Математическое моделирование дифракции волны давления на упругом включении в упругой матрице

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 532. 593
А.П. ГОРОВЕНКО
1нститут геофiзики НАН У
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФРАКЦП ХВИЛ1 ТИСКУ НА ПРУЖНОМУ ВКЛЮЧЕНН1 В ПРУЖН1Й МАТРИЦ1
Отримано розв'-язок задач! дифракцИ хвилг тиску в виглядг ряд1 В за сферичними функщями та полтомами Лежандра. Розраховано амплгтуди дифрагованих хвиль для р! зних пружних матергалгв включення i матриц!
Ключовi слова: дифракця хвилi, ряди за сферичними функц! ями.
А.П. ГОРОВЕНКО.
Институт геофизики НАН У
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ НА УПРУГОМ
ВКЛЮЧЕНИИ В УПРУГОЙ МАТРИЦЕ
Получено решение задачи дифракции волны давления в виде рядов по сферическим функциям и полиномам Лежандра. Рассчитаны амплитуды дифрагированных волн для различных упругих материалов включения и матрицы.
Ключевые слова: дифракция волны, ряды по сферическим функциям.
A.P. GOROVENKO
Instityt geophysical Acad. Science of Ukraine
THE MATHEMATICAL MODELING AT DIFFRACTION WAVE A PRESSURE ON ELASTIC
INCLUSION IN ELACTIC MATRIX
The solution of the problem of pressure wave diffraction as rows of spherical functions and Legendre polynomials is obtained. Amplitudes of diffracted waves for different elastic materials of inclusion and matrix are calculated.
Keywords: wave diffraction, rows of spherical functions.
Постановка проблеми
Дифракщя xbrai тиску на пружному включенш в пружнш матриц мае важливе наукове та прикладне значення, зокрема в материалознавст та для ряду задач геофiзики.
Ah^ii останшх дослщжень та публжацш
Дослвдженню явища дифракцп хвил1 на включенш в пружному середовищi присвячено ряд робгг, зокрема,[1]-[4]- отримаш результати вщносяться, як правило, до далеко1 зони i вiдрiзняються мiж собою, що потребуе подальших дослвджень.
Формулювання цШ дослвдження
Виконати комп'-ютерш розрахунки амплiтуди дифраговано1 хвилi тиску в залежносп ввд частоти хвил! Дослiдження провести в широкому дiапазонi значень густин та швидкостей хвиль в рiзних пружних середовищах включення та матрицц розглянути хвилi у включенш в ближнш та далекш зонах.
Виклад основного матерiалу дослщження
Отже, нехай на сферу радусом a, розташовану в пружному середовищi набiгае плоска акустична
хвиля тиску ~i = p exp (ikir cos д + at), де r, д — координати точки, вщраховаш ввд центра сфери.
Зпдно з теоремою Гельмгольца перемщення u може бути записане у виглядi суми скалярно1 та векторно1 функцiй
u = -УФ + Vxa, (1)
де Ф — скалярний потенцiал, a — векторний потеншал.
Скалярний потенцiал Ф пов'-язують з поздовжшми хвилями тиску, а векторний потеншал a використовують при розглядi поперечних хвиль зсуву.
Векторний потеншал a може бути представлений через скалярш функци х (потенцiали Дебая)
В = VxГ% + Ух (Ух 7%). Скалярт функцп Ф, %, % задовольняють скалярним р1внянням Гельмгольца
(2)
V2 +
(^ Р & quot-
к2
(ф1%
Х
= 0
(р — хвиля1
5 — хвиля
V t- хвиля J
(3)
де постшш розповсюдження kp = 1^р, К$, це хвильов! числа для поздовжньо! та поперечно!
хвиль, ввдповщно. Швидкосп розповсюдження хвиль Vp2 = (Л + 2ц)/р, VS = и/Р, де Л, ц — параметри Ляме, р — густина.
Введемо позначення: i — падаюча хвиля, Б — розс! яна хвиля, f — хвиля всередиш пори. Зовшшня хвиля тиску, яка падае на включения може бути записана в сферичнш систем! координат у вигляд1
Ф* = Ё (- *Т (2т + } (V^ (ОС8 0) —
(4)
т=0% = 0,
де }т (х) — сферична функщя Бесселя, Ут (со8 $) — полшоми Лежандра.
На неоднорадносп (включенш) мае мюце трансформащя поздовжньо! р-хвил! в поперечну Б -хвилю. В матриц! будуть р та Б хвил! з потенц! алами
(Ф 5 1 ?(АтИт (^Г)
= Х
%
Vх5 У т=0
тт V Вт Ит (К1Г),
Ym (СО80),
(5)
,(2)
де Ит'- (х) — сферична функщя Ганкеля другого роду,
№ (х)= }т (х) — (х),
де }т (х) — сферична функщя Бесселя, Ыт (х) — сферична функщя Неймана. Всередиш включення хвиля тиску мае потенщал
(6)
Ф f = X Ст}т (k2 Г^т (соЭ
т=0
Завдяки трансформаци хвил! тиску на неоднор! дност! в пружному включенн! !снуе хвиля зсуву
(7)
%Г = X®т]т (К2г)Ут (сО8 0& gt-
т=0
(8)
Коеф! ц!енти розвинення в ряди Ат, Вт, Ст От визначаються з граничних умов на поверхш
включення (г = а). Наведемо граничш умови для г = а 1. Неперервшсть перемщень
иГ1 = ^Г2^, тобто ПГ1 + иГ5 = Ыгу-,
(9)
(1) (2) A u f = u f, тобто uf + ufs = uf
2. Hепеpеpвнiсть компонент тензоpa нaпpyжень
T® = тГ2), тобто Tri + Trs = Tf.
(1) (2) Tf =Tf. тобто Tf +Tfs =Tff.
(10)
(11)
(12)
Викоpистовyючи piвняння теоpiiужноси тa piвняння (4)-(12) знaйдемо u^, urs, uf, uf, ufs, u^, Tr?, Trs, Tf, Tf, Tf, Tff, пiдстaвимо цi величини в rpaничнi умови i
визгачимо коефiцieнти pозклaдy в pяди Am, Bm, Cm, Dm.
Аpгyментом дослiджyвaниx функцш бyлa величинa ka, де к — xвильове число, a — pадiyс включення. Величинa k доpiвнюe 2nv / Vp, де v — чaстотa в Гц, Vp — швидк1сть xвилi тиску в сеpедовищi.
Чaстотa v доpiвнюe Av • i, де Avок по чaстотi, i — цше число ввд 1 до imax. Введемо позгачення
v * = v / Av, дaлi по оа aбсцис буде величинa v *. По ос оpдинaт ноpмовaнa aмплiтyднa фyнкцiя — f / a. Дaлi pозглянемо двa випaдки коли пapaметpи мaтpицi бiльшi вiд пapaметpiв включення i нaвпaки.
|Д/в|
3. S-, 3,0 -2,52,01,51,00,5 -0. 0-
0 5000 10 000 15 000 20 000 г
Рис. 1.. '-liH^iPiioiiaiia хвиля тиску в дaлeкiй зонi, мaтpиця aлюмiнiй, включення епоксид, a = 0,01.
[/& gt- I
0. I
4−1-'--1−1-1-'--1-'--v*
О 5D0D 10 000 150D0 IOODO
Рис. 2. Дaлeкa зога, зaлeжнicть aмплiтудноi функцп вiд чacтоти, мaтpиця епоксид, включення aлюмiнiй, a =0,01
1/& gt-1
О ЛИ 1
0. 350. 30-<-1. 25 -0. 20 О 15 0. 10 -о. аа о. оо-
¦0. 05
О 5™ 10 000 15 000 йгёоо
Рис. 3. Далека зона, залежшсть ампл1тудно'-1 функцп в1д частоти, матриця вапняк, включення гран1т, а =0,01.
НГ-
5000 10 000 15 000 20 000 V
Рис. 4. Залежшсть ампл1тудно'-1 функцц в1д частоти, матриця гран1т, включення вапняк, а =0,01.
Рис. 5. Резонансна повед1нка гармошки т = 0 хвил тиску в матрищ, матриця алюм1н1й, включення епоксид.
Висновки
1. Розглянуто точний розв'-язок задач! дифракци хвил тиску пружним включениям в пружнш матриц! Розв'-язок представлений вщповщними рядами по сферичним функц1ям Бесселя, Неймана, Ганкеля, полшомам Лежандра. Розроблений алгоритм та створена програма для комп'-ютерних розрахунк1 В амплпуди дифраговано! хвил1 в залежносп ввд частоти хвил1 для р1зних пружних середовищ.
2. Внаслвдок трансформаци на включенш хвил тиску в хвилю зсуву, в матриц та в включенш юнують хвил тиску та хвил1 зсуву.
3. Для прикладних задач геоф1зики та матер1алознавства виконаш розрахунки амплпуд дифрагованих хвиль для р1зних пружних середовищ: грашг, вапняк, сталь, алюмшш, епоксид. Форма та амплиуда дифрагованих хвиль тиску в матрищ суттево залежать в! д пружних властивостей матрищ та включення. Для матриць з великими значенннями густин та швидкостей, в пор1внянн1 1з значеннями цих величин у включенш, мае мюце складна залежшсть амплггудно! функцп в1д частоти з багатьма вузькими шками. I навпаки, коли параметри матриц мал! пор1вняно з включенням, мае мюце дек1лька широких шив. Гармошки дифраговано! хвил1 тиску мають резонансну поведшку. Резонанси вузьш для матриц з великими значеннями ф1зичних параметр1 В, i навпаки, мають мюце широк! резонанси для матрищ з малими значеннями параметр! в пор! вняно з параметрами включення. Для хвил зсуву в матриц! характерш висок! значення амплпуди в обласп низьких частот. Гармошки хвиль зсуву мають резонансну поведшку в залежносп вщ частоти, резонанси вузьш, або широк!, в залежносп в! д того, б! льш! чи менш! параметри матриц! по вщношенню до параметр! в включення.
4. Розподш амплиуд хвиль тиску та зсуву у включенш мае неоднорщний характер в залежносп в! д рад! ально! координати r. По форм! резонанси хвиль тиску та зсуву у включенш для r~ а близью до форми резонанав в матриц! Частота вщповщних резонанав в матриц! та в включенш однакова. У включенш амплпуда резонанав вища вщ амплпуди вщповвдних резонанс! в в матриц!
Список використаноТ лггератури
1. Olen M. A Scattering of compressional waves by a rigid spheroidal inclusion / M.A. Olen, Y.H. Pao // J. Appl. Mech. — 1973. — V. 40.- PP. 1073−1077.
2. Gaunaurd G.C. Theory of resonant scattering from spherical cavities in elastic and viscoelastic media / G.C. Gaunaurd, H. Uberall // JASA. — 1978. — V. 63.- PP. 1699−1712.
3. Brill D.G. The response surface in elastic wave scattering / D.G. Brill, G.C. Gaunaurd, H. Uberall // J. Appl. Phys. — 1981. — V. 52. — PP. 3205−3214.
4. Горовенко А. П. Дифракц! я хвил! тиску на пружному сферичному включенн! в пружному середовищ! / А. П. Горовенко. — К.: 1ГФ НАНУ, 2014. — 34 с. — (Препринт 1ГФ НАНУ).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой