Математическое моделирование отекания тел путем численного решения уравнения Навье-Стокса

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 6:533. 6
А.В. СОХАЦЬКИЙ
1нститут транспортних систем та технологш НАН Укра1ни
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОБТ1КАННЯ Т1Л ШЛЯХОМ ЧИСЛОВОГО РОЗВ'-ЯЗУВАННЯ Р1ВНЯНЬ НАВ'-е-СТОКСА
Розроблено методики, алгоритми та програмне забезпечення розрахунку aepoduHOMiumx процеав з використання осереднених за Рейнольдсом рiвнянь Нав'-е-Стокса. Для замикання ernidmx рiвнянь застосовано однопараметричну диференщальну модель турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацii вiдокремлениx виxорiв. Виконано тестування алгоритмiв та програм. Приведено результати обчислювального експерименту
Ключовi слова: математичне моделювання аеродинамт, рiвняння Нав '-е-Стокса, числовi методи.
A.V. SOKHATSKY
The Institute of transport systems and technologies of NAS of Ukraine
MATHEMATICAL SIMULATION OF FLOW ABOUT BODIES BY NUMERICAL SOLUTION OF
THE NAVIER-STOKES EQUATIONS
Annotation
Research of aerodynamic processes is the extraordinarily actual task of mathematical modeling. One of the best ways of her decision is realization of computer design with the use of equations of Navier-Stokes. Their analysis shows that considerable progress was attained as a result of application of конечно-разностных methods and empiric models of turbulence. However there is yet a number of problems of decision of tasks of aerodynamics with the use of equations of Navier-Stokes.
Methods, algorithms and calculation of aerodynamic processes software, are developed with the use Reynold'-s averaged equations of Navier-Stokes.
For shorting of initial equalizations it is applied one self-reactance differential model of turbulence of Spalarta-Allmarasa in realization of the separated whirlwinds. Testing of algorithms and programs is executed. The results of calculable experiment are resulted.
Keywords: mathematical modeling of aerodynamics, equations of Navier-Stokes, numeral methods.
Вступ. Необхвдшсть розв'-язування складних задач вимагае розробки математичних моделей pi3Horo рiвня складносп, як б описували закономiрностi дослщжуваних явищ з потрiбною точшстю. Динамжа зростання продуктивносп ЕОМ говорить про те, що необхвдш яшсно TOBi математичш модел^ яш б дозволяли не просто моделювати явище, а виступали б експертною системою для прийняття ршення. Сучасш математичш мoделi аеродинашки розподшяють на наступш piвнi [1−3]:
1. Аналггичш наближення та лшеаризоваш piвняння.
2. Нелшшш piвняння без урахування дисипативних члешв.
3. Нелшшш piвняння з урахуванням дисипативних члешв.
4. Повш нестацioнаpнi мoделi.
Використання моделей 1-го piвня, таких як аналгтичш спiввiднoшення, наближення потеншально! течи, панельш методи, метод дискретних вихopiв дозволило розраховувати аеpoдинамiчнi характеристики реальних лiтальних апаpатiв.
Мoделi 2-го piвня дозволяють розраховувати розриви газoдинамiчних величин, але вони вимагають використання ЕОМ велико! продуктивносп (бiльше 109 флоп).
Розв'-язування задач з урахуванням турбулентних паpаметpiв, реальних властивостей газiв вимагають використання моделей третього та четвертогого piвнiв. Складнiсть 1х розв'-язування, о^м нелiнiйнoстi, пов'-язуеться ще й з вщсутшстю вiдпoвiдних моделей турбулентносп [1−9].
Постановка задачь Неoбхiднiсть розв'-язування складних задач аеродинам^ вимагае розробки комп'-ютерних технологш, яш б дозволили моделювати закoнoмipнoстi дослвджуваних явищ з пoтpiбнoю тoчнiстю.
В задачах аеродинашки фiзикo-математичнi мoделi течiй, що базуються на piвняннях Нав'-е-Стоса, можна представити двома формами [2]:
— законами збереження в штегральнш фopмi
— J qdQ + J Fnds = J HdQ, (1)
8t Q s Q
де q — шукана величина в замкнутому oб'-емi Q з межами S- - законами збереження в диференшальнш фopмi
8q + 8 °F = H. (2)
dt 8xt
Вихвдш системи р1внянь е нелшшними. Теор1я 1х розв'-язування вивчена недостатньо. Також нев1дом1 теореми юнування та едносл 1х розв'-язк1 В, що породжуе питання про вщповвдтсть ф1зичних та математичних моделей. Багатовим1ршсть задач аеродинашки, складшсть геометрп додатково затрудняе 1х розв'-язування.
Основною проблемою моделювання обтжання тш з використанням осереднених по Фавру-Рейнольдсу р1внянь Нав'-е-Стокса е те, що реальш течи нестацюнарш, а вих1дш р1вняння осереднюються за часом. Р1вень точносп розв'-язуваних задач шляхом використання р1внянь Нав'-е-Стоса пов'-язують з моделюванням турбулентности
Методика розв'-язування. Дослвдження тепломасообмшних та аеродинашчних процеав в р1зномаштних техшчних пристроях е надзвичайно актуальною задачею. Одним з найкращих шлях1 В 11 розв'-язування е проведення комп'-ютерного моделювання з використанням р1внянь Нав'-е-Стокса. Останшм часом друкуеться все б1льше наукових праць з числових метод1 В розв'-язування повних та осереднених р1внянь Нав'-е-Стокса. 1х анал1з показуе, що значний прогрес було досягнуто в результат застосування сшнченно-р1зницевих метод1 В та емтричних моделей турбулентности Проте юнуе ще цший ряд проблем розв'-язування задач аеродинам1ки з використанням р1внянь Нав'-е-Стокса. У зв'-язку з цим необхщно проводити пошук нових ефективних метод1 В, алгорштшв та способ1 В розв'-язування р1внянь Нав'-е-Стокса.
Зазвичай розрахункова область дослвджуваного пристрою е складною, тому небобхвдно використовувати криволшшну систему координат. Система р1внянь Нав'-е-Стокса в форм1 Рейнольдса для довшьно! криволшшно! системи координат запишеться.
aQ a (E-Ev) aIF-Fv) a ((G — Gv) «- + --+-L + --'--= H,
at
(3)
д% дц д?
де)) — вектор неввдомих змшних- Е, ] О — вектори нев'-язких потоков-
= %ХЕУ + %у]У + %2ОУ & gt- % = ЦхЕУ + Цу]У + ЦхОУ & gt- ОУ = СХЕУ + Су]У + С2ОУ — вектори в'-язких
потоков- Н = 1/]Н — вектор джерельних члешв.
Вектори)), Е, ], (О, ЕУ, ЕУ, ОУ, Н визначаються наступними сшвввдношеннями
Q=7
р '- pU '- '- pV '- '- pW '-
pu, в=1 J PUu+xp, F = 1 J PuV + 4xf, (G=1 J PuW + C xp
Pv PUv + yp pvV + Л yf pvW + C yp
pw PUw + ^ zp PwV +zp pwW + C zp
Et. E+pU-^tp_ (Et + p) v — 4tp_ (Et + p) W — Ctp_
(4)
Ev =

UIxx + VIxy + WI xz — qx
*=1
I yy
lyz
uixyy + VI yy + - qy
G=7
lyZ
UI xг + VI y, + WI zz — qг
(5)
Де? x, ? y, ? г, , %, Лг, C x, Cy, C г — стрита коефЩенти J = Ц, Q/a (x y, г,) — якобiан перетворення координат, ixx, iyy, 1гг, ixy, ixz, iуг — компоненти тензора напружень та qx, qy, qг —
компоненти вектора теплових потоков. Et = р
e +1 (u2 + v2 + w2)
В системi рiвнянь (3) n-компонентнi вектори Q, Ej, F, G^, Ev, Fv, Gv мають ввдповщний вигляд в залежностi вiд моделi турбулентностi.
Для розв'-язування вихiдних рiвнянь (3) застосовано метод ск1нченого об'-ему. Турбулентнi ефекти описуються в рамках ппотези Буссiнеска про уявлення дотичних напружень з використанням напiвемпiричноi моделi для турбулентно! в'-язкостi.
0
0
0
I
I
xx
xz
1
I
I
xz
гг
Замикання системи piBHAHb (3) виконано з використанням однопараметрично1 диференцiальноi моделi турбулентностi Спаларта- Аллмараса в реалiзацii вiдокремлених вихорiв (DES) [9, 10].
Числовий метод. Для розв'-язування системи рiвнянь (3) використано методу контрольного об'-ему. Основнi засади методу контрольного об'-ему (МКО) полягають в тому, що розглядаються класичнi рiвняння балансу дея^'- величини Q в контрольному об'-eмi V, обмеженому поверхнею
S = ^ Sfc з зовнiшньою нормаллю П (рис. 1). 1нтегруючи рiвняння (1) по контрольному об'-ему
отримаемо:
Л/
AV
3Q | o (E- Еу) | c (f- _ F) | d (o- Gv) _ H ot o^ oC
dV=0. (6)
Рис. 1. Контрольний об'-ем
Застосовуючи до рiвняння (6) теорему про середне занчення функцп i теорему Остроградського-Гаусса, одержимо:
^ Е*Уу + ПН, (7)
де ^ - поверхня навколо контрольного об'-ему, А V- П — вектор зовшшньо! нормалi до поверхнi 5.
Верхнш знак [~] означае середне значения шукано! функци за об'-емом:
~ = ^№ fdV. (8)
А АV
Для проведення числового розв'-язування рiвиянь Нав'-е-Стокса виконаемо! х лiнеаризацiю.
Для розрахунку вектора конвективного потоку в рiвняннi (3) застосовуеться метод розщеплення Ван-Лра [11]. Для одержання неявного алгоритму система нелшшних вихвдних рiвиянь лшеаризуеться за допомогою рознесення векторiв потоков в ряд Тейлора.
Результати розрахуншв. Розроблений комплекс програмного забезпечення, що основуеться на осереднених за Рейнольдсом Нав'-е-Стокса, замкнених моделлю турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацil ввдокремлених вихорiв, протестовано на задачi поперечного обтiкания кругового цилшдру. Застосовано багатоблочний шдхвд -розрахункова область була розбита на три блоки. Результати розрахуншв (рис. 2) порiвнюються з експериментальними даними [12].
На рис. 6 показано течш за цилiндром, одержану розрахунковим шляхом та в експерименп [13, 14]. Пiсля досягнення усталеного режиму за цилiндром розвиваеться вихорова дор1жка. На рис. 3−5 представлено результати розрахунку та фотографп поля течи з експерименту [13, 14]. Видно, що на приведеному матерiалi спостерiгаеться подiбнiсть полiв течи. Це говорить про ввдповщшсть математично! моделi фiзичним процесам, що моделюються.
Рис. 2. Розпод1л коефщемта тиску на поверхт ци. индра для Re=14 000: _- розрахумок Re=14 000- О — експеримемт Re =14 500 [12]
а) б)
Риc.3. Тeчiя iiaiiKo. io цилlндpа 3i cхoдoм вихopoвoi lopivKKii: а -poзpахунoк (iзoлiнii V), ne=10 000- б — eкcпepимeнт [13 ]
Риc. 4. Змша пiдйoмнoi cили за 4acoM для Де=10 000
б)
Риc. 5. Вимфива дopiжка в cлiдi кoлoвoгo цилiндpу: а -po3paxy!oK (блoк 3) ne=19 300- б — eкcпepимeнт ne=19 300 [13,14]
Висновки. Представлено багатоблочний шдхвд для моделювання обтшання тiл з використанням piBHaHb Нав'-е-Стокса. Розроблено методики, алгоритми та програмне забезпечення моделювання аеродинамiчних процесiв з використання осереднених за Рейнольдсом рiвнянь Нав'-е-Стокса. Виконано тестування алгоритмiв та програм. В подальших дослiдженнях необхiдно удосконалювати методики, алгоритми та програмний комплекс з урахування особливостей фiзичних процесiв та властивостей середовища.
Лiтература
1. Anderson J.D. Computational fluid dynamics / J.D. Anderson- McGraw-Hill series in mechanical engineering, U.S.A., 1993 — 540p.
2. Ковеня В. М. Некоторые тенденции математического моделирования / В. М. Ковеня // Вычислительные технологи. — 2002. — № 2, т. 2. — С. 59−73.
3. Яненко Н. Н. Проблемы математической технологии / Н. Н. Яненко, В. И. Карначук, А. Н. Коновалов // Числ. методы механики сплош. среды. — Новосибирск. — 1977. — № 3. -С. 129−157.
4. Волков К. Н. Разработка и реализация алгоритмов численного решения задач механики жидкости и газа / К. Н. Волков // Вычислительные методы и программирование. — 2007. — Т.8. — C. 40−56.
5. Приходько А. А. Компьютерные технологи в аэрогидродинамике и тепломассобмене. — Киев: Наукова думка, 2003. — 380с.
6. Приходько А. А. Математическое и экспериментальное моделирование аэродинамики элементов транспортных систем вблизи экрана / А. А. Приходько, А. В. Сохацкий. — Днепропетровск: Наука и образование, 1998. — 160 с.
7. Кощеев А. Б. Современное состояние и перспективы развития аэродинамики /А.Б. Кощеев //Аэрокосмическое обозрение. — № 5. — 2008. — С. 54−57.
8. Минайлос А. Н. Дефект точности диференциальных уравнений в численном решении / А.Н. Минайлос// Труды международной конференции DRAMM-2001. — 2001. — Т. 6, Ч. 2. -C. 294−301.
9. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // La Recherche Aerospatiale. — 1994. — N1. — P. 5−21.
10. Стрелец М. Х. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения / М. Х. Стрелец, А. К. Травин, М. Л. Шур, Ф. Р. Спаларт // Научно технические ведомости. — 2004. — № 2. — 26с.
11. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations / B. Van Leer //Lecture Notes in Phys. — 1982. — V. 170. — P. 507−512.
12. Roshko A. On the drag and shedding frequency of two-dimensional bluff bodies /A. Roshko // NACA Tech. Note. — 1954. — № 3169. — 29 p.
13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор — М.: Мир, 1973. — 778 с.
14. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа/ М. Ван-Дайк — М.: Мир, 1986. -184 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой