О теореме вложения для пространств Соболева со смешанной нормой для предельных показателей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика
УДК 517. 5
О теореме вложения для пространств Соболева со смешанной нормой для предельных показателей
Н. Б. Викторова, И. Л. Куценко
Кафедра нелинейного анализа и оптимизации Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117 198, Россия
Доказана теорема вложения в двумерном случае для предельных показателей. Ключевые слова: теорема вложения, пространство Соболева, смешанная норма.
1. Введение
Определение 1. Пусть п € N р = (р1,…, рп), где 1 & lt- рг & lt- то, г = 1, п. Говорят, что функция f € Ьр (Кп), если f измерима на Кп и конечна следующая смешанная норма
Рг,…, Рп НЬр (ип)
(((
I / ГУ& quot-!
У … / (/ I/(Х1,…, Хп) Г ?X! I
Р3
§ 2 —
1
Рп
?Хг
— ос
V
/
/
Если некоторое рг = то, то в этом выражении вместо интеграла по Хг понимается существенная верхняя грань по этой переменной.
Основные свойства пространства Ьр ((К)п) изложены, например, в [1,2].
Определение 2. Пусть I € М, р = (р1,…, рп), где 1 & lt- рг & lt- то, г = 1, п. Говорят, что функция / € Wр (Rn), если / € Ьр (Кп), для любого мультииндекса
п = I существуют обобщённые производные
а = (а1,…, ап) с |а| = а1 + … + а. Ба/ и конечна норма \/(К")
|а|=г
Определение 3. Говорят, что нормированное пространство Zl вложено в нормированное пространство Z2 (Z1 ^ Z2), если 1. Zl С Z2-
2. Существует такое С & gt- 0, что для любых / € Z1 \/\2 (т.е. оператор вложения I: Zl ^ Z2 непрерывен).
& lt- С
Свойства пространств Соболева со смешанной нормой Wр (Кп) и теорема вложения для них изложены в [2,3].
Будем рассматривать вопрос о том, при каких условиях на параметры справедлива теорема вложения
'- (1)
WI (К п) ^ Ц (К п).
Простые примеры показывают, что для справедливости этого выражения необходимо, чтобы
1 ^ рг ^ ^ то, i = 1, п (2)
Статья поступила в редакцию 14 сентября 2009 г.
Рп
Рп- 1
Z
1
и чтобы
п
№ Я.

П /
В непредельном случае, когда (- 1) & lt- ?, в [3] доказано, что при выпол-
г=1 ^ '-
нении условия (2) вложение (1) имеет место. В предельном случае, когда
Ш — ^ = '-'- (4)
в [3] справедливость вложения (1) установлена при некоторых дополнительных предположениях, а именно доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть
I е N 1 & lt- рг & lt- qi & lt- то, % = !, п — 1, (5)
1 & lt- Рп & lt- Яп & lt- то при 1 = рп & lt- Яп = то, (6)
и выполнено соотношение (4), тогда имеет место вложение (1).
В [3] теорема вложения 1 доказывается на основе некоторого интегрального представления функции f через её производные. Непредельный случай не вызывает особых затруднений: достаточно воспользоваться п раз обобщённым неравенством Минковского и неравенством Юнга для свёрток. В предельном случае дело обстоит иначе. На первых (п — 1) шагах применяются обобщённое неравенство Минковского и неравенство Юнга, а на последнем п-м шаге применяется неравенство Харди-Литтлвуда, что и приводит к ограничению 1 & lt- рп & lt- Яп & lt- то (случай рп = 1 и дп = то не требуют дополнительных оценок).
Отметим, что условие (6) не является необходимым для справедливости вложения (1), как это следует, например, из более раннего результата, полученного в [4], который на языке пространств со смешанной нормой может быть сформулирован следующим образом.
Теорема 2. Пусть I е N 1 & lt- т & lt- п, р1 = … = рп = р, я1 = … = я-т = я, Ят+1 = ••• = Яп = то, причём 1 & lt- Р & lt- Я & lt- то, и выполняется условие (4), принимающее вид
^ -™ = I. (4'-)
Р Я
Тогда имеет место вложение (1), теперь. записанное следующим образом
Wг (p,.., р) (К& quot-).. , д,^,… ,^). (1'-)
В связи с указанными соображениями возникает вопрос о том, насколько существенным является условие (6) и нельзя ли заменить его условием 1 ^ рп ^ Яп ^ то. Целью настоящей работы является доказательство того, что во всяком случае при п = 2 это сделать можно.
Отметим, что при п = 2 из условий (2) и (4) следует, что I = 1 или I = 2, причём при I = 2 р1 = р2 = 1 и д1 = д2 = то. В последнем случае (это случай несмешанной нормы) 1)(К2) ^), причём
I & lt- 1
д2/
дх1дх2
• (7)
1,1
Таким образом, достаточно рассмотреть случай I = 1.
2. Основные результаты
Теорема 3. Пусть
1 ^ Р1 ^ Ц1 ^ то, 1 ^ Р2 ^ Я2 ^ то
1 1 1 1
---±--= 1,
Р1 & lt-?1 Р2 & lt-?2
(8) (9)
причём при д1 = д2 = то дополнительно предполагается, что р1 = 1, р2 = то или наоборот р1 = то, р2 = 1. Тогда

причём для любых / € р2)
II/И*,* & lt-
где
с, = 1 Г1 + 1 -1
9/ 1 1 Р1 91 9/ _1___1 Р2 «2
дх1 Р1, Р2 дХ2 Р1, Р2
2 Р1 Р2
если д1 & lt- то или д2 & lt- то, и
(. р11 „1) 1−2(-1-Ц
т р1 Ч1 '-
• Р2
°1 = 2,
(10)
(11)
(12) (13)
если д1 = д2 = то (при этом р1 = то, р2 = 1 или р1 = 1, р2 = то).
Замечание. Будем говорить, что / € Ш
р, Г V
где 1 & lt- р, г & lt- то, если / € Ьр
и существует обобщённая производная f'- € Ьг
: II/ 11ь0(Ж) + II/'-Ньг (К). ПУсть 1 & lt- р,(1,г & lt- то- Известно,
Положим II/
р,
что для того, чтобы
ь“
необходимо и достаточно, чтобы р ^ д [5].
Лемма 1. Пусть 1 & lt- р, д, г & lt- то, причём р & lt- д. Тогда для любых / € W,
р, г
& lt- С2
1 -а Р
II/ '-У,
где
а
1 — + '-
Р Я / Р г (г'- - показатель, сопряжённый к г), а
— 1
С2 =

р_ г'-)
(14)
(15)
(16)
Доказательство. Пусть д = то. Тогда для? & gt- 0
= III/^
1» I ?
I ОО
— & lt-(2 11^ & gt-1)
1
? N * 2
ил{-1 • / '-I1 & lt- (2)1 (
(?-1)г'-
II/ %)?.
и
1
1
я
а
Выбирая? так, чтобы (? — 1) г'- = р, получим, что
/р + г'- V V 2г'-)
'- П + Т'- Р + г'- -Р.
& lt- I Е±- 1 \/\Р+^ -\/'-\
г
р+г
г
что совпадает с (14) при д = то.
Если д & lt- то, то достаточно учесть, что при д & gt- р воспользоваться (14'-).
& lt-
(14'-)
1-?
^ 9 и ?
Лемма 2. Пусть 1 & lt- р & lt- д & lt- то, f € W (, р® и д € Ьр Тогда,
где
I/19−1 ¦ 91 & lt- Сз
к-1-'- -и '-\р ,
'- =(1 — !) '-(- + !)-1, р д) р'- д]
Сз =
1 0 + *)
Р
(17)
(18)
(19)
Доказательство. Так как
III/Г^
йиР -ТТ& quot-
= III/1
9−11
1(9−1)Р
то (17) с произвольными / € W ((Р (К) и д € ЬР (К) эквивалентно неравенству
(, р
1 & lt- г
3 \У \(1 Р ¦ \/'-\р
с произвольными / € W?, р®.
А далее достаточно воспользоваться леммой 1.
(20)
?
Лемма 3. Пусть 1 & lt- р1 & lt- д1 & lt- то, 1 & lt- р2 & lt- то, / € WlРl р2) Тогда для почти всех х2 € К
где
д
дХ2
(у/М2)\-+7)
& lt- С4
^ ('-, Ж2)
Р1
ТГ& quot- ('-, ж2) ОХ 2
Р1
(Р1 & lt-?1) + «О ,
*=(-+1У'- 11 (-+1)
р[ дх) 2 р д1)
(21)
(22) (23)
Доказательство.
д [ ?'- 1 д/
— I |/(^, Ж2)|(1 ??л = д! I |/(Ж1,Ж2)|(1−1 (^, Ж2)(х1,х2)йх.
г
О (c)
9
а
1
Р
7
а
7
По лемме (2)
д [
01 I/(Х1, Ж2) Г ?Ж1
& lt- и • с3 ц/о^с-1−7
9/, , (-, Ж2)
Р1
^ (^, Ж2)
Р1
С3 вычисляется по (19) с заменой р на и д на Далее учитываем, что
а
дХ2
(I/(^ЦГ) = ^ + -11/(•,-2)!-1+7-- ^ - |/(-1,-2)|?
Лемма 4. Пусть 1 & lt- р1 & lt- ^ & lt- то, 1 & lt- р2 & lt- то и
111
---+ - = 1
Р1 & lt-?1 Р2
(24)
или д1 = то, и при этом р1 = 1, р2 = то или р1 = то, р2 = 1.
Тогда для любых / € р2)(К2} справедливо неравенство (11), принимающее
вид
11, —
& lt- С
5 •
5/ 1 р2 9/
5ж1 Р1, Р2 дХ2
1
Р1, Р2
где Съ = 2 д 12 К2
1
при & lt- то и С5 = 2, если = то.
Доказательство. Пусть д1 & lt- то. Тогда
(25)
Р2
91, —
2
1
& lt- -2
д
дХ2
С
& lt-
С4
д/

Р2 -1
Р1

ЙЖ2
Р1
& lt-
91 Р2 1 91 Р2 1
дх1 Р1 р2 ЙЖ2 Р1 2 Р2 дх1 Р1, Р2 ЙЖ2
Р1, Р2
откуда и следует (25).
Если р2 = то, то д1 = то, р1 = 1.
Пусть = то. Тогда при р1 = 1, р2 = то неравенство (25) принимает вид
I & lt- 1
д/
дх1
1,
При р1 = то, р2 = 1 (25) имеет аналогичный вид. Лемма 5. Пусть 1 & lt- р1 & lt- то, 1 & lt- р2 & lt- д2 & lt- то и
111
— ±--= 1
Р1 Р2 42
?
(26)
или д2 = то и при этом р1 = 1, р2 = то или наоборот. Тогда для любых / € р2)(^2) справедливо неравенство (11), принимающее вид
I-, 92
& lt- Се
1 Р1 91
дх1 Р1, Р2 9X2
Р1, Р2
1 1 —е = ^& lt-?2 Р2
при д2 & lt- то и Се = 2 при д2 = то.
7
2
1
1
В доказательстве повторяются выкладки, изложенные при доказательстве леммы 1. Применяя окончательно лемму 4, получим искомое неравенство (27). Докажем теорему 3.
Доказательство. Случай q1 р2 = 1) рассмотрен в лемме 4.
q2 = то (тогда р =1, р2 = то или р = то,
-1
Пусть д1 & lt- то или д2 & lt- то. Тогда ^ + ^ & gt- 1. Положим г = ^^ + 1 — Тогда 1 = - + -. Выберем в = -1 + 1. Так как 1 = -1- +, -1
^ г 91 92 1 12 91 42 / 91 ^ го'- 9
& lt-
1Я10.
Применяя леммы 4 и 5, имеем
^ + 0, то
СЮ Г '-
I 91,92 ^ 0 '- С6
df 1-е i в +pi df 1-е i в P2 + p!
dx1 Pl, P2 dx2 Pl, P2
_. <--, 1−0 = '-
df i _ i Pi 91 df _1___i_ P2 «2
dx1 Pi, P2 dX2 Pi, P2
откуда следует (11) с С1 = С5 0 ¦ С0.
?
3. Заключение
В работе доказана теорема вложения Wlpl р2)(М2} в Ь (42)(К2} при всех допустимых значениях параметров, включая неисследованные ранее.
Литература
1. Benedec A., Panzone R. The Space LP with Mixed Norm // Duke Math. J. — 1961. — Vol. 28, No 3. — Pp. 301−324.
2. Гудиев А. Х. Теорема вложения для следа в абстрактных функциях // Докл. АН СССР. — 1962. — Т. 147, № 4. — С. 764−767.
3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теорема вложения. — М.: Наука, 1975.
4. Gagliazdo E. Proprieta di Alcune Classi di Funzioni in Piu Variabili // Ricerche di Mat. — 1958. — Vol. 7, No 1. — Pp. 102−137.
5. Габушин В. Н. Неравенства для норм функции и её производных в метриках Lp // Математ. заметки. — 1967. — Т. 1, № 3. — С. 291−298.
UDC 517. 5
About Embedding Theorem for Sobolev Spaces with Mixed Norm for Extreme Indices
N.B. Victorova, I. L. Kutsenko
Department of Optimization and Nonlinear Analysis
Peoples'- Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., 117 198, Moscow, Russia
The embedding theorem is proved for extreme indices in two-dimensional case. Key words and phrases: embedding theorem, Sobolev space, mixed norm.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой