Математическое моделирование задачи тепломассопереноса в цилиндрической емкости, полностью заполненной жидкостью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 536. 25
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ, ПОЛНОСТЬЮ ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Н. В. Мозговой, О. А. Сидорова, М.В. Баранов
В работе приводится двумерная математическая модель задачи определения теплового режима и процессов тепломассопереноса внутри цилиндрической емкости с полусферическими днищами, полностью заполненной жидкостью. Для определения давления внутри сосуда используется уравнение Пуассона
Ключевые слова: тепломассоперенос, цилиндрическая емкость, уравнения Навье-Стокса
Цилиндрические емкости с полусферическими днищами, заполненные жидкостью, входят в состав широкого круга технических устройств, таких как хранилища сжиженных газов и жидких углеводородов, баки с криогенным топливом, накопители тепла в устройствах для утилизации солнечной энергии. Во время эксплуатации указанных установок баки могут подвергаться внешним тепловым воздействиям, что влияет на изменение полей температур в жидкости. Неоднородность прогрева жидкости может способствовать началу ее кипения, ускорить рост давления в криогенных баках. Моделирование тепломассопереноса в заполненных жидкостью емкостях, на этапе проектирования и реализации устройств подобного рода, дает возможность спрогнозировать тепловой режим и движение жидкости, а также изменения давления внутри бака.
а)
б)
Рис. 1. Рассматриваемые сосуд (а) и его осевое сечение (б)
Рассмотрим вертикально расположенный бак цилиндрической формы высотой Н и радиусом Яо (рис 1, а), полностью заполненный несжимаемой жидкостью, теплофизические характеристики которой известны. Стенки сосуда считаются
Мозговой Николай Васильевич — ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, E-mail: nv moz@mail. ru Сидорова Оксана Анатольевна — ВГПУ, аспирант, E-mail: sidorova oa@mail. ru
Баранов Максим Викторович — ВГПУ, студент, E-mail: imax@inbox. ru
идеально тонкими, поэтому влияние свойств материала, из которого изготовлен бак, на термогидродинамические процессы в жидкости не учитывается. На сосуд действует массовая сила /, направленная вертикально вниз, вдоль оси емкости. Извне по нормали к поверхности бака подводится равномерно распределенный тепловой поток плотностью q. В начальный момент времени движение жидкости в сосуде отсутствует, распределение температуры внутри бака известно.
Цель работы состоит в построении математической модели с возможностью дальнейшего проведения численного эксперимента для определения теплового режима и процессов перемещения слоев жидкости данной емкости под действием силы f и теплового потока q.
Конвективный перенос тепла обусловлен движениями самой среды, поэтому математические модели теплопроводности в этом случае дополняются моделями движения этой среды.
Закон сохранения массы дает уравнение непрерывности, которое в случае несжимаемой жидкости, рассматриваемой в работе, имеет вид [1, 2]:
divV = О, (1)
где V — вектор скорости движения жидкости.
Движение вязкой среды описывается уравнениями Навье-Стокса. Для однородной среды, когда все характеристики постоянны, уравнение движения в векторной форме имеет вид [2]:
dV — _ 1 _ _ …
¦ + V ¦ grad V -----grad Р + vAV + f, (2)
dt
где
Р
Р — давление, 11а- V — коэффициент
м2 —
кинематической вязкости, -- / - вектор массовых сил:
7 = РЖТ-Т01 (3)
где р — коэффициент температурного расширения.
і _
-- Т0 — начальная температура среды внутри
емкости. К- д — ускорение свободного падения,
Уравнения (1) — (2) описывают движение среды. Осталось записать уравнение теплопроводности, которое в случае несжимаемой жидкости имеет вил [2, 3]:
/дТ —
ср + V ¦ grad 7'-) = ХАТ,
(4)
183
Продифференцируем (16) по г: д /ди дм ду _ д2р
дг 5 т * и дг + У дг) дг2 ,^4
3/13/ дм д2v
+& amp-(^(г'-*)+а^-<-:г'-7
Сложим уравнения (19) и (20), выразим Ар и упростим полученное выражение с учетом
уравнения непрерывности (14). В итоге получим уравнение Пуассона по давлению в форме, удобной для последующего численного эксперимента: дв /Ц2 дидм дуди Лр = -Сг--2(~) + 2__-2__. (21)
Рассматриваемая математическая модель
может бьпъ представлена в виде системы уравнений (14), (15), (16) и (21), которая дополняется начальными и граничными условиями, записанными в цилиндрической системе координат.
В начальный момент времени выполняются соотношения:
в (г, г, 0) = и (г, г, 0) = г?(г, г,0) = р (г, г, 0) = 0.
Для точек (г, г) на границе емкости ставятся следующие требования [1,5]: дв{г, г, т) _
А#
(22)
дп ду{г, г, т)
дп
и (г, г, г) = v (r, г, т) = 0.
На оси OZ ограниченности решения: дв (-0,z, t) 30(+O, z, r)
принимается
дп
du (-0, z, т) дп
дп
ди (+0, z, т) дп '
(23)
(24)
(25) условие
(26) (27)
Эг (-0,г, т) _ ду (+0,г, т).
дп дп '-
др (-0, Z, т) dp (+0, z, т)
дп дп '- ()
Таким образом, система уравнений (14), (15), (16), (21) — (30) представляет собой математическую модель тепломассопереноса в цилиндрическом баке с полусферическими днищами, полностью заполненном жидкостью. На основании этой системы возможно проведение численного эксперимента для определения теплового режима и процессов перемещения слоев жидкости в емкости.
Литература
1. Мозговой Н. В., Сидорова О. А. Расчет полей
давления и температуры в наклонной цилиндрической емкости с
полусферическими днищами полностью заполненной жидкостью //Вестник ВГТУ. Т.4 № 5. Воронеж: 2008. с. 56−59.
2. Самарский А. А., Вабищевич П. Н.
Вычислительная теплопередача. — М. :
Едиториал УРСС, 2003. — с. 56−58.
3. Швыдкий B.C., Ярошенко Ю. Г., Гордон Я. М., Шаврин B.C., Носков А. С. Механика жидкости и газа: Учебное пособие для вузов. — М.: ИКЦ «Академкнига», 2003. — с. 82−86.
4. Роуч Н. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. -с. 390−420.
5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие. — М.: Издательство МГУ, 1999. — с. 194−202.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный педагогический университет
THE MATHEMATICAL MODEL OF A HEAT-AND-MASS TRANSFER IN THE VERTICAL CYLINDRICAL CONTENT WITH HEMISPHERICAL BOTTOMS FULLY
FILLED WITH THE LIQUID
N.V. Mozgovoy, O.A. Sidorova, M.V. Baranov
The two-dimensional mathematical model for the task of determination thermal conditions and processes of a heat-and-mass transfer in the vertical cylindrical content with hemispherical bottoms fully filled with the liquid is presented. Poisson'-s equation is used to determine the pressure inside the content
Key words: heat-and-mass transfer, cylindrical content, Navier-Stokes equation

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой