Математическое моделирование продольного удара системы однородных стержней о жёсткую преграду при неудерживающих связях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 958:622. 233. 6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА СИСТЕМЫ ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ
А. А. Битюрин, В. К. Манжосов
Ульяновский государственный технический университет,
432 027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
E-mail: Denjgy0706@yandex. ru
Осуществляется математическое моделирование продольного упругого центрального удара стержневой системы, состоящей из двух однородных стержней различной длины и площади поперечного сечения, о жёсткую преграду при неудерживающих связях.
Ключевые слова: деформация, моделирование, продольный удар, стержень.
Введение. Задача о продольном ударе стержня с учётом его распределенной массы и описания движения поперечных сечений волновыми уравнениями была сформулирована Навье, Буссинеском, Сен-Венаном, Сирсом.
Во второй половине XX века применение ударных технологий в машиностроении, горнодобывающей промышленности, строительстве, приборостроении привело к значительному количеству теоретических и экспериментальных исследований в области продольного удара.
В известных работах модель учёта неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения и происходил разрыв связи. Возможность повторного соударения стержней исследователями не рассматривалась. Такая модель продольного удара, с одной стороны, отсекала информацию о последующем нагружении стержня при повторных соударениях, а с другой стороны, представляла некорректную информацию о восстановлении скорости стержня при продольном ударе.
В данной работе представлена модель продольного удара стержней при разрывах связей и с учётом возникновения повторных соударений [1].
1. Постановка задачи. Рассматривается продольный удар однородного стержня 1, движущегося с предударной скоростью У0, по стержню 2, взаимодействующему с жёсткой преградой. Длина первого стержня 1 и масса Ш, длина и масса второго соответственно 12 и т2 (см. рис. 1). Общая длина обоих стержней 1 = 11 + ?2. Оба стержня состоят из одного материала. Используется волновая модель [1−5].
Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями
9Ч0М) 1Л1(1,()=0_ (1)
dx2 a2 dt2
Анатолий Александрович Битюрин (к.т.н.), старший преподаватель, каф. теоретической и прикладной механики. Владимир Кузьмич Манжосов (д.т.н., проф.), зав. кафедрой, каф. теоретической и прикладной механики.
Уо, г
_____________2__________________?
X
ГП
т2
Г
О ?1 1 + ?2 — I
Рис. 1. Схема соударения однородных стержней
Л. 2(М) 1 Л2(г,()=0_ (2)
дх2 а2 дЬ2
Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением при Ь = ?0 = 0:
дп1(х, го) дщ (х, го) _ ди2 (х, Ьо) п дщ^^о)
т -У°'- дх — °'- т -°'
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х = I при взаимодействии стержня 2 с жёсткой преградой:
дщ (0,г) ди2(1^)_
дх ~ ' М ~ ' а также равенство сил и условия сопряжения стержней в сечениях х = ?1 при непосредственном их взаимодействии:
И,"". ЬЦ"2Ы, если 5^1М& lt-0, дх дх дх
ди1(11,Ь) ди2(11,Ь) ди1(11,Ь)
-дГ~ = ~8^' есл& quot- -а^-& lt-0'-
либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:
5йМ = 0, ММ = о, если «,»"!& gt--«*<-МК0, дх дх
где Е — модуль упругости первого рода, А и, А — площади поперечных сечений соответственно первого и второго стержней, а — скорость распространения продольной волны деформации.
2. Метод решения. Решение дифференциальных уравнений (1), (2) реализуется методом Даламбера [2] в следующем виде:
и1(х, Ь) = /1(аЬ — х) + (р1(аЬ + х), 0 ^ х ^ 11, (3)
и2(х, Ь) = /2(аЬ — х) + ^& gt-2(а? + х), 11 ^ х ^ 11 + 12, (4)
?{х, ?) = ^ = -/[{аЬ — х) + + ж), (5)
г?1 (ж, ?) = ^и1^' ^ = 4ЛН — ж) + «V? 1 (+ ж)], (6)
ь2(ж, ?) = ди2^ ^ = -/2(а.^ - ж) + & lt-?>-2(а,? + ж), (7)
г& gt-2(ж,?) = ди'-2^^ = а[/!2(а1 — ж) + ч& gt-'-2{аЬ + ж)]. (8)
Перейдём к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны:
/'-(а* - х) = /'-(а* - х)/ (^), !*р'-(а1 + х) = ч& gt-'-(аЬ + х)/ (^) ,
а также деформацию в сечении и его скорость:
— - -ё (х, ?) = - ?'-{аЬ — х) + (р'-(а1 + ж), у (х, I) = ---- = ?'-{аЬ — х) + (р'-(а1 + х).
Относительные величины будут использоваться в дальнейшем.
Рассмотрим некоторое произвольное сечение О на ?-том интервале времени (см. рис. 2). Это сечение является границей сопряжения О-того и О + 1-го участков. На сечение О слева падает прямая волна / (а? — ж^-1), сформированная на (г — 1)-м интервале времени в (О — 1)-м сечении, а справа — обратная волна ^+1(а? + ж^+1), сформированная на (г — 1)-м интервале времени в (О + 1)-м сечении. Поскольку ударные волны в однородных участках имеют прямоугольный вид, волна fj (а? — ж^-1) иллюстрирована в виде левого верхнего прямоугольника переменного тона, а волна & lt-^-+1(а? + Xj+l) -в виде правого верхнего прямоугольника.
Стрелками и направлением затемнённого растра указано направление распространения соответствующей волны деформации.
Интервал времени А1 = ^ равен времени распространения волны деформации на участке длиной А1- х1 и х1 — координаты ] - 1-го и О + 1-го сечений.
При преобразовании падающих волн в сечении О формируется прямая волна /. ,+1(а? — Xj), распространяющаяся от сечения О к сечению О + 1, и обратная волнаpj (а? + Xj), распространяющаяся от сечения О к сечению О — 1. Причём производные функций определяются как [2]
/¦+1(а* - xj) = q/ (^) (а^ - xj) + (а? + xj),
^ (а? + xj) = q^(j)^j+l (ai + xj) + г/(°) (а^ - xj),
где & lt-?/0) = (г+21)/.г. — коэффициент прохождения прямой волны /^(а,? — х^,
. а,
падающей на границу х = х^ со стороны-того участка- г, — = - отноше-
ние площадей поперечных сечений сопряженных О-того и о + 1-го участков-
?& gt-'-•+1 {аЬ + Хэ+1)
/,-(а? — ж,-1) И1

,
3-А (
/5 + 1 >
^{аЬ + Х])
/& lt-+1 (а* - х^
Рис. 2. Граница сопряжения однородных участков
г& lt-р (з) = 1+^- - коэффициент отражения обратной волны & lt-?>-'-+1(а? + х^, падающей на границу х = Xj со стороны j + 1-го участка- =рх — коэф-
фициент прохождения обратной волны (+^а? + Xj), падающей на границу
Г • 1
х = Xj со стороны ] - 1-го участка- rf{j) = - коэффициент отражения
прямой волны / (а? — Xj), падающей на границу x = Xj со стороны О — 1-го участка.
Деформация в сечении Xj, принадлежащим О-тому участку, определится
как
е, — (xj, ?) = - /,'- (а? + xj) + q^(j& gt-j+1 (а? + X) + г/ (°)/'-(а^ - xj) =
= - (1 — г/ (О0) + xj) + q^(J& gt-j+l (at + xj).
Деформация в сечении Xj, принадлежащим О + 1-му участку, определится как:
, ?) = - q/ (°)/. -'-(а^ + xj) — ^ °)(+1 (а? + X) + ((а? — xj) =
= -q/ + xj) + I1 — г^О)) (-+1(а? + X).
Равенство е^-, ?) = е^^^-, ?) может быть только в том случае, когда г/(О) =0, г^(О) =0, q/(О) = 1, q^(j) = 1, а это возможно только тогда, когда
г, — = ^ = 1, т. е. при сопряжении однородных участков. Скорости сопря-
женных сечений участков всегда равны между собой ц,, ?) = ц,+l (xj, ?). Разница скоростей сопряженных сечений привела бы к разрыву стержня в этих сечениях.
3. Пример расчёта. Рассмотрим продольный упругий удар о жёсткую преграду однородных стержней с длинами 11 = 12 = 0,51. Соотношение площадей поперечных сечений первого и второго стержней, А = ^ = 0,5 (см. рис. 2). Применим метод характеристик для построения поля состояний (см. рис. 3). Области состояний 1о-15, 11о-11б с соответствующими значениями ?(а? — X), ((а? + X), е^,^, V (x, i) определяют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную деформацию и скорость поперечных сечений. Длительность состояния для произвольного сечения определяется разностью ординат ?, которые имеют точки наклонных линий для этого сечения.
При? = 21/а происходит отрыв однородного стержня 2 от жёсткой преграды, при? = 2,51/а происходит отрыв в контактном сечении X = 0,51.
4. Анализ результатов. Авторами осуществлялось математическое моделирование продольного удара однородных стержней с длинами 11 = 0,21, 11 = = 0,41, 11 = 0,51, 11 = 0,61, 11 = 0,81 при соотношении площадей поперечных сечений предыдущего участка к последующему, А = 0,5 и, А = 0,33, где, А = Анализ результатов моделирования удобнее проиллюстрировать на графике зависимости максимальной относительной продольной деформации в опасном сечении етах от длины начального участка 11 и величины, А (см. рис. 4).
Выводы.
1. При ударе однородного стержня о стержень, взаимодействующий с преградой, при 11 = 0,41, А = 0,5 наблюдается повторное соударение стержней
^ X
1
1 /


Рис. 3. Поле состояний при ударе системы однородных стержней о жёсткую преграду
в контактном сечении X = 11. При других соотношениях длин однородных участков повторные соударения не наблюдаются.
2. Исходя из анализа графика следует отметить, что максимальная относительная продольная деформация е тах в опасном сечении будет зависеть от длины 11 и от параметра А. При переходе 11 через значение 0,51 максимальная деформация етах изменяется скачкообразно от значений 0,67 ^ 0,75 до 1,10 ^ 1,12 (рис. 4).
Используя данные математического моделирования, можно рассчитать значение абсолютной деформации (удлинение или укорочение) любого ?-того
Рис. 4. Зависимость максимальной относительной продольной деформации вшах: 1 — emax (ii) при A = 0,5- 2 — emax (ii) при A = 0,33
участка стержневой системы Апоскольку имеет место зависимость, полученная с учётом [6] и (3)-(8):
Л/ /
А Ц = Це-, a
где Ali — абсолютная продольная деформация ?-того участка стержневой системы, li — длина этого участка.
Как видно, изменение линейных размеров стержневой системы будет зависеть от относительной продольной деформации, начальной предударной скорости и характеристик материала.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Изменение деформации на участках стержневой системы после повторного удара в контактном сечении // Вестн. УлГТУ, 2007. — № 3. — C. 23−28.
2. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и расчёт ударных систем. — М.: Наука, 1969. — 199 с.
3. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. — М.: Наука, 1985. — 354 с.
4. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Вестн. УлГТУ, 2005. — № 3. — C. 23−25.
5. Манжосов В. К. Модели продольного удара. — Ульяновск, 2006. — 159 с.
6. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. — М.: Высш. шк., 2003. — 641 с.
Поступила в редакцию 04/XII/2008- в окончательном варианте — 15/II/2009.
MSC: 65M25, 68T35, 12L12
MATHEMATICAL MODELING OF LONGITUDINAL BLOW OF THE SYSTEM OF HOMOGENEOUS RODS ABOUT RIGID BARRIER AT NOT-HOLDING CONNECTIONS
A. A. Bityurin, V. K. Manzhosov
Ulyanovsk State Technical University,
432 027, Ulyanovsk, Nothern Venetz str., 32.
E-mail: Denjgy0706@yandex. ru
Mathematical modeling of the longitudinal elastic central blow of the rod system, consisting of two homogeneous rods of various lengths and the area of cross section over a rigid barrier is implemented at not-holding connections.
Key words: deformation, modeling, longitudinal blow, rod.
Original article submitted 04/XII/2008- revision submitted 15/II/2009.
Anatoliy A. Bityurin (Ph. D. (Techn.)), Lecturer, Dept. of Theoretical & amp- Applied Mechanics. Vladimir K. Manzhosov (Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept. of Theoretical & amp- Applied Mechanics.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой