Отображение аффинного пространства в многообразие нуль-пар проективного пространства

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 514. 763
ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ НУЛЬ-ПАР ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
М.А. Аль-Хассани, Е.А. Молдованова
Томский политехнический университет E-mail: eam@tpu. ru
Изучаются дифференцируемые отображения аффинного пространства в многообразия всех невырожденных и всех вырожденных нуль-пар проективного пространства. Рассматривается связь между этими отображениями.
Ключевые слова:
Дифференцируемые отображения, многомерные пространства. Key words:
Differentiable mapping, multidimensional spaces.
1. Введение
Как известно [1], одной из важных проблем в теории дифференциально-геометрических структур на многообразии Мх является проблема изучения этих структур для дифференцируемых отображений. Исследованиям таких структур посвящены [2−8]. Среди этих работ особое место занимает [4], где автор указал на возможность определения дифференцируемых отображений заданием фундаментального геометрического объекта.
Данная работа посвящена изучению отображений /и2& quot-: & lt-2т^И2″ и/и2& quot--1: аффинного про-
странства От в многообразие М2п всех невырожденных нуль-пар и многообразие М2п-1 всех вырожденных нуль-пар проективного пространства Рп, соответственно. Второй раздел посвящен аналитическому аппарату, в котором выводятся дифференциальные уравнения отображений /т2п и /т2п-1. В третьем и четвертом разделах показывается, что с каждым из указанных отображений инвариантным образом ассоциируется другое отображение.
Все построения в данной статье носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С?.
Обозначения и терминология соответствует принятым в [1−12].
2. Аналитический аппарат
Рассматривается т-мерное аффинное пространство & lt-2т, отнесенное к подвижному аффинному реперу & lt-2={В,-а} с деривационными формулами и структурными уравнениями:
йВ = ?аеа, й? а =вьаёь, Бва =вь ле",
оеьа =е: ле, (а, ь, с=1т). (1)
Рассматривается п-мерное эквипроективное пространство Рп, отнесенное к подвижному экви-проективному реперу Р={Л} с деривационными формулами и структурными уравнениями:
й А3 = а'-КАК, Б & amp-К =& amp-! л& amp-К, (1,3,К = 0, п). (2)
Здесь предполагается, что линейно независимые точки ЛКеРп удовлетворяют условию:
К, 4…, А] =1, (3)
т. е. внешнее произведение аналитических точек Ак равно 1. Из (2) и (3) получаем юК=0. Обозначим М2п множество (дифференцируемое многообразие) всех невырожденных нуль-пар {М-Ьп-1} проективного пространства Рп, где точка М не принадлежит гиперплоскости Ьп1 в Рп. Проективный репер Р выбирается так, чтобы
М = А, Ьп_і = (Аі, Л2,, Я). _ _ (4)
Здесь и в дальнейшем символом Ь!_1=(Х1Д2,… Х) обозначается д-плоскость Ь, проходящая через линейно независимые аналитические точки ХЬХ2,…, Х. Тогда из (2) и (4) заключаем, что 1-формы и о- являются базовыми 1-формами дифференцируемого многообразия М2п, которые удовлетворяют структурным уравнениям:
Ою'-0 = оО л О/, Ою0 = О І лю/,
О/ = о і - 8/ юО (і, /, к, I = 1, п). (5)
Рассматривается отображение
С: Qm ^ М2п (6)
аффинного пространства & lt-2т в многообразие М2п. Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1), (2) и (5) будут иметь вид:
юО = Ааеа, оО = Аава,
& lt-Аа + А/ О/ - А вьа = АаЬ еь,
Аіа — А/а О/ - А/Ь 9Ь = АаЬ еь,
4аЬ] = 0 4[аЪ] = 0 (і,/ = 1, П- а, Ь =1,УП). (7)
Дифференциальным уравнениям (7) удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения (6) в смысле ГФ. Лаптева [4]:
Г2п = { а/, Аа }. (8)
Обозначим М2п-1 дифференцируемое многообразие всех вырожденных нуль-пар {М-Ьп-1} проективного пространства Рп, где МєЬ"_1. Проективный репер Р в данном случае выбирается так, чтобы
М = Ао, 1п-1 = (А1, А2,., Ап). (9)
Тогда с учетом (2) и (9) 1-формы оз0' и «, 1 являются базовыми 1-формами многообразия1 М2п-1, удовлетворяющими структурным уравнениям:
j° = а0 л Q0, Da, 1 = а! л Q j + а, 0 лй!,
и ° j 7 /1 j1 /i 07
Qj1 = ф!1 -^/l'-1 ф1, Op ji = 2, n — j& gt-j = 1, n). (io)
Рассматривается отображение
/Г-1: Q ^ M2n-1 (11)
аффинного пространства Qm в многообразие M2n1. Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1), (2) и (10) будут иметь вид:
ф° = 49″, dAa + 4 Qj — A 6? = Aab 9 ,
(c)I = 49, dAl» + Ali" Qj — A'- 9b + Ala° = Ab 9,
Ah, =0, Alab] = °
(a, b = 1, m- i, j = 1, n- i'-i, j = 2, n). (12)
Заметим, что дифференциальным уравнениям (12) удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения (11):
Г2n-i ={ Ai, A'-a}, (a=1,m- 1=1n- ii =2,n). (13)
В данной статье решаются следующие задачи:
Задача 1. Найти охваты компонент геометрического объекта (8) и их продолжения компонентами геометрического объекта (13) и их продолжений в смысле Г. Ф. Лаптева [4], т. е. выявить случаи, когда компоненты геометрического объекта Г2п являются функциями компонент объекта Г2п-1. Геометрически это означает показать, что с отображением (6) инвариантным образом можно связать отображение (11).
Задача 2 аналогична задаче 1 и является обратной к этой задаче, т. е. с геометрической точки зрения надо показать, что с отображением (11) инвариантным образом можно связать отображение (6).
3. Отображениеfm2n Qm^Mm,
В этом разделе будет проведено решение задачи 1: Дано отображение (6). Требуется инвариантным аналитическим и геометрическим образом найти отображение (11).
С помощью компонент геометрического объекта (8) и дифференциальных уравнений (7) в точке Be Qm рассмотрим следующие величины, удовлетворяющие соответствующим дифференциальным уравнениям:
gab = 1 4a 4 b), dSab — gcb 9 — gac 9 = & amp-bc 9 ,
2
g abc 2 (A (a CIA b|) + A (iAfbc)) —
(14)
det [gab ] * °, g bCgab = 5 ,
dgab + gc9 + gaa 9 = gf 9е, gf = -gslc ga gbt — (15)
Bj = 4Aibgah, dBj + Bk Qk-Bj Q = B (9 ,
Bl = Ajc4bgab + 4Abc gab + 4 Ab gb- (16)
* *
Cj = g A, aAjb, dCj -Cj Q -Cik Qk = Cijc 9',
?jC = gf^ + gabAiacAjb + gabAiaAjbc- (17)
Bj = B{4, dBj + B Qj-,
Bj = Bj4 + BjAic- (18)
Ba = АЛ, dBb — B, a Q — Bb 9b = L 9 ,
Btac = BiAja + Bkj — (19)
Gab = 2 BkBi44 b), dGab — G9 — Gac 9b = G^c 9C,
Gabc = 2B^A^Ajb) + 2BtBL 44b) +
+2 B^B4(a^) + 2 BkBl AaAj b) C- (20)
b
lc = 71 gabcgab, dlc — 19 = lcb 9 ,
7 _ 1^ rrab rrab.
cb m gabcs g m gabc gs —
Gabc = 3 g (abc) 3 ^(agbc) ,
dGh- Gh9s — G 9b — Gh9s = Gb 9s,
abc sbc a asc b abs c abcs '
1
3
(21)
Gabcs 1 g (abc)s 3 ^SIgbc) 3 ^'-t& gt-g, c) s — (22)
0= О ьОЬс, 0Ьс0ь =5с,
а аЬс 9 аЬ, а 9
й0Ьс + 0асеь + 0са еа = 0Ъсаеа, аег[0аь] * о, оЬс =а-о, а0Ьо'с, йОа — оьеьа = ов е,
о: =-0,00, 0ас1 = 0аЫ& amp- + 0аЬс0ь — (23)
0а = 0^Ьа, й0а + 0ьеаь = & lt-0С & amp- ,
о: = ёьс8Ьа + 0ь^а- (24)
Н' = А’а0а, йИ' + И] О) = И’сес,
Нс = А’ас0а + АО- (25)
Н, = А-а0а, йН, — НО 1 = не,
И с = А, ас0а + А^- (26)
(а, Ь, с, 5,1 = 1, т- 1,1, к = 1, п).
Замечание 3.1. В точке ВеОт рассматриваются т2 величин 44, зависящих от 2тп величин Ла и Аа (,=1,п- а, Ь=1,т). Поэтому при изучении отображения /т2п: От^М2п мы должны считать, что числа т и п удовлетворяют неравенствам т& lt-2п, т& gt-1, п& gt-1. Следовательно, определять все величины по формулам (13)-(25) имеет смысл.
Далее будут изучены поля инвариантных геометрических образов, определяемых полями величин
(14)-(26). Рассмотрим направление
и = (В, ёа) иа е ат. (27)
Из (4) и (2) с учетом (7) следует, что вдоль направления и точка Л0еРп описывает линию с касательной
х = (А, А) АУ, (28)
а характеристика СЬ (!п-1)и гиперплоскости! п-1 вдоль и, т. е. пересечение! п-1 со своей бесконечной близкой Ь'-п1 первого порядка вдоль и, определяется в точечных координатах X проективного репера Р пространства Рп уравнениями
х°=0, ЛаХ'-иа=0. (29)
Из (27)-(29) с учетом (14) получаем, что гиперконус 2 т_1е 2 т второго порядка с вершиной в точке В, определяемый уравнением
gaьuaub=0, (30)
представляет собой совокупность всех направлений и6 2 т, вдоль которых ХП! п-1бСЬ (!п-1)и. В силу
(15) и (30) гиперконус 22т-1^2т в общем случае не вырождается в гиперконус, по крайней мере, с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В. Из (15) и (30) замечаем, что гиперконус #т-ис2т, определяемый в тангенциальных координатах иа репера 2 уравнением:
Лиь=0, (31)
огибает гиперконус 22,-1с2т. Точке Ве 2 т сопоставим в соответствующей гиперплоскости! п-1бРп аналитическую точку
X = х’А, (32)
отвечающую геометрической точке X Из (7) и (29) следует, что множество всех направлений ие 2 т (см. (27)), образы которых при отображении (6) пересекают гиперплоскость! п-1сР" в точках СЬ (!п-1)ис!п-1, образует в 2 т гиперплоскость Гт-1(Х), определяемую в точечных координатах иа репера 2 уравнением ХЛ-аиа=0.
Образ полюса этой гиперплоскости относительно гиперконуса (30) при отображении (6) с учетом (31) и (16) пересекает гиперплоскость! п-1сР" в точке У с аналитической точкой У=уЛ, у=В-Х'-.
Такова геометрическая интерпретация центропроективного преобразования
П = {В/} (33)
с центром в точке Л0 такого, что П (A°X)=Л°У. Аналогичным образом получаем, что множество всех точек (32) с геометрическими точками X е! п-1 такими, что линейные поляры прообразов которых при отображении (6) принадлежат гиперконусу (31), образует в силу (17) в! п-1 квадрику 21-^!^, которая определяется уравнениями Х0=0, С-*ХХ=0. Отсюда следует, что уравнение С*ХХ=0 определяет в Рп гиперконус 2т-1 второго порядка с вершиной в точке Л0. Этот гиперконус представляет собой множество всех прямых Л0Х, пересекающих! п-1 в точках квадрики 22т2.
Из (6), (7), (28), (18) и (33) следует, что направлению (27) отвечает направление
7 = (А0, А У, У = В/Аи = В иа, (34)
которое является образом направления х при центроаффинном преобразовании П, причем направление хеРп — образ направления ие2т при ото-
бражении (6). Аналогично с учетом (19) и (29) получаем, что уравнение
В. 1ах'иа = 0 (35)
определяет при фиксированном направлении (27)
гиперплоскость в Рп — образ той гиперплоскости Л0иСЬ (Хп-1)и при преобразовании П, что при отображении (6) характеристикой вдоль направления (27) гиперплоскости! п-1 является СИ (!п-1)и.
Из (18)-(20) следует, что уравнение
ОаЬии = 0 (36)
определяет в 2 т гиперконус 02т1 второго порядка с
вершиной В как множество всех таких направлений (27), которым отвечают направления (34) в Рп, принадлежащие гиперплоскостям в Рп, определяемым уравнениями (35). Заметим с учетом (23) и (36), что в точке Ве 2 т в общем случае М [ ОаЬ] не равен нулю, т. е. в общем случае гиперконус От-1с2т вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку Ве 2 т.
Пользуясь условиями инвариантности точек и геометрических образов в аффинном пространстве 2 т и учитывая (1), (14), (15), (21) и (22), получаем, что уравнение
ОаЪсиаиьис = 0 (37)
определяет в 2 т алгебраический гиперконус
От-1 третьего порядка с вершиной Ве 2 т. Этот гиперконус вдоль всех направлений (27), принадлежащих гиперконусу 22т-ъ проходит через 22т-1 и бесконечно близкий (2 т-1) ' первого порядка, причем От-1 и 2т-1 аполярны.
Из (36) и (37) с_учетом (22) и (23) замечаем, что гиперплоскость Нт-1с2т определяется в аффинных координатах иа уравнением
(аиа=0 (38)
и аполярна относительно гиперконусов (ггт1 и 2т-1, т. е. квадратичная поляра любого направления ибОт-1 и гиперконус 2т-1 аполярны. Из (38) и (30) следует, что направление О=(В, -а) Оае 2 т полярно сопряжено гиперплоскости Нт-1с2т относительно гиперконуса 21−1^2т-
Из (25) и (26) с учетом (6) и (7) следует, что при отображении/т2п: 2-^M1n напр-вление О переходит в направление ^(Л^Л^ЛаО^^ДНеРго, а гиперплоскость !*-1сР", определяемая уравнением в проективных координатах НХ=0, проходит через точку Л0 и СИ (Хп-1)О. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3.1. С отображением /т2п: 2т^М2п (т& lt-п) инвариантным образом ассоциируется отображение /т2п-1: 2т^М1п1, где каждая вырожденная нуль-пара [Л,!^,^ состоит из точки Л0 и гиперплоскости А6^п-1.
4. Отображение/m2n-1-
В этом разделе будет приведено решение задачи 2: Дано отображение (11). Требуется инвариантным аналитическим и геометрическим образом найти отображение (6).
Из (12) и (9) с учетом (1) и (11) замечаем, что в точке _ Вє0т _ прообразом гиперплоскости
1п1=(ЛьЛг,…, А")єР" при отображении /т2& quot--1:
0т^М2пА является гиперплоскость Гт-1с0т, проходящая через точку В ив точечных координатах иа аффинного репера 0 определяемая уравнением:
Л]иа = 0.
(39)
Проводится такая канонизация аффинного репера 2, при которой
4 = 0, 4, * 0, (а, = 2^). (40)
Из дифференциальных уравнений (12) в точке Ве 2 т с учетом (40) и (2) получаются дифференциальные уравнения
01 = В1 6а,
а, а, а
аВ1 + В1 0,1 — В, 0^ - В1 0 = В1 Ь0, Ъ,
а, а а, а 1 Ъ, а а, а, Ъ, а а, аЪ 1 9
Ва = -(А1)-1 4^ в^, = В1Л] = 0,
(а, Ъ = 1, т- а, Ъ, = 1, п). (41)
С учетом (41) и в соответствии с [11] получаем, что канонизации аффинного репера 2 типа (40) существует. Геометрически с учетом (39) эта канонизация означает, что
Гт-1 = (В, ё2,^, еи) с От. (42)
При этом из рассмотрения исключается случай Л}=0, когда гиперплоскость Гт-1 либо не определена, либо определена неоднозначно.
Из (41) с учетом (42) и (1) следует, что вдоль направления (27) гиперплоскость Гт-1с2т будет изменяться параллельно самой себе тогда и только тогда, когда величины иа удовлетворяют уравнениям:
В, а иа = 0, (а, = 2, т -а = 1, т). (43)
Проводится такая канонизация аффинного репера 2 т, при которой
В, 11 = 0, ^[Д^] * 0, Ъ1 = 2 т). (44)
Из дифференциальных уравнений (41) с учетом (44) и (1) получаются дифференциальные уравнения:
0а1 = ДЖ, аД1 — вЖ + ВЪв?1 -Ва^вь = В 1, вь,
1 1а ' 1а 1а 1 1а Ъ,________1Ъ, а а, аЪ '
(а, Ъ = 1, т — а, Ъ, = 2, т).
Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [11] свидетельствуют о существовании канонизации аффинного репера 2 типа (44). Геометрически эта канонизация с учетом (43) означает, что направлением (27), о котором идет речь выше, будет
Г1 =(^ с От. (45)
При этом из рассмотрения исключается случай ёй [В1 ь ]=0, когда направления Г1либо вовсе нет, либо он1 1о определяется неоднозначно.
Из (12) с учетом (45) заключаем, что образом направления Г1 при отображении /2п-1: 2т^МЪ-1 является направление Ь1сРп вида
Х (Л0, Лі)Л1.
(46)
Проводится такая канонизация проективного репера Р в пространстве Рп, при которой
А, 1 = 0, А1 * 0. (47)
Тогда из дифференциальных уравнений (12) с учетом (47), (2), (40) и (41) получаются дифференциальные уравнения
& lt- = 40,
аА, а — а& gt-- + АХ — 40 — А 4 = А1ъ 0Ъ, (48)
Здесь явный вид величин Л1аь для нас несущественный.
Из дифференциальных уравнений (48) в соответствии с [11] замечаем, что канонизация проективного репера Р типа (47) существует. Геометрически — учетом (46) эта канонизация означает, что !1=(Л0, Л1).
Из (9) и (45) с учетом (2) следует, что характеристикой СИ (!п-1)г гиперплоскости! п-1 в направлении Г1 будет (п-2)-плоскость !п-2, определяемая уравнениями:
х1 = 0, А, 1×0 + х'-! 41, = 0. (49)
Проводится канонизация проективного репера Р, при которой
4 = 0, А! * 0. (50)
Из дифференциальных уравнений (12) с учетом (2) и (49) получаются дифференциальные уравнения
& lt- = 40,
& lt-Аа + Аа®00 — Аа& lt- - 4ъ0 + 41 & lt- = 4ъ. (51)
Эти дифференциальные уравнения в соответствии с [11] свидетельствует о существовании канонизации репера Р типа (50). Геометрически эта канонизация означает, что
1п-2 = (42,…, 4) с Рп. (52)
Точке Ве 2 т сопоставим точку Хе!1, соответствующую аналитической точке
X = х0 4 + х14,. (53)
Из (2), (42) и (52) с учетом (51) следует, что нефокальная [12] точка (53) будет описывать л-нию с касательной в нефокальном направлении и=(В,-а)иа1еГт-1, которая вместе с прямой !1 пересекает (п-2)-пло-скость !п-2 в точке У (х)=(ХЛа1+х1Л1а11)Л, 1иа1, (а1=2,т). Эта нефокальная точка оп1 исыв1ает1 вдоль того же направления иеГт-1 линию с касательной, которая вместе с! п-2 пересек-ет прямую !1 в точке Z (x)=(x0Лa-+x1Л-al)(лilьlЛ°+Л1ilь1-l)ualuЬl. Отсюда следует, что множество всех направлений иеГт-1 таких, что И (х) совпадает с точкой Л0, образует в аффинном пространстве гиперконус, который пересекается с Гт-1 по конусу Кт-2(х0,х1) и определяется в аффинных координатах репера 2 т уравнениями
и1 = 0, (х0Ра1ъ1 + х1даА) иа1иЬ1 = 0, (а, Ъ, = 2, т). (54)
Здесь симметрические величины раА и да^ определяются по формулам и в силу (12) и (51) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:
Ра1ъ1 ^ (а14'-11Ь1),
ФаА — РсфК — Р"ц$! = РаЬа в" ,
а1Ъ1 2 4,(а14*1 lЬl),
аД — & lt-Чс1Ъ1ва1 — Чау, вЪ, — ЧаЬ, Ю1 = ЧЬа 0 ,
(а, Ъ, с, = 2, т- а = 1, т). (55)
Здесь явный вид всех величин рафа и для нас
не существенный.
Таким образом, каждой точке (53) отвечает КЦ^Х^сГ^. Из (54) следует, что точке Л отвечает конус К}__ъ определяемый уравнениями
и1 = 0, раА иа1иЬ = 0. (56)
Из (55) заключаем, что в общем случае в точке Ве 2 т выполняется условие
ЛЛ^] * 0, (57)
т. е. конус Кт^сГ^ не вырождается в конус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку В.
С учетом (57) введем в рассмотрение величины ра1ь1 по формулам
раАРьл =, (а1,Ъ1,С1 = 2, т). (58)
В силу (55) величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям
фаА + рФдщ + р^аЬг = раь1в°. (59)
Здесь явный вид величин р1 для нас не существенный.
Определение 4.1. Точка Хе!1, отвечающая точке Ве 2 т, называется центром прямой !1, если конусы Km-1(X°, х1) и Кт-2 аполярны.
Из (54) и (56) в силу (58) следует в соответствии с определением 4. 1, что точка Тбудет центром прямой !1 тогда и только тогда, когда
(т — 2) х0 + чаАраА х1 = 0. (60)
Проводится такая канонизация проективного репера, при которой
ЧаА РА = 0. (61)
Из дифференциальных уравнений (55) и (59) с учетом (2) получаются следующие дифференциальные уравнения
ф'-0 = 4Хава, аА, а — (©! -00°)4а — Ль#! = 4^.
В соответствии с [11] эти дифференциальные уравнения свидетельствуют о существовании канонизации проективного репера типа (61).
Геометрически в силу (60) эта канонизация означает, что точка Л1 является центром прямой !1. Из (52) следует, что каждой точке Ве 2 т отвечает гиперплоскость
4−1 = (А, 42,…, лп) = а, и4−2 с Р, 40 г 4_ 1. (62)
Таким образом, с учетом (62) доказана теорема.
Теорема 3.1. С отображением/т2п-1: 2m^¦M1n-1 инвариантным образом ассоциируется отображение /2п: 2т^Мъ, где каждая невырожденная нуль-пара [Л0-!п-1} состоит из точки Л и гиперплоскости! п-1, не проходящей через точку Л0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г, Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геом. — 1979. -Т 9. — С. 3−246.
2. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Геометрия. -1963. — С. 65−107.
3. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1971. — С. 153−174.
4. Лаптев Г. Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Тр. Геом. Сем. — 1974. — № 16. — С. 37−42.
5. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Е[т] в аффинное A[n](m& lt-ri) // Известия Томского политехнического университета. — 2009. -Т. 314. — № 2. — С. 5−9.
6. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О дифференцируемом отображении евклидова пространства Е[т] в аффинное A[n](m& gt-n) // Известия Томского политехнического университета. — 2009. — Т. 315. — № 2. — С. 6−9.
7. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства // Известия Томского политехнического университета. — 2010. -Т. 317. — № 2. — С. 5−8.
8. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. Отображения аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. — 2010. — Т. 317. — № 2. — С. 8−14.
9. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -1953. — Т. 2. — С. 275−382.
10. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТП, 1948. — 432 с.
11. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). — 1962. -№ 2. — P. 231−240.
12. Акивис М. А. Фокальные образы поверхности ранга r // Известия вузов. Математика. — 1957. — № 1. — С. 9−19.
Поступила 03. 12. 2012 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой