Развитие двумерных локальных возмущений в невязком вихревом шнуре

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Том XXXVIII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
200 7
№ 3 — 4
УДК 532. 527
РАЗВИТИЕ ДВУМЕРНЫХ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕВЯЗКОМ ВИХРЕВОМ ШНУРЕ
В. Ф. МОЛЧАНОВ
Рассмотрена задача о развитии малых возмущений в невязком вихревом шнуре при ступенчатом распределении циркуляции. Характерная длина возмущения существенно больше характерной толщины вихревого шнура. Доказано, что если циркуляция монотонно зависит от расстояния до оси шнура, то общее решение задачи является комбинацией движущихся волн. При этом общее число волн вдвое превосходит число ступенек циркуляции. Все волны движутся с разными скоростями. Если циркуляция представлена одной ступенькой, то скорость движения волны в Л раз меньше наибольшей скорости вращательного движения среды. Если же циркуляция получилась путем диффузии дискретного вихря, то наибольшая скорость движения волны равна наибольшей скорости вращательного движения частиц среды.
В классической теории устойчивости [1] рассматривается рост или убывание возмущений в бесконечном вихревом слое. Но кроме роста или убывания есть еще одна весьма важная характеристика — это развитие возмущений по длине вихревого слоя, т. е. движение возмущений от одного сечения к другому. Есть, например, основание считать, что проблема устойчивости движения парашюта связана с движением возмущений. Если ткань парашюта проницаема или в ней есть отверстия, то это формирует поток, проходящий через поверхность парашюта. Этот поток оттесняет возмущения от парашюта, образуя зону слабо возмущенного течения. Но если имеют место оба эффекта — и рост возмущений и их движение, то роль движения возмущений скрадывается. Ее трудно показать. Естественно обратиться к случаю, где имеется лишь движение возмущений. Таким случаем является развитие осесимметричных длинноволновых возмущений
в невязком вихревом шнуре, о чем и пойдет речь ниже. Но вначале коснемся физического механизма, приводящего к движению возмущений. Хорошо известно движение звуковых возмущений. Оно возникает благодаря упругости среды. Но упругость — это следствие хаотического движения молекул. Поэтому можно говорить, что причиной звуковых возмущений является взаимодействие между разнородными видами движений, происходящее при помощи ограниченного количества параметров. Здесь это давление и объем. Для характеристики подобных взаимодействий удобен термин «слабое взаимодействие», примененный в [2]. Но там он был применен для описания взаимодействия между двумя макродвижениями. Естественно ожидать, что подобное взаимодействие может привести к возмущениям типа звуковых.
В случае вихревого шнура можно говорить о слабом взаимодействии между вращательным и поступательным движениями, которые, как увидим, приводят к волновым движениям. Рассмотрим этот случай.
1. Пусть в идеальной жидкости имеется бесконечный вихревой шнур, ось которого совпадает с осью х цилиндрической системы координат Огфх. Здесь г — расстояние от оси- ф — угол, определяющий плоскость, проходящую через ось шнура. Будем рассматривать течения, не
зависящие от ф, в плоскости, проходящей через ось, с системой координат Огх в ней. Пусть Г (г) — заданная циркуляция. Для постановки задачи удобно произвести предварительную дискретизацию циркуляции. Для этого рассмотрим N + 1 возрастающих чисел гп, 0 & lt- п & lt- N. Будем
считать, что г0) = 0, ^+1 Тогда функция Г (г) заменяется ступенчатой функцией Гп (г):
Гп (г) = г (гп), при гп & lt- г & lt- гп+1 для 0 & lt- п & lt- N.
Пространство между цилиндрами радиусов гп и гп+х назовем п-м слоем. В этом слое нет вихрей, а жидкость вращается со скоростью Жп:
Г
Ж. (1. 1)
2пг
Это вставленные друг в друга трубки тока. Такая же дискретизация была применена в [3]. Но при наличии возмущений к этой скорости добавится скорость, потенциал которой Фп (г, х, t) должен удовлетворять уравнению Лапласа:
1 -Г -Ф ^ -2Ф
1 -ГГ -^1±т = о. (1. 2)
г -г ^ -г) -х2
Возмущения изменят границы между слоями. Тогда они станут поверхностями вращения, точки которых находятся на расстоянии г + Агп (х, t) от оси шнура. Здесь t — время. Считается,
что при п = 0 и п = N + 1: Агп = 0. Давление в п-м слое рп (г, х, t) будет определяться уравнением Коши — Лагранжа:
-Ф" 1
(/ _, 2 / -, л2 Л
-t ш-х)- ¦)±=(13)
/ /)
Здесь р — плотность. На границах слоев давление должно быть непрерывным:
Рп (гп + А, ^ t) — Рп-1 (гп + А, x, t) = °. (1. 4)
Непрерывной должна быть и нормальная к каждой границе компонента скорости, а сама
Г-Аг ^
граница — непроницаемой. Поскольку вектор Кп =1-п, -1 I нормален к п-й границе, то эти

условия запишутся так:
Г -Аг ^
8гаа фп (гп + А, ^ t) Кп =8гаа фп-1 (гп + А, x, t) Кп =1 IКп. (1. 5)
Из общих физических соображений следует, что в начальный момент времени необходимо задавать не только значения гп, но и их производные по времени. Эти производные задают начальную скорость движения частиц среды. Пусть в момент t = 0 функции Агп и их производные по времени принимают следующие значения:
Агп (х 0) = % (х),
-А^ам. 06
Тогда уравнение (1. 2) и равенства (1. 3) — (1. 6) дают постановку задачи развития возмущений в вихревом шнуре. Заметим, что общее решение задачи (1. 2) — (1. 6) должно содержать 2N произвольных функций.
Поскольку эта задача будет решаться в линейной постановке, то положим:
Агп = гп. (1. 7)
Так как задача стала линейной, то вместо общего решения (1. 2) — (1. 6) достаточно найти 2N линейно независимых частных решений. Эта проблема будет решаться при следующем упрощении. Пусть В — характерная толщина вихря. Можно, например, приравнять В тому значению г, при котором циркуляция равна половине максимальной. Обозначим через Ь характерную длину возмущения, измеренную вдоль оси х. Параметр Ь можно определить как минимальное расстояние, на котором модуль возмущения изменяется в два раза. Тогда положим
В = Ь. (1. 8)
Частные решения ищем в виде движущихся волн. Пусть волна движется вдоль оси х со скоростью Ук. В к-й подвижной системе координат Ок, г, хк = х — У^ движение стационарно: оно обусловлено скоростью на бесконечности V = -Ук. Положим
Агп (к) = АгПк/к (Хк).
Подчеркнем, что в данном выражении, в отличие от (1. 6), функция Агп (к) является
частным решением. Общее решение получится путем суммирования частных решений по к. Конкретную запись этой суммы удобнее сделать позднее. Там же будет дана и привязка функций

к начальным условиям (1. 6). В силу упомянутой стационарности благодаря (1. 8) уравнение (1. 2) и условие (1. 5) можно заменить законом сохранения массы:
П (гП+1 -гП) = П ип (гп+1 +Апк+1/к)2 -(гп +АгПк/к)
(1. 9)
Здесь ип — проекция вектора скорости на ось х, зависящая от к и Хк. По определению скорость на бесконечности V зависит от к.
Заметим, что в силу сделанных выше доопределений гп и Агп соотношение (1. 10) справедливо и при п = 0, и при п = N. Так, при п = N получим V = ип. Это требует отдельного пояснения. Здесь удобно зафиксировать величину Ь и считать гп при п & lt-N малыми. При п = N скорость ип получается из задачи обтекания тела вращения переменной толщины потоком со скоростью V. Эта задача решается путем размещения на оси тела источников или стоков подходящей интенсивности. При условиях (1. 7), (1. 8) плотность распределения источников q определится из следующего соотношения:
q дАгп 4 ¦ = V-п, п = N.
2пг дх
Здесь левая часть является скоростью от равномерно распределенных источников плотности q. Тогда искомый потенциал обтекания Ф запишется так:
Vг 7 дАг" (5)/д5 ф = XV п I _п ц_^
2 Г/ 2, 2'-
-7 (х — 5) + г
½
Видно, что здесь добавок к потенциалу равномерного течения имеет порядок не ниже Агп. Но из (1. 9) следует, что при п & lt- N аналогичный добавок имеет величину порядка Агп/гп. Следовательно, данный интеграл является величиной высшего порядка малости и его можно отбросить, что доказывает правомерность (1. 9) при п = N.
Стационарность позволяет заменить уравнение Коши — Лагранжа уравнением Бернулли. Запишем его для слоев с номерами п и п — 1:
1
& gt-(у2 + Ж2 (Гп)) + рхп (Гп) = 2Р
и2″ + (Гп + Агпк/к)] + Рп (Гп + Агкп/),
(у2 +Гп21 (Гп)) + р"п1 (Гп) = 2 рв21 +Ж21 (Гп +Агкп^)] + Рп-1 (Гп + Агкп/).
(1. 10)
Здесь рхп — давление в п-м слое при х = да, причем рхп (Гп) = рхп-1 (Гп). Из уравнений (1. 9)
и (1. 10) с учетом условия линеаризации (1. 7) можно получить систему линейных однородных уравнений. Для этого в (1. 10) почленно вычтем одно уравнение из другого, считая
рхт = рхп-1, рп = рп-1.
Тогда после группировки получим:
и2п — и2п-1 =Жп2 (Гп) — Ж2−1 (Гп)-Жп2 (Гп + Агкп/к) + Жп2−1 (Гп + Агкп/к).
Применяя (1. 1) и линеаризацию, правую часть представим в виде:
2АГк
(2п)
2 3
г:
(г2-Г2
(и п-
1) /и.
Левую часть запишем в виде произведения:
В + ип-1)(ип — Вп-1).
п-1
можно заменить
Поскольку разность Вп — Вп-1 имеет порядок Агп, то сумму Вп + В на 2У. Разность Вп — Вп-1 получится из (1. 9). В итоге после линеаризации, сокращения на /к и соответствующей группировки получим искомую систему:
Гп-1Гп Агк агп-1
г2 Агк
п п
2 2 г — Г
п
п-1
2 2 Г — Г
п
2 л к
Гп Агп Гп+1Гп Агк л2 Агк
2 2 2 2А гп+1 — АПпаГп ¦
п-1 п+1

Гп+1 Гп
(1. 11)
где:
л = -
2У2
К =
(Г-Г2−1)12
2пг"
(1. 12)
Заметим, что данные вычисления возможны лишь при монотонно растущей циркуляции:
г2 & gt-Г^-1.
Это еще одно ограничение, при котором проводится данное исследование. Система (1. 11) содержит N уравнений с N неизвестными Аг^ и неизвестное Л, которое должно определяться из условия нетривиальности решения системы (1. 11) и заключается в
1
равенстве нулю определителя системы. Это задача на собственные значения. При этом /к — произвольны.
2. Выше было сделано предположение, что частные решения могут быть найдены в виде движущихся волн. Для этого необходимо доказать, что система (1. 11) имеет нетривиальные решения при строго положительных значениях X. Только тогда (1. 12) будет разрешаться относительно V.
Заметим, что если систему привести к классическому виду, т. е. поделить каждое уравнение на кп, то она станет несимметричной. У такой системы полного набора нетривиальных решений может не быть. И тем не менее, все необходимые решения системы (1. 11) существуют. Это удается доказать при помощи следующих теорем:
Теорема 1.
При X & lt- 0 определитель системы (1. 11) не равен нулю.
Доказательство. Достаточно установить, что при X = 0 модуль диагонального элемента больше суммы модулей всех остальных элементов данной строки, т. е. нужно доказать, что при 1 & lt- п & lt- N
J =
г" -г,
п-1
г2 п гп-1гп гп+1гп
2 2 гп+1 гп 2 2 гп гп-1 2 2 гп+1 гп
& gt- 0.
После очевидных преобразований получаем:
J = г
Гп+1 гп
(гп + гп-1)(Гп+1 + гп)'-
(2. 1)
Поскольку гп+1 & gt- гп, то J& gt- 0. В алгебре доказывается, что определитель такой матрицы
не равен нулю. Если Х& lt- 0, то при переносе правой части (1. 11) налево диагональный элемент становится еще больше. Теорема доказана. Лемма.
Если вектор АЯ = (Дг^, Аг^, …) является нетривиальным решением системы (1. 12) при
некотором X, то Аг1 Ф 0.
Доказательство от противного.
Пусть Аг1 = 0, а АЯ нетривиально. Тогда из первого уравнения (1. 11) следует Дг2 = 0.
В силу этого из второго следует Аг^ = 0 и т. д. Но это противоречит условию нетривиальности АЯ.
Лемма доказана. Теорема 2.
Если имеется два линейно независимых решения системы (1. 11) АЯ = (Аг^, Аг^,…) и АК'- = (Аг1т, Аг2т,…), соответствующие собственным числам Х (к) и Х (т), то Х (к)фХ (т).
Доказательство от противного. Пусть Х (к) = Х (т). Тогда любая линейная комбинация АЯс + АЯ'-й, где хотя бы одно из чисел с или й не равно нулю, будет тоже нетривиальным решением (1. 11).
Поскольку, в силу леммы, например Агк Ф 0, то линейная комбинация АКАг& quot- - АК'-Аг^
будет нетривиальным решением (1. 11). Но первый член этого решения АгкАг& quot- - Аг& quot-Агк равен нулю. Тогда, в силу леммы, равны нулю и все остальные члены решения, что противоречит условию линейной независимости АЯ и АЯ'-. Теорема доказана.
Теорема 3.
Система (1. 11) имеет N линейно независимых решений.
к.
Доказательство. Введем новые неизвестные sn:
Дгк = / Н
п п I VI
Тогда из (1. 12) следует:
к
_ гп_1гп }!п1
г2 _ г2 ИИ ,
гп гп_1пппп1
Л
2 _ 2 V гп гп1
Гп+1 г
к
гп+1гп 5п+1
п

(2. 2)
(2. 3)
Гп+1 гп
п п+1
Можно заметить, что теперь матрица левой части системы стала симметричной. Для этого достаточно написать друг под другом п-е и п + 1-е уравнения. Из алгебры известно, что у такой матрицы имеется N линейно независимых собственных векторов, которые дают решения системы (2. 3). Но поскольку преобразование (2. 2) невырожденное, то и у системы (1. 11) тоже имеется N решений, что и доказывает теорему.
Но для общего решения задачи (1. 2) — (1. 6) необходимо 2N решений. В этой связи заметим, что каждому решению системы (1. 12) соответствуют два решения задачи (1. 2) — (1. 6). Одно является волной, движущейся со скоростью 1/-/2Х, а другое — волной, движущейся со
скоростью Таким образом, имеется 2N волн, и поскольку все они движутся с разными
скоростями, то соответствующие им решения линейно зависимыми быть не могут. Этим доказывается существование общего решения задачи (1. 2) — (1. 6).
Определим область изменения к как _N & lt- к & lt- N, причем положим Дг^ = Дг~к (при этом
Ук = _ У_к) и доопределим Дгп0: Дгп0 = 0.
Тогда общее решение (1. 2) — (16) можно записать так:
ДГп =ЪДГп1к (Х_Ук ().
(2. 4)
Здесь все функции / произвольны. Они определяются из начальных условий (1. 6). Заметим, что при ^ = 0 х = Хк. Поэтому, подставляя (2. 4) в (1. 6), получим такую систему линейных уравнений относительно /к:
Яп (Х) = ^ДГпк/к (Х),
к
вп (Х) = _ЕУкДГп1 /к (Х).
к
Однако здесь часть уравнений зависит от производных /'-. Это неудобно. Ситуацию можно исправить интегрированием по х. Тогда из второй части уравнений получим:
л.
| вп (Х)& lt-^Х = _^УкДГп/к (Х).
Теперь в совокупности с первой частью линейных уравнений получается обычная система линейных уравнений с невырожденной матрицей.
Однако важное значение имеет та волна, которая движется с наибольшей скоростью. Это соответствует наименьшему значению X. Для ее отыскания удобно записать систему (2. 3) в векторной форме. Для этого символом, А обозначим матрицу левой части системы (2. 3). Ее элементы а^ имеют вид:
к
а]] -, 2
Г Г * ] 1
к к 2 2
к к] Г — Г * ]
2 (1
Г]
I* - ] - 1,
2 2 2 2
V ] - Г] -1 Г] -1 — г]у
а] - 0, I* - & gt- 1.
Это позволяет записать систему (2. 3) в виде:
ЛЯ = А8,
где Я -(s'-k, 4, …).
Найти решение, соответствующее наименьшему значению А, можно при помощи следующего итерационного процесса [4]:
ЛЯт+1 — Ят/|Ят|. (2. 5)
Здесь т номер итерации. Видно, что роль, А играет 1/ |Ят|. Поскольку, А —
трехдиагональная матрица, то система (2. 5) может решаться методом прогонки. Возникает вопрос об устойчивости этого метода применительно к системе (2. 5). Теорема 4.
Метод прогонки, примененный к системе
AW = Z, (2. 6)
где Z — заданный вектор, а W — искомый, устойчив.
Доказательство. Вначале рассмотрим процесс прогонки для другой системы.
BW = Z. (2. 7)
Здесь элементы Ь*] матрицы В определены так:
Ъ*] - ]. (2. 8)
Сравнивая элементы Ь*] с элементами системы (1. 11), можно заметить, что они отличаются от последних делителем к]. Поэтому, используя (2. 1), получим:
Ы -|Ь*-1/1-|Ь*+1/1- кг & gt- п]
Диагональные элементы матрицы В выделены, что является достаточным признаком устойчивости прогонки (2. 7). Но у матрицы А, в общем случае, диагональные элементы не выделены. В этой связи обратим внимание на то, что метод прогонки на уровне арифметических операций полностью совпадает с одним из вариантов метода исключения Гаусса, где одна строка матрицы, будучи умноженной на некоторый множитель, складывается с другой строкой. Причем, устойчивость данного процесса определяется ростом или отсутствием роста множителей, на которые умножаются строки матрицы А. Но из (2. 8) следует, что каждый столбец этой матрицы, отличается от соответствующего столбца матрицы В на делитель к*. Поскольку величина этого
делителя от номера строки не зависит, то упомянутые множители в методе Гаусса, примененном к системам (2. 6) и (2. 7), одинаковы.
Следовательно, если прогонка для системы (2. 7) устойчива, то она должна быть устойчивой и для системы (2. 8).
Теорема доказана.
3. Рассмотрим результаты некоторых расчетов.
Пусть N = 1. В этом случае система (1. 11) — (1. 12) после очевидных преобразований будет сведена к одному уравнению:
2
Дг/ = Ж2 Дг/, (3. 1)
2У 2
где Ж = Г/(2пг). В данном случае это максимальная скорость вращательного движения частиц
2 2 /
среды. Из (3. 1) следует, что нетривиальное решение этого уравнения существует при У = Ж /2. Получаем:
у=Ж у, = _Ж
У л/Г 1 л/2.
Причем, вектор Дгпк здесь является числом, которому можно придать значение, равное единице.
Тогда, применяя формулу общего решения (2. 4), найдем:
Дг'-=А (Х _ 72'-)+(Х+Ж'-)¦
Здесь функции /, /_, — произвольны. Подставляя Дг, в (1. 6), получим:
/ = 1 /1 2
((Ш (Ш Л)
Я
Ж ,
Х---= '- 1_ С
V V
Ж
Х---= '-
/-=2
(
42) V 42
Ж) (Ж
*1Х ^ '-) + СIХ + Т2 '-
Функция с (5) имеет вид:
42 5
с = - о^.
ж * ^
Можно построить уравнение, общим решением которого является Дг1. Это хорошо известное уравнение колебания струны. Здесь оно приобретает такой вид:
д2 Дг, Ж2 д2 Дг, = о
д'-2 2 дХ2 & quot- '-
Это уравнение гиперболического типа. Данное соответствие показывает способность вращательного движения частиц среды имитировать упругую силу. Если в некотором месте вихревой шнур стал толще, то вращательная скорость движения частиц среды здесь станет меньше,
а давление — больше, имитируя упругую силу, которая препятствует расширению или сужению шнура. Здесь полная аналогия с упругой трубой.
Но количество волн зависит от числа разбиений при дискретизации. Возникает вопрос о предельных параметрах решения при стремлении числа разбиений к бесконечности.
Одним из важных параметров является скорость той волны, которая движется быстрее других. В нелинейном случае это обычно единственная волна, которая реализуется и к поиску которой сводится исследование. Поэтому рассмотрим следующую задачу. Пусть
Г (г) = Г"(1 — ехр (-0. 5г2/р2)). (3. 2)
Это наиболее характерная циркуляция. Она возникает при диффузии дискретного вихря. Здесь значение г = р соответствует точке перегиба в графике Г (г). Рассмотрим процесс распространения возмущений. Скорость движения волн отнесем к максимальной окружной скорости движения частиц средытах:
Г
= 0. 451 & quot-

Это достигается при г = 1. 585р. Придадим числам гп такие значения, чтобы при заданном N циркуляция Г определялась так
Г = г п
N +1
Тогда из (3. 2) получим
2 о 2, N +1 rn = 2р Ы-
N +1 -п
Это достаточно для записи системы (2. 3). Решая ее методом (2. 5), найдем, что
при N = N = 32, = V = 0. 975 370,
1 w
max
при N = N2 = 40, -= V2 = 0. 980 647, (3. 3)
Wmax
при N = N3 = 50, -= V3 = 0. 984 955. 3 W
max
Окончательный результат получим, применяя экстраполяционный метод Эйткена [4]. Он заключается в следующем. Предполагается, что
V C
V = V C
W 0 Nk'-
max 1 v
Здесь V), C, k — неизвестные. Из (3. 3) можно получить три уравнения:
C/N = V -V0, C/N^ = V2 -V0, C/Nk = V3 -V0.
Если числа N1, N2, N3 подобраны так, что N1N3 = N2, то данная система легко решается относительно V0. Получим
= = 0 V (+ V — 2V2
То есть в пределе при N ^& lt-х>- максимальная скорость движущейся волны стремится к максимальной скорости вращения частиц среды в вихревом шнуре.
Заключение. Рассмотрена задача о распространении малых двумерных возмущений вдоль невязкого вихревого шнура. Постановка задачи совмещена с дискретизацией циркуляции. Решение проводится при условии, что характерная длина возмущения вдоль оси вихря L существенно больше характерной толщины вихря D. Задача сводится к поиску собственных векторов и чисел у трехдиагональной матрицы. При этом каждый собственный вектор соответствует некоторой движущейся волне, а каждое собственное число определяет скорость этого движения. Для вихревых шнуров, циркуляция которых монотонно зависит от расстояния до оси шнура, доказано
существование собственных векторов и чисел, соответствующих действительным значениям скоростей движения волн. Найдено, что все волны движутся с разными скоростями. Доказано существование решения задачи о распространении возмущений при ступенчатом распределении циркуляции. Для наиболее характерного вихревого шнура найдена максимальная скорость движения волны. Она оказалась равной максимальной окружной скорости вращения частиц среды в шнуре.
ЛИТЕРАТУРА
1. Schlichting H. Uber die Theorie der Turbulenzentstehung. Zusammenfassender — Bericht. Forschg. Ing. — Wes. 16, 65−78 (1950).
2. Нейланд В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 4.
3. Гайфуллин А. М. Расчет характеристик течения в ядре вихревой пелены // Ученые записки ЦАГИ. 1989. Т. 20, № 1.
4. Т у р ч, а к Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987.
Рукопись поступила 13/VI2006 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой