)gm2(и). Обозначим
gsil (и):= иРг + (1 — я) gi1(u) + я, в случае а), g*1 (и) := иРг-1 + (1 — я)(и) + я в случае б) и g*1(u):= 1 в случае в). Многочлен С (и) := с (и) ^(и) g12(u)••• gsm 1(и) gm 2(и) можем представить в виде С*(и) := с° + с*и +… + с*-1ип-1 + с& quot-пип, где с& quot-п = ёп+1. Рассмотрим векторное поле Xя = Р*(х, у) д/дх + О*(х, у) д/су, я е[°, 1], где
Р* (х, у) =? Р (х, у), О* (х, у) =? О* (х, у), (3)
Р (х, у) = Р] (х, у), О*(х, у) = О]. (х, у) при ] = °, 1,…, п-1, (4)
Р (х, у) = -с°*хп — с*хп-1 у -… — & lt--1 хуп-1 — с*уп, (5)
О (х, у) = ё° хп + Ц — с°*) хп-1у +… + (ёп1 — сп-2) хуп-1 + (ёп — п уп. (6)
Ясно, что поле X1 стандартно соответствует Т. Так как у поля X* при всех * е [°, 1] многочлен Я^и) тот же, что и для поля X° = X, а gsi1(ui) & gt- °, gsi1(ui+1) & gt- °, то V* е [°, 1] X* е Е°ТРп. Таким образом, [°, 1] э * ^ X* - путь в Е°ТРп, соединяющий поле
X, правильно соответствующее Т с полем X1, стандартно соответствующим Т.
Докажем 3). Пусть X и X — векторные поля, стандартно соответствующие Т. Многочлены Я^и) и Рп (1, и), соответствующие полю X, можем представить в виде Я1(и) = ё (и)(и — и1)… (и — ит) и Рп (1, и) = -с (и)(и — и[)… (и — и'-), где многочлены ё (и) и с (и) положительны, причем их коэффициенты при старших степенях совпадают (они равны -а°п). Для X все обозначения, введенные для X, будем сопровождать тильдой сверху. Многочлены Рп (1,и) и Рп (1,и) имеют одинаковое число нулей и для их нулей с одинаковыми номерами и'-. е (иг+1, ui) о ие (им, иг). Обозначим
и* := (1 — s) ui + *йi, и'- := (1 — *)и'- + *и'-. ё* (и) := (1 — *)ё (и) + *ё (и), с* (и) := (1 — *)с (и) + *с (и), Б* (и) := ё°* + ё*и +… + ё*ёп + ё6п+1ип+1 := ё* (и)(и — и& quot-)… (и — и6т), С* (и) := с°* + с& quot-и +… + & lt- 1ип1 + су := с* (и)(и — и[*)… (и — и'-*), * е [°, 1].
Рассмотрим векторное поле X* = Р* (х, у) д / дх + О* (х, у) д / ду, * е [°, 1], определяемое формулами (3)-(6), с тем отличием, что числа di надо заменить на ё*. Учитывая, что ё* (и) & gt- °, с* (и) & gt- °, ё*+1 = сп, получаем Я* (и) = Б* (и), — Р* (1, и) = С* (и). Ясно, что V* е [°, 1] X* е Е°ТРп. Так как X° = X, а X1 = X, то [°, 1] э * ^ X* - путь в Е°ТРп, соединяющий X и X.
Отображение X ^ -X переводит Е°Г]Рп в Е°-Г]Рп. Поэтому случаи т1 = (-1,1) и Т = (-1,-1) сводятся к случаям т1 = (1,1) и т1 = (1,-1).
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Множества Е°*гРп, Е*Рп, Е°игРп и Е°и1 Рп не пусты и связны.
Доказательство. Для векторного поля X = Рд / дх + Од / ду е Рп обозначим А ($) = Рп (СОБ^, + Оп (СОБ^, $пф)$пф,
B (p) = -Pn (cos p, sin p) sin p + Qn (cos p, sin p) cos p,
Если экватор — замкнутая траектория, то VpE[0,2 л] B (p) ^ 0. При B (p) & gt- 0 (B (p) & lt- 0) ориентация, заданная на экваторе векторным полем, совпадает (противоположна) ориентации, индуцированной из R2. Согласно [6, 7], экватор устойчив (неустойчив), если величина
h (X)=-j Bp dp 0 B (p)
отрицательна (положительна).
Пусть n = 2m +1. Введем векторные поля
Y = x (x2 + y2) mд/dx + y (x2 + y2) mд/, Z = -y (x2 + y2) m5/dx + x (x2 + y2) m5/dy. Для поля Y + Z функции A (p) = 1, B (p) = 1, и потому h (Y + Z) = -л & lt- 0 и Y + Z e Pn. Аналогично, -Y + Z e Е0игPn, Y — Z e E0, Pn и -Y — Z e E^Pn.
Для доказательства связности E0srPn достаточно показать, что произвольное векторное поле X e E0srPn можно соединить в E0srPn путем с полем Y + Z. Выберем число Д & gt- max | A (p) |. Для поля X + дY, д е [0, Д], функция B (p) та же, что и для поля X.
pE[0^]
Поэтому
Vи е [0, Д] h (X + ?YY) = -?App) dp = -)-Д-dp + h (X) & lt- 0,
0 B (p) o B (p)
и [0,1] э О i-& gt- X + 6? Y — путь в E0srPn, соединяющий поля X и X + ДY. Для поля X + ?Y + vZ, V е (0,1], величина B (p) изменится на положительное слагаемое v. Отсюда и из неравенства Д & gt- max | A (p) | получаем, что при всех p е [0, л] Д + A (p) & gt- 0.
pe[0^] v + B (p)
Поэтому h (X + ?Y + vZ) = -)Д + A (p) dp & lt- 0 и [0,1] э v — X + ДY + vZ — путь в
0 v + B (p)
E0srPn, соединяющий поля X + ДY и X + ДY + Z.
Так как при всех p е [0, л] и, А е [0,1] ?? + (1-А)A (p) & gt- 0, то
1 + (1 — А) B (p)
h{XX + ДУ + Z) = -ГД + ДА (р) dp& lt- 0 и [0,1] эДв (1 -X)X + ДУ + Z — путь в Е0Р, со-01+XB (p)
единяющий поля X + /7 + Z и /7 + Z. Ясно, что поля /7 + Z и 7 + Z также можно соединить путем в Е0*гРп. В итоге получаем, что X е Е*гРп можно соединить в Е*гРп путем с полем 7 + Z, то есть Е0""Рп связно.
Аналогично доказывается связность Е^Рп, Е0игРп и Е0и1 Рп. Лемма 3 доказана.
Для любого векторного поля X е Е0Рп, имеющего бесконечно удаленные особые точки, последовательность т = (т1, т2,…, т2 т) их типов очевидно удовлетворяет условию (1). Условие (2) также выполняется. Действительно, в противном случае Рп (1, и) меняло бы знак п +1 раз, что невозможно. Таким образом, X е Е0Рп при некотором т еТп. От-
сюда и из лемм 1−3 следует утверждение 1 теоремы.
Рассмотрим отображение Т: Я2 ^ Я2, Т (х, у) = (-х, у). Оно индуцирует диффеоморфизм Т: К ^ К, переводящий траектории поля X е Е°Рп (соответственно, X е Е°гРп и X е Е°гРп) в К в траектории поля X* е Е°, Рп (соответственно, X* е Е° Рп и X еЕ°Рп) в К, где X* (х, у) = TX (Т-1(х, у)). В силу связности множества Е°Рп (соот-
ветственно, Е*г Рп и Е°г Рп) любые два векторных поля, ему принадлежащие, топологически эквивалентны в окрестности экватора. Поэтому топологически эквивалентны в окрестности экватора и любые два векторных поля из Е°ТРп ^ЕТ" Рп (соответственно, из
Е°*гРп ^Е*Рп и Е0игРпЕ0и1 Рп). Ясно, что если поля X и X из Е°Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора, то для соответствующих последовательностей типов Т и Т либо [Т ] = [Г], либо [Т ] = [Г]*. Получили утверждение 2 теоремы.
Примечания:
1. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, No. 2. P. 101−120.
2. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems. Academic Press, 1973. P. 389−419.
3. Gutierrez C., Melo W. The connected components of Morse-Smale vector fields on two-manifolds // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1977. Vol. 597. P. 230−251.
4. Ройтенберг В. Ш. О связных компонентах множества векторных полей Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. С. 352−358.
5. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы. Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. 326 с.
6. Ройтенберг В. Ш. О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 13−21. URL: http: //vestnik. adygnet. ru
7. Ройтенберг В. Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. 2014. Т. 20, № 7. С. 15−18.
References:
1. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, No. 2. P. 101−120.
2. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems. Academic Press, 1973. P. 389−419.
3. Gutierrez C., Melo W. The connected components of Morse-Smale vector fields on two-manifolds // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1977. Vol. 597. P. 230−251.
4. Roytenberg V. Sh. On connected components of multiplicity of Morse-Smale vector fields on two-dimensional manifolds // Proceedings of the Second Kolmogorov Readings. Yaroslavl: YaSPU Publishing House, 2004. P. 352−358.
5. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Polynomial vector fields on the plane. Selected issues. Maikop: AGU Publishing House, 2012. 326 pp.
6. Roytenberg V. Sh. On generic polynomial vector fields on a plane // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 13−21. URL: http: //vestnik. adygnet. ru
7. Roytenberg V. Sh. Structural stability of polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of Poincare sphere // The Bulletin of Nekrasov Kostroma State University. 2014. Vol. 20, No. 7. P. 15−18.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой