Математическое моделирование планирования экспериментов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 629.4. 027. 115−192
А. А. БОСОВ, В. В. АРТЕМЧУК (ДПТ)
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТ1В
У CTarri викладено результати теоретичних дослiджень з метою математичного моделювання плануван-ня експерименпв. Новим е те, що планування експериментiв ведеться одночасно за трьома показниками якостi. Цими показниками е мщшсть з'-еднання покриття з основою, зносостшшсть та товщина покриття. Розробка математичного моделювання планування експерименту за дешлькома показниками дае можливiсть зменшити к1льк1сть та вартiсть експериментiв.
В статье представлены результаты теоретических исследований с целью математического моделирования планирования экспериментов. Новым является то, что планирование экспериментов проводится одновременно по трем показателям качества. Этими показателями является прочность сцепления покрытия с основой, износостойкость и толщина покрытия. Разработка математического моделирования планирования эксперимента по нескольким показателям дает возможность уменьшить количество и стоимость экспериментов.
In the article the results of theoretical researches aimed at the mathematical design of planning the experiments are presented. The new is that planning the experiments is conducted simultaneously on three indices of quality. They are coverage-to-basis strength of adhesion, wearproofness and coverage thickness. Development of mathematical design of planning the experiment on a few indices enables decreasing a quantity and cost of experiments.
На даний час у науковому свт методи нау-кових дослщжень умовно можна роздшити на теоретичш, теоретико-експериментальш i екс-периментальш [1]. Теоретичний метод побудо-ваний на узагальненш накопиченого досвщу або результата експериментальних дослщжень. Теоретико-експериментальний припускае ство-рення або розвиток теори з подальшою перев& gt- ркою експериментом, уточненням i визначен-ням необхщних параметрiв. Експерименталь-ний — припускае встановлення зв'-язку мiж фун-кщями i аргументами. Даний метод базуеться на математичному плануваннi експериментiв, ре-гресiйному i дисперсiйному аналiзi. Другий i третiй перелiченi методи наукових дослiджень тiсно зв'-язанi мiж собою i часто виступають единим цшим. У будь-якому випадку, побудова теори вимагае експериментального шдтвер-дження. Проте, на даний час проведення експе-риментiв пов'-язане з чималими фшансовими ви-тратами i часто вимагае тривалого часу, тому при шдготовщ до експериментiв необхiдно ви-користовувати математичний апарат, направлений на мiнiмiзацiю кiлькостi експериментiв без втрати якостi та достовiрностi результата.
Як виршення позначено! проблеми висту-пае математичне планування експериментiв. 1с-нують рiзнi методи планування, що набули широкого поширення в науково-техшчнш лтера-турi [2]. Метою дано! статп е розвиток теори планування експеримента i застосування до конкретних практичних завдань.
При вщновленш деталей за вихщш показ-ники узят мщшсть зчеплення сзч покриття з1 зношеною поверхнею, зносостшюсть i товщина покриття. Цi показники вибраш виходячи з таких мiркувань. При будь-якому способi вщнов-лення деталей (за основу взято наплавлення, га-зотермiчне напилення i гальвашчш методи на-несення покриттiв), мщшсть зчеплення е, фак-тично, головним показником якост технолоп-чного процесу. Даний показник безпосередньо впливае на надшшсть i безпеку експлуатацii деталей i вузлiв, тому цей показник повинен бути максимальним стзч ^ max. Зносостiйкiсть е найважлившим експлуатацiйним показником, оскiльки головне завдання зрештою — пiдви-щення ресурсу експлуатаци, зниження вартостi ремонту деталей, шдвищення надiйностi. Тому цей показник також повинен прагнути до максимуму. Товщина покриття важлива з погляду точносп нанесення вiдновлюючого покриття з урахуванням припуск1 В на механiчну (фiнiшну) обробку, що, у свою чергу, впливае на вартють вiдновлення деталей. Цей показник повинен роз-раховуватися перед процесом в1дновлення деталей, вш не прагне нi до максимуму, m до мiнiму-му, але при цьому необх1дно товщину покриття визначити таким чином, щоб припуск на фшшну обробку був мшмальним, тобто можна сказати, що товщина покриття повинна бути можливо мь нiмальною.
Таким чином, приходимо до завдання, коли технолопчний процес оцшюеться за трьома по-
казниками. Розглядаючи теорда планування експерименту i не обмежуючи спiльностi роз-гляду, вважатимемо, що кожний iз трьох показ-никiв необхiдно отримати якомога меншим.
Позначимо через х вектор технолопчних параметрiв, а якiсть вщновлення — через (х),
1 — 1,3. У математичному планi переходимо до завдання векторно! оптимiзащ!
(Ъ (хР
Ъ (X) Ъ (х)
• min
(1)
Ъ (х)
Ръ (х)
• mm
(2)
за умови х е X.
Вирiшивши цю задачу, отримуемо множину X* с X, яка з певною точнiстю е наближенням множини X*.
Виконаний в околищ точки х (0) експери-мент дозволяе ощнити градiенти функцiй (х) в данiй точщ та отримати конус напрямiв зме-ншення всiх трьох функцiй.
Вибравши напрямок з даного конуса, обчис-люемо наступну точку планування експеримен-ту за формулою
х (1) = х (0) + g (0) X,
(3)
за умови х е X, де X — область допустимих значень параметрiв технолопчного процесу.
Необхщно вiдзначити, що функцп (х),
1 — 1,3 невщом^ i! х значення при конкретному х можуть бути визначеш тшьки на пiдставi вiдповiдного експерименту.
Перш за все, нагадаемо, що множина X* с X е ршенням задачi векторно! оптишза-цл (1), якщо будь-яка точка х* е X* е ефектив-ною i будь-якi двi точки з X* незрiвнянi мiж собою за Парето.
Значення множини X* дозволяють в прос-торi функцiоналiв (х) побудувати деяку по-верхню, що вiдображае взаемозв'-язок мiж цими трьома показниками.
Основна iдея планування експерименту за трьома показниками полягае в тому, що вибира-еться деяка початкова точка х (0) е X i в околищ ще! точки за одним з вщомих методiв виконуеть-ся експеримент. За наслщками цього експерименту апроксимуються функцп (х), 1 = 1,3.
Нехай Ъ (х), 1 — 1,3 е функщями апрокси-мацш, тодi для них розглядаеться задача:
(Ъ (х)& gt-
де а1 & gt- 0, gi — напрямки з конуса убування, вершина якого знаходиться в точщ х (0) —
X — крок.
Подiбна процедура продовжуеться до тих тр, поки не буде виконано стввщношення:
а1 gl + а2 g 2 + а3 gз = 0, (4)
де а1 & gt- 0, gi — градiенти, що ощнюються за на-слiдками експерименту.
Шсля того, як буде виконано стввщношення (4) по вох точках даного процесу виконуемо побудову функцш Ъ (х), а пот1м вирiшуемо задачу (2).
Щодо невщомих функцiй (х), 1 = 1,3 припускаемо, що вони е квадратичними формами.
Дане припущення дозволяе визначати мш& gt- мальне число експеримеш! в. Так, наприклад, якщо технолопчний процес визначаеться двома параметрами х1 i х2, то в загальному виглядi функцп Ъ (х) мають вигляд:
ЪЪ (х1, х2) — а1×1 I 2×1×2 I ^22×2 I
+°10×1 + а02×2 + а00.
Звщки витiкае, що число експеримеш! в по-винне бути не меншого шести, щоб можна було визначити коефщенти а1}-, 1, ] - 0,1,2.
У математичному експеримент приймаемо:
Ъ1(х1,х2) — (х1 -1)2 + (х2 -2)2 +100-
Ъ2(х1,х2) — (х1 -3)2 + (х2 -2)2 + 200 —
Ъ3 (х, х2) — (х1 — 3)2 + (х2 — 4)2 + 300.
Вибираемо в якостi початкового центру екс-перименту точку
х (0) — [5,7].
З кроком 0,5 будуемо повний факторний план експерименту навколо вибрано! точки i отримуемо наступнi результати (табл. 1).
На пiдставi результатiв даного експерименту обчислюемо градiенти функцiй в точщ х (0).
gl (х (0)) — (х (0)) — (8−10) —
g 2 (х (0)) — У2 (х (0)) — (4−10) —
?з (х (0)) = У^ (х (0)) = (4−6).
Таблиця 1
№ пор. х1×2 Ъ2 Ъ3
1 5,5 7,5 150,5 236,5 318,5
2 5,5 6,5 140,5 226,5 312,5
3 4,5 6,5 132,5 222,5 308,5
4 4,5 7,5 142,5 232,5 314,5
На рис. 1 представлеш даш вектора.
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Рис. 1. Розташування град1енпв в початковш точщ
Як випливае iз значень градiентiв i рис. 1, градiенти g1 (х (0)) i (х (0)) визначають конус убування всiх функцiй Е1, Ъ2, Ъ3.
Вибираемо напрям g переходу в новий центр експерименту таким чином:
g = -((х (0)^2 (х (0)))/2 = (-6−10).
У даному напрямi з кроком 0,5 обчислюемо нову точку центру експерименту х (1):
х (1) = х (0) + 0^ = (2- 2).
В околиц точки х (1) виконуемо експеримент, i результати представляемо у виглядi табл. 2.
Таблиця 2
№ пор. х1×2 Ъ2 Ъ3
1 2,5 2,5 102,5 200,5 302,5
2 2,5 1,5 102,5 200,5 306,5
3 1,5 1,5 100,5 202,5 308,5
4 1,5 2,5 100,5 202,5 304,5
Значення градiента в точцi х (1) за даними
табл. 2 дорiвнюють
g1 (х (1)) = (2- 0) —
g2 (х (1)) = (-2- 0) —
gз (х (1)) = (-2- -4).
На рис. 2 представлено взаемне розташування даних векторiв.
-2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Рис. 2. Розташування гращенлв в наступнш точщ
За результатами експерименпв виконаемо апроксимащю у виглядi квадратичних форм.
На рис. 3, 4, 5 дано графiчне представлення результатiв апроксимацн, а над кожним з рису-нюв И аналiтичний вигляд.
Використовуючи прийнят позначення результати апроксимацп можна записати у виглядi
Ъ = 105 — 2х — 4×2 + х12 + 4.6 • 10−12 хх2 + х —
Р2 = 213−6х -4×2 + х2 + 7. 25•Ю-13хх2 + х2-
Р3 = 325 — 6×1 — 8×2 + х12 + 6.6 • 10−13×1×2 + х22.
Як випливае з даного уявлення, доданками з добутком х1, х2 можна знехтувати i для пода-льшого аналiзу прийняти залежностi
Ъ = 105 — 2х — 4×2 + х2 + х22-
Ъ = 105 — 2х — 4×2 + х2 + х22-
Р3 = 325 — 6×1 — 8×2 + х, 2 + х^.
По даних залежностях визначаемо межi об-ластi ршення задачi (2).
З рiвняння
У^ + ХУЪ2 =0 за умови X & gt- 0 отримуемо
f-2 + 2Xj ^ f-6 + 2Xj
-4 + 2 x.
X
2 J
-4 + 2 x,
= 0,
2 J
зв1дки визначаемо параметричне завдання меж1
Рис. 3. Апроксимацш F1
Рис. 4. Апроксимац1я F2
1 + 3X
1+ X
X2 = 2.
При X = 0 маемо х1 = 1, х2 = 2, а при X ^& lt-х>- отримуемо x = 3, х2 = 2.
Таким чином, в1др1зок м1ж цими точками складае частину меж множини ршення задач! (2).
Розглянувши р1вняння
VF
— XVF3 = 0
1 р1вняння
VF'-2 + XVF3 =0,
знаходимо решту складових меж множини р1-шень задач! (2).
На рис. 6 представлено ршення задач! (2)
x2 4
3
2
1 +
B
A
C
12 3 4
x.
Рис. 6. Геометричне представления р! шення задач! (2)
Точки трикутника ABC е набором рацюна-льних параметр! в технолопчного процесу. Таким чином, у статп побудовано область допус-тимих параметр! в, з яко! необх! дно вибирати значення параметр! в при реал! зац! технолопчного процесу.
2.
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИИ СПИСОК
Рыжов, Э. В. Математические методы в технологических исследованиях. [Текст] / Э. В. Рыжов, О. А. Горленко. — К: Наук. думка, 1990. -184 с.
Суслов, А. Г. Научные основы технологии машиностроения [Текст] / А. Г. Суслов, А. М. Да-льский. — М.: Машиностроение, 2002. — 684 с.
Надшшла до редколеги 24. 12. 2008.
Рис. 5. Апроксимац! я F3
X1 =

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой