Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 2(22)
УДК 517. 54
И.А. Колесников
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЙ СЧЕТНОУГОЛЬНИК С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА
Получено аналитическое представление голоморфного в верхней полуплоскости отображения с симметрией переноса вдоль вещественной оси в виде дифференциального уравнения. Для одного частного случая получено аналитическое представление в интегральном виде.
Ключевые слова: счетноугольник, симметрия переноса, линейные дифференциальные уравнения класса Фукса, конформные отображения.
Одним из основных направлений в геометрической теории функций является задача о построении конформного отображения одной односвязной области на другую, возникшая благодаря работе Римана 1851 г. В различных приложениях теории функции комплексного переменного используются, прежде всего, отображения, построенные для конкретных областей, а также количественные оценки и качественные особенности этих отображений. В качестве области определения обычно выбирают каноническую односвязную область или единичный круг, или верхнюю полуплоскость. В данной работе получено уравнение для отображения с симметрией переноса верхней полуплоскости на круговой счетноугольник.
Определение 1. Область Д назовем областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании сдвига вида Ь (^)=м& gt-+2% область остается неизменной ЦД)=Д.
Ограничимся рассмотрением областей типа полуплоскости, т. е. таких областей, у которых при указанном преобразовании сдвига среди всех простых концов в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец.
Определение 2. Круговым счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть односвязную область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси с границей, состоящей из счетного числа дуг окружностей.
Будем считать, что часть границы кругового счетноугольника с симметрией переноса от точки ю0 до точки ю0+2л состоит из конечного числа дуг окружностей.
Согласно теореме Римана, существует однолистное и конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетноугольник.
Определение 3. Отображением с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п будем называть отображение /: П+ ^ С, такое, что /(П+) = Д, где П+ = {г: 1 т г & gt- 0} - верхняя комплексная полуплоскость, Д — круговой счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.
Замечание 1. Отображение с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п удовлетворяет условию [1] /(г+2пк)=/(г)+2пк, к є Z, г є П+.
Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса
Двигаясь от ю0 к ю0+2л по границе области Д в положительном направлении, будем обозначать последовательно встречающиеся угловые точки границы через
нижнюю полуплоскость П = {г: 1 т г & lt- 0} согласно принципу симметрии. Получим функцию /*(!), конформно отображающую нижнюю полуплоскость П- на
Это голоморфное отображение можно снова продолжить через любой интер-
Предположим, что мы выполнили все возможные аналитические продолжения описанного вида. В результате получится бесконечнозначная аналитическая функция, для которой исходная функция / (г) является в верхней полуплоскости одной из однозначных ветвей. Различные значения функции в точке г связаны дробно-линейным преобразованием.
Заметим, что различные ветви, /' продолженной функции / заданные на
верхней или нижней полуплоскостях, связаны дробно-линейным преобразованием
Определение 4. Пусть функция /: П+ ^ С голоморфна в верхней полуплоскости П+ и имеет производную, не принимающую значение ноль. Производной Шварца [1, с. 399] функции / в области П+ называется функция
А°, А°,…, А°, А° Ф А10 + 2п, а углы области Д соответственно а1п, а2п,…, аип. Прообразы вершин Ак счетноугольника Д обозначим а1, 5 = 1,…, и, к = 0, ±1, ±2,. Интервал, начинающийся в точке а5к, 5=1,2,…, и-1, к=0,±1,±2,…, и оканчивающийся в а5+1 обозначим 1,. Когда точка г пробегает интервал 1%, двигаясь слева направо, точка ю=Дг) пробегает дугу Ь, границы области Д, начинающуюся в точке Ак так, что область Д остается слева. В силу принципа симметрии Римана -Шварца [1] отображение /(г) голоморфно вплоть до интервалов 1, и аналитически продолжается через эти интервалы.
Продолжим отображение /из верхней полуплоскости П+ через интервал I% в
круговой счетноугольник А* симметричный области, А относительно Ьк,.
чк *
вал 15, в верхнюю полуплоскость, причем новое аналитическое продолжение
/**(г) будет реализовать конформное отображение верхней полуплоскости П+ на счетноугольник А** симметричный счетноугольнику А* относительно дуги Ь,.
Замечание 2. Производная Шварца {/(г), г} инвариантна относительно дробно-линейного преобразования функции /.
В силу замечания 2 видим, что {/5, г} = {/, г}, где /5 и / - различные ветви продолженной функции /(г), заданные в верхней или нижней полуплоскости. Таким образом, производная Шварца {/(г), г} функции /(г) является однозначной. Заметим, что /'-(г) Ф 0, поэтому отображение {/(г), г } голоморфно во всей плоскости за исключением точек а%, а%,…, акп, к = ±1, ±2,.
Особые точки функции {/(I), z}
Обозначим {/ (г), г} = -Р (г). Изучим поведение функции Е (г) в ее изолированных особых точках. Предположим сначала, что угол в вершине образован ду-
гами окружностей или дугой окружности и прямолинейным отрезком А1к_1А& gt-к, А^А^ и имеет величину а5п, а5 е (0,1) и (1,2). Тогда, при достаточном продолжении сторон такого угла, они пересекутся еще в некоторой точке, обозначим ее
а%
А*. Дробно-линейным отображением ю (^) = е'-1-*- переведем область
& quot- - А*к
ие (А,) П А, где ие (А5-) — некоторая окрестность точки Ак радиуса е, е & gt- 0, в прямолинейный угол с вершиной в начале координат. Причем параметр у выберем так, чтобы точки из окрестности Пе (А,) П, А переходили в точки
0 & lt- ал? ю& lt-ла 5 (1)
некоторой окрестности нуля.
Последующим преобразованием ю1 = юа этот угол переводится на лежащую в верхней полуплоскости Ю1-плоскости часть окрестности точки ноль. Функция ю1(г)=ю1(ю (/г))) взаимно однозначно и конформно отображает часть верхней полуплоскости г-плоскости на часть верхней полуплоскости о^-плоскости, причем
к
участок вещественной оси в окрестности точки а, переходит в участок вещественной оси в окрестности точки Ю1=0. Функция Ю: (г) согласно принципу симметрии продолжается на полную окрестность точки ак и, являясь голоморфной функцией, представляется рядом
(r)1 (г) = У ((5)(г — а,) + у (2?)(г — а,)2 +…, у^ Ф 0 (2)
с ненулевым радиусом сходимости. В этом ряду отсутствует свободный член, так как ю1 (ак) = 0, однако у (5) = ю| (ак) Ф 0, так как функция осуществляет конформное отображение. Поскольку при вещественных г вблизи точки г = а1, функция Ю: (г) вещественна, все коэффициенты у (5) — вещественны.
Возвращаясь к функции ю (г) = (со1(г))а, находим, что в окрестности а, функция о (г) представима в виде
ю (г) = (г — а,)а [с05) + С5)(г — а,) +…].
Отсюда можно получить разложение для функции Р (г) в окрестности точки ак, если учесть, что в силу замечания 2 {/, г}={о, г}. Тогда получим
{/, г} = 1 -ак 2 ±1~Т (+ (')(г — а,) + …),
2 (г — а,)2 г —
причем коэффициенты ц, также вещественны. Выделим главную часть разложения производной Шварца в ряд Лорана по степеням г — а1,. Обозначив = М,
5) +) (г — ак) +… = 5, (г), имеем
1 -а, М,
Р (г) = ------^+т + 5,(г), (3)
2 (г — а5) г а5
где М, — вещественный параметр, 5, (г) — голоморфная функция в окрестности
к
точки а5.
Предположим теперь, что угол в вершине А, образован прямолинейными отрезками и имеет величину а, п, а5 е (0,1) и (1,2). Тогда стороны угла при их продолжении пересекаются в бесконечно удаленной точке.
В этом случае с помощью линейного преобразования ю (^) = егу (V — А,) переведем окрестность Пе (А,)ПА вершины в угловую область (1) и, таким образом, сведем данный случай к предыдущему.
Наконец, рассмотрим случай, когда угол в вершине А, имеет величину а, п, где а,=0,1,2, при этом прилегающие стороны могут быть дугами окружностей, дугой окружности и прямолинейным отрезком. Кроме того, если а,=2, то угол может быть образован двумя прямолинейными отрезками.
В случае если угол имеет величину а,=0,1,2, продолженные стороны такого угла имеют одну общую точку, т. е. они касаются в точке А,.
С помощью дробно-линейной функции Ю (V) =---------^-Т + Ь переведем вершину
V — ак
А,^ в бесконечно удаленную точку. При этом стороны, прилегающие к вершине, переходят в параллельные прямолинейные отрезки, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке. Область Пе А) П, А преобразуется теперь с помощью отображения ю (^) в прямолинейную полуполосу. Если выбрать, а и Ь так, чтобы одна из сторон перешла в положительную вещественную полуось, а другую — в прямую ю=/с, то функция Ю1(о), определяемая равенством
а, С Л Ю 5 + - 1ПШ1 = Ю,
П
отображает эту область в верхнюю полуплоскость Ю1-плоскости в окрестности точки о& gt-1=0. Как и выше, приходим к выводу, что о& gt-1(г)= о/(г)) голоморфна в окрестности точки а, и разлагается в окрестности этой точки в ряд (2). Записывая с
помощью последнего равенства разложение для производной Шварца Р (г) функции /(г), получаем опять формулу (3).
Уравнение для отображения с симметрией переноса
Рассмотрим функцию
g (z)=F (z) — X X
k=-да ,=1
і-а2
Ms
2 '- z — ak
^ _______________к ____к 0 0 к
Здесь -да & lt-… & lt- а, & lt- а5+1 & lt-… & lt- а1 & lt-… & lt- ап & lt-… & lt- а5 & lt-… & lt- +да — прообразы вершин кругового счетноугольника, А с симметрией переноса, а а^, а2п,…, апп — углы в этих вершинах, а5 е [0,2]. С учетом того, что а1, = а1,-1 + 2п, функцию g (г) за-
пишем
g (z) = F (z)-X X
,=1 k=-да
і-а:
M,
2 (z — a, 1 + 2kП
2 z — a0 + 2kп
і-а2
Перепишем слагаемое ^ -
к=-да 2 (г — а° + 2кп)
следующим образом:
і-а"
X 2
k=-да 2 (z — a0 + 2kп)
і-а
2 +да
— X
k=-да
02 2 п
/0
2
2п
--k
Обозначим
a0 — z
2п
= x и учтем [2, с. 50], что
cosec2 nx
і k=+w і
¦=- X-----------------------
п2 k=-да (x — k)2
тогда
і-а2
-X
k=-да
і-а2
02 2 п
0
+да і
x-A
2п
--k
А2 8п2 k=-" (x — k)2
і-а-
2
і-а2
і-а2
-cosec ш=
cosec
0
Ssin
2
Ms
k=-да z — as + 2k п
+да M"
X
следующим образом: 1
k=-да z — ax + 2kп 2п k=-да z — a5
2п
— + k
+да n
+да
2
Введем обозначение
z — a,
2п
+да
= x, тогда
2п
k=-да z a,
2п
+ k
2п
k=-да
і і, ч і
+ k X 2, 2 + = 2ctg (xп) = Tctg
x + k п k=1×2 — k2 2 xп 2 2
Итак,
+да
і-а"
X 2
k=-да 2 (z — a0 + 2k п)2 Ssin2
і-а"
M
M
z — a0 k=-да z — a0 + 2kп 2
ctg
2
Таким образом, функция g (г) является голоморфной в плоскости С, следовательно, целой. Функция /(і), однолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость П+ = {і: 1 т г & gt- 0} на круговой счетноугольник, А с симметрией переноса, удовлетворяет дифференциальному уравнению
f (z) — 3 Г '-А2 = і X f'-(z) 21 f'-(z) J 2 X
1 2 0
і-а, z-a,
-------+ Ms ctg -^
4sin
+ g (z) =
, n і-а, +4M, cos-----
= і X & quot- * 2
2
-sin-
і
4sin2
і-а^ +2M, sin (z-a, 1)
+ g (z).
sin
2 2 Получаем:
Теорема 1. Функция fz), однолистно и конформно отображающая верхнюю
полуплоскость П+ = {z: Im z & gt- 0} на круговой счетноугольник Л с симметрией
переноса вдоль вещественной оси на 2п, удовлетворяет дифференциальному уравнению
ч2 ' n, 1 -(а,)2 + 2M, sin (z-a0)
f& quot- (z) 3 f f& quot- (z)
f'-(z) 2 ^ f'-(z)
1 n J
=1X-
о L-i
— + g (z),
(4)
4sin2
где a°, , = і, 2,…, n, — прообразы вершин A° счетноугольника, принадлежащие промежутку [0,2п), a, n, а, є [0,2],, = і, 2,., n, — углы при вершинах A, M,, = і, 2,…, n, — константы, g (z) — целая функция.
Целая функция g (z) и константы Ms,, = і, 2,., n, подлежат определению из условий конкретной задачи.
Пример. Рассмотрим круговой счетноугольник с симметрией переноса, вершины которого находятся в точках Ak = 2kn, k = 0, ±1, ±2,.- углы при вершинах равны an.
В области определения функции f (z), отображающей на заданный счетно-угольник, промежутку [0,2п) принадлежит только один из прообразов вершин -a0. В качестве a0 берем точку ноль.
2
Запишем уравнение (4) для данного случая:
f & quot-'-(z) 3 f f & quot-(z)f _ 1 -a2 + 2Msinz
8sin2 Z 2
f'- (z) 2 ^ f'- (z)
+ g (z):
где М — вычет производной Шварца функции /(г), вычисленный в точке ноль. Полагаем g (г)=0.
Представляя тригонометрические функции через показательные, запишем уравнение
/& quot-'-(г) 3 (/''(г)У = Г1 -а2) е'- -М (е" -1)
f'- (z) 2 ^ f'- (z)
2(є2iz — 2єгz + і)
(5)
Воспользуемся легко проверяемым равенством [3, с. 82]
{ f (z), z} = -277(7)
d_
dz 2
2
і
Уравнение преобразуется к следующему виду:
d
2
dz
і
і-а +2M sin z і
Полагаем
л/7чТ)
= t (z), тогда
іб sin
in2 z VT7(z)
= 0.
(((і-а2)єи -M (єи -і)
4(є2iz — 2єiz + і)
t = 0.
(б)
Пусть -ь -2 — два линейно независимых решения уравнения (6). Согласно формуле Остроградского — Лиувилля, между — и -2 имеет место следующее соотношение: Ц'-2 — -2-[ = сот-. Поэтому, если положить / = -, то
{ f (z), z} = -2/z)
2
dz2
л/ТЇТ)
t" (і - а2) єlz -iM є - і)
2(є2iz — 2єгz + і)
Следовательно, отношение двух линейно независимых интегралов уравнения (6) есть интеграл уравнения (5).
Выполнив замену еш=и в уравнении (6), получаем уравнение класса Фукса [4]
, і, -iMu + (і - а + i, M)
t +~ t ±------------^--------r-------1 = 0.
u 4u (u — і)2
()
Видим, что точки и=0, и=1 являются для уравнения (7) особыми точками. Проверим, является ли точка ® особой для уравнения (7). Сделав замену и =1,
имеем
4(1 -Z2)
(S)
2
і
Для получившегося уравнения (8) точка ^=0 — особая точка, следовательно, для уравнения (7) точка и=® является особой точкой. Итак, в уравнении (7) три особых точки: ^1=0, 4г=1, ^3=®.
Введем обозначения для коэффициентов уравнения (7):
1 -Ми2 + (1 -а2) +'-М
Р (и) =-, Ч (и) =----------------------.
и 4и (и -1)2
Запишем разложение функций (и-^)2р (и), (и-502д (и) в ряд Тейлора в окрестности точки и=?к, к=1,2. При к=1 имеем разложение
и р (и)=и,
2 і ІМ и а (и) =--------+
4
ІМ
и +….
При к=2 — разложение
1 -а
(и -1)2 д (и) =-----
2
1 -а2
ІМ
(и -1) +…
Уравнение (7) можно записать с учетом приведенных для к=1,2 разложений в виде
(и -^к)21& quot- + [Ак (и -^к) + Ак (и -^к)2 + … ]? '- +
2
(9)
(10)
+ [Вк + Вк (и Чк) + Вк (и Чк)2 +… ]- = 0.
Будем искать решение уравнения в окрестности точки, к=1,2, как
— = (и -1к)р (к) ('-У® +У2^) (и — 1к) +…).
Чтобы найти показатель р (к), подставим решение (10) в окрестностях точек и =, к = 1, 2, в уравнение (9) при соответствующих к:
(и -|)р (к) [у (к)Р (к)(Р (к)-1) + т2к)(Р (к) +1)Р (к)(и-I.) + …] +
+(и -|к)Р (к)(Ак — Ак (и -|к) +…) [у (к)Р (к) + У2к) (Р (к) + 1)(и Чк) +…] +
+(и-|к)Р (к) (Вк + В"к (и-|к) + Вк (и-|к)2 +…) +У2к)(и-Iк) + …] = 0.
Суммируя коэффициенты при (и -|к)Р (), получаем определяющие уравнения для показателей Р (к), к=1,2:
р (к) (р (к) -1) + Ак р (к) + В'-к = 0.
п (к)
Откуда, обозначая корни этих уравнений через р|
ІЇМ
1 -а
р2к) —
получаем
р® = 24ім, р21) =- І
р12) =
1 + а
р22) =¦
2 2 2
Особым точкам уравнения ^ соответствуют по два параметра р (к), р (к). Найдем параметры, соответствующие точке3 = ®. Разложим коэффициенты уравне-
ния (8), домноженные на? в ряд Тейлора в окрестности точки? = 0. Запишем уравнение (8) с учетом этих разложений
Zt & quot-+1 '- +
f iM і-а2 «
---±z + …
4 4
t = 0.
(іі)
Подставим в уравнение (11) разложение для — вида
t = Zp '-[Yi (a° + Y (2да)С +…].
Получим для показателя р (м) определяющее уравнение
/ (да) 2 '-М (р ()) —
Откуда, обозначив корни уравнения через р (да), р2да), имеем
р (да) =--ЛМ, р2да) = --4'-м.
1 2 2 2
Интегралы уравнения (7) вполне определяются положением особых точек
и параметрами р-к), '-=1,2,3, к=1,2. Запишем интегралы уравнения (7) по схеме
Р-функций Римана [4, с. 229]:
t=P
0 і да
-4ЇМ і + а Іл/М
2 2 2
i 1 і-а і /тт
-4,m ViM
2 2 2
JiM 1+а
Сделаем подстановку ю= и2 (и -1) 2 ґ, по свойству Р-функции Римана на-
ходим
1-Ш 1±а
ю= u2 (u- і)2 P& lt-
0
і
0 0 -(e (і + i) + і + а)
-iJM -а -2 (iM (-1 + i) + і + а)
Уравнение при этом примет вид
Ю +
і + HiM і + а
--------±-----
u u — і
А, (і + а)2 + 2i (і + а) л/М — 2iM Л
иЧ------- ------ ---- -----------ю = 0.
4u (u — і)
Введем следующие обозначения:
2 ('-М (1 +'-) +1 + а) = 5,
1 (м (-1 +'-) +1 + а) = р, 1 + '-^'-М = у.
Тогда уравнение перепишется
и (и — 1) ю& quot- + (у — (5 + р + 1) и)ю'- - 5рю = 0. (12)
Это есть известное уравнение Гаусса. Найдем интеграл этого уравнения, голоморфный в окрестности особой точки ^=0. Положим
ю = Со + С1и + +…+ опи + … (13)
Подставляя ряд (13) в уравнение (12) и суммируя коэффициенты при ип, получим
ад
? [(п +1)пСп+! — п (п -1)Сп + пСп+!У — (п +1)Сп (5 + р +1) — 5рСп ]ип = 0.
5=0
Откуда следует, что
Сп+1 (п + 1)(п + у) = Сп (п2 + (5 + Р) п + 5Р) = 0 ,
(п + 5)(п + Р)
или Сп+1 = (+ 1)(+) Сп. (14)
(п + 1)(п + у)
Рекуррентная формула (14) позволяет по с0 последовательно найти все коэффициенты. Полагая С0=1, получим
С = 5Р о = 5(5 + 1) Р (Р +1)
С —, Со — ,.. .
1 1-у 2 1−2-у (у +1)
Подставляя найденные значения в ряд (13), будем иметь интеграл уравнения Гаусса в виде гипергеометрической функции ю=д (5,Р, у, и) [5, с. 634], представленной гипергеометрическим рядом, который сходится при у г Z N.
Сделав подстановку ю=м1-ую1 в уравнении (12), получим уравнение, которое можно записать в виде уравнения Гаусса, если положить 5-у+1=5'-, Р-у+1=Р'-,
2-у=у'-- следовательно, ему удовлетворяет ряд ю1=2(5'-, Р'-, у'-, м). Для уравнения (12) получим второй интеграл ю=и1-, д (Р-у+1,5-у+1,2-у, и), линейно независимый с 2(5,Р, у, м) при 0& lt-у<-1 и сходящийся при у-2гZN. Таким образом, для уравнения (12) имеем два линейно независимых интеграла:
0 ^ 2 (м (1 + г) +1 + а) (м (-1 +г) +1 + а), 1 + 1*)м,
и^}_^-ЛМ (1 + г) +1 + а)(М (1 -1) +1 + а), 1 — гЛй, и^.
Возвращаясь к г, /(х), заключаем, что одним из интегралов уравнения (7) будет функция
/ (х) =
б ^ 2 (-4ЇИ (1 + і) +1 + а) (М (1 — і) +1 + а), 1 — іЛМ, егг ^
б ^ 2 (м (1 + і) +1 + а) (м (-1 + і) +1 + а), 1 + і4ім, еіх
Выразив гипергеометрические ряды через определенные интегралы [4], получим следующий результат.
Теорема 2. Функция /(х), однолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость П+ = {х: 1 т х & gt- 0} на круговой счетноугольник, А с симметрией
переноса вдоль вещественной оси на 2п, вершины которого находятся в точках
Лк=2кп, к=0,±1,±2,…, причем/(0)=Л0, имеет вид
(1 — V) с (1 — е12у) вс1у
/(г) — Ле^ ¦?----------------------------,
| V8 (1 — V)° (1 — е^)С ду
где а, Ь, g, И — зависят от значений параметров М, а. Константы Л, В, С, Б определяются формулами
М — константа, ап, а є [0,2] - углы при вершинах Ak, к=0,±і,±2,…
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров И. А. Теория функций комплексного переменного. Томск: ТГУ, 2002.
2. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. 4-е изд., перераб. М.: ГИФМЛ, 196З.
3. Голузин Г. М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. 2-е изд. / под ред. В. И. Смирновой. М.: Наука. Физматлит, і966.
4. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1950.
5. ЛаврентьевМ.А. Теория функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 197З.
Статья поступила 08. 01. 201З г.
Kolesnikov I.A. A MAPPING TO A ROUND NUMERABLE POLYGON WITH THE SYMMETRY OF TRANSFER. An analytical representation for a mapping holomorphic in the upper halfplane with symmetry of transfer along the real axis is obtained in the form of a differential equation. One particular case is represented in the integral form.
Keywords: numerable polygon, symmetry of transfer, linear differential equations of the Fuchs class, conformal mappings.
KOLESNIKOV Ivan AleksandroviCh (Tomsk State University)
E-mail: ia. kolesnikov@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой