Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Отображение ортогональным проецированием четырехмерной гиперповерхности
А. А. Ляшков, В. С. Куликова
Во многих прикладных задачах, связанных с профилированием режущего инструмента, определяют огибающую семейства поверхностей. Наряду с классическим подходом [1 — 2] к определению огибающей, в последнее время используется и новый [3], использующий отображение ортогональным проецированием поверхности на плоскость: [4 — 6] и другие. Так, если спроецировать график однопараметрического семейства двумерных поверхностей в пространство Я4, то получим некоторую трехмерную гиперповерхность ?. Дискриминанта этой гиперповерхности является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование поверхности? при задании ее параметрическими уравнениями и уравнением в неявной форме проведено в работах [7 -8], а его применение — в работах [9 — 10].
Отображение ортогональным проецированием четырехмерной поверхности и использование полученных результатов к определению огибающей двухпараметрического семейства поверхностей рассматривается ниже.
Пусть исходная четырехмерная гиперповерхность задана уравнением в неявном виде
Р (х, у, 2, и, V) = 0. (1)
Рассмотрим отображения ортогональным проецированием этой поверхности по направлениям осей и и V на соответствующие координатные гиперплоскости.
Уравнения гиперплоскостей, касательных к гиперповерхности (1) в некоторой ее точке М (х0,у0,2(у и 0у0), записываются в виде
Рх ¦ (х -х0) + Ру ¦ (у — Уо) + р ¦ (2 — 20) + Ри ¦(и — и0) + р ¦ (У — ^ = (2)
В точках гиперповерхности, в которых касательные гиперплоскости параллельны оси 0и, выполняется условие
(X, у, 2, и, V) = 0. (3)
Будем рассматривать (3) как уравнение первой вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е}. Пересечение гиперповерхностей (1) и (3) определяют трехмерную гиперповерхность Е2 (рис. 1), являющуюся криминан-той гиперповерхности при ее ортогональном отображении вдоль оси и.
Рис. 1 — Схема взаимосвязи гиперповерхностей Х1, Е^ ^ и криминантЕ2, Е3, Е4, где Е1 — исходная четырехмерная гиперповерхность- Е| и — первая и вторая вспомогательные четырехмерные гиперповерхности- Е 2, Е 3 и Е4- криминанты гиперповерхности Е1 при ее отображении на гиперплоскости ХУ2У, ХУ2И и ХУ2, соответственно
Четырех параметрическое множество плоскостей, касательных к гиперповерхности Е} (3) в ее некоторой точке К (х0,у0, 20, и00), записывается в виде
Рих ¦ (х -х0) + Риу ¦ (У — Уо) + Ри2 ¦ (2 — 20) + Рии ¦ (и — и0) + ^ ¦ (v — V0) = 0. (4) Гиперплоскости (2) и (4) пересекаются по трехмерным гиперплоскостям, касающимся гиперповерхности Е 2. В точках гиперповерхности (1), в которых
касательные гиперплоскости параллельны оси 0?, выполняется условие
Fv (х, у, 2, и, V) = 0. (5)
Полученное уравнение рассматриваем как уравнение второй вспомогательной четырехмерной гиперповерхности Е12. Пересечение четырехмерных гиперповерхностей (1) и (5) определяет трехмерную гиперповерхность Е3, яв-
ляющуюся криминантой гиперповерхности ?1 при ее ортогональном отображении вдоль оси 0?. Тогда четырех параметрическое множество плоскостей, касающихся гиперповерхности (5) в ее некоторой точке K (x0,y0,z0, и0У0), записывается уравнением в виде Рих ¦ (Х -Х0) + Риу ¦ (У — У0) + Рж ¦ (z — z0) + Рии ¦ (и — и0) + Риу ¦ (у — у0) = 0. (6)
Пересечение трехмерных гиперповерхностей ?3 и ?3 задает двумерную поверхность ?4, являющуюся криминантой гиперповерхности (1) при ее ортогональном отображении на гиперплоскость ХУ2 (по двум направлениям вдоль осей у и У).
Пусть точки М, N и К принадлежат не только соответствующим гиперповерхностям, но и двумерной поверхности? 4. Тогда касательная плоскость
к этой двумерной поверхности определяется в пересечении гиперплоскостей (2), (4), (6). Рассматривая уравнения (2) и (4) как систему линейных уравнений относительно (u-u0) и получим
— А ¦ Р + А ¦ Р
А ¦ Р + А ¦ Р
и — и0 =
& gt-У — У0 =
А 0 А
где, А = Рх ¦(х-Х0) + Ру ¦(У-У0) + Р ¦(z-zo),
А, = Р ¦ (х — х0) + Р ¦ (у — у0) + Р ¦ (х — z0), А = Р ¦ Р + Р ¦ Р.
1 их V 0 у иу V./ ,/ 0 у и V 0 '- '- и УУ У ии
После подстановки полученных выражений в равенство (6), получим уравнение касательной плоскости к поверхности? 4
= 0. (7)
Тогда из приведенных уравнений следует, что криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении ортогональным проецированием на гиперплоскости по направлениям осей 0П и 0У" определяется системой уравнений (1), (3) и (5), при условиях
р.х Ри и Ру Р у Ри и Ру Р г Ри и Ру
(х — х0) ¦ Р и Рии ии Р Уи +(у — у0) ¦ Р иу Рии ии Р Уи + (z — z 0) ¦ Р иг Рии ии Р уи
Р ух Р уу Р УУ Р уу Р уу Р УУ Р уг Р уу Р УУ
иу
ии
F+FA+F* 0 и
F F
uu vu
FF
* 0.
В качестве примера, иллюстрирующего достоверность полученных результатов, рассмотрим четырехмерную гиперповерхность, определяемую
уравнением
(х — R • cos u • cos v)2 + (y — R • cos u • sin v)2 + (z — R • sin u)2 = r2
(8)
Эта гиперповерхность получена отображением двухпараметрического семейства сфер радиуса г с центрами на сфере радиуса Я (рис. 2) в гиперпространство ХУ2? Ц.
Тогда в соответствии с (3) уравнение первой вспомогательной гиперповерхности будет
х • R • sin u • cos v + y • R • sin u • sin v + z • R • cosu = 0.
Откуда имеем
sin u = ± z
1
2 2 2×2 + y2 + z
cos u = ±
1
2 2 X + y
2 2 2 X + y2 + z
(9)
(10)
После подстановки зависимостей из (10) в равенство (9), получим уравнение трехмерной гиперповерхности, являющейся криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении на гиперплоскость вдоль оси 0?:
х — R •
У
2 2 х + y
2 2 2 х + y2 + z
cos v& gt-
y-R
s
22 х + y
2 2 2 х + y2 + z
sin v & gt- +
+
z
& quot-•y
z
2 2 2×2 + y2 + z
(11)
Для исследования этой гиперповерхности рассечем ее гиперплоскостями. Так для Z=0, имеем
х2 + y2 ± 2R • (х • cos v + y • sin v) = r2 — R2. Графиком этого уравнения является двумерная циклическая поверхность с плоскостью параллелизма 0XY (рис. 3). Сечением гиперповерхности (11) гиперплоскостью V=0 является двумерная поверхность, определяемая уравнением
UV
VV
1
2
2
2
2
r
х — R ¦
V
у
2 2 х + У
2 2 2 х + y2 + z
cos v& gt- +
z
У
z
2 2 2 х + y2 + z
Ее график представлен на рис. 4.
Рассмотрим теперь отображение гиперповерхности (1) вдоль оси 0U. В этом случае уравнение второй вспомогательной гиперповерхности в соответствии с (5) получим в виде
х ¦ R ¦ sin u ¦ cos v + y ¦ R ¦ sin u ¦ sin v + z ¦ R ¦ cosu = 0. (12)
Откуда
sin v = ± y
У
i
22×2 + y 2
а cos v = ± y

i
22×2 + y2
(13)
Трехмерная гиперповерхность (12) является криминантой гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль оси 0и. Криминанта гиперповерхности (1) при ее отображении вдоль осей 0и и 0? находится в пересечении первой и второй трехмерных гиперплоскостей. После подстановки выражений из (10) и (13) в (9) уравнение этой криминанты будет
х2 + у2 + г2 = (Я ± г)2. (14)
Графиком этого уравнения являются две сферы с центром в начале системы
координат и радиусами (Я+г) и (Я-г) (рис. 5). После преобразований уравнение (14) можно представить в виде
(х2 + у2 + г2)2 -2 • (х2 + у2 + г2)(Я2 + г2) + (Я2 + г2)2 -4 • Я2 • г2 = 0.
Рис. 2 — Начальное положение сферы радиусом г с центром на сфере радиусом Я
2
2
2
r
Это уравнение определяет алгебраическую поверхность четвертого порядка. Она распадается на две поверхности второго порядка — две сферы.
Таким образом, проведенные исследования гиперповерхности и ее отображения ортогональным проецированием на координатные гиперплоскости позволили получить в общем виде огибающую двухпараметрического семейства поверхностей, а также необходимые условия ее существования.
Рис. 4 — Сечение трехмерной гиперповерхности гиперплоскостью У=0
Полученные результаты апробированы на модели четырехмерной гиперповерхности, полученной отображением двухпараметрического семейства сфер в пятимерное пространство. Приведены как аналитические зависимости, так и соответствующие компьютерные полигональные модели сечений трехмерной гиперповерхности и двухмерной дискриминанты четырехмерной гиперповерхности.
Литература:
1. Лашнев, С. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст]. / С. И. Лашнев, М. И Юликов. — М.: Машиностроение, 1975. — 392 с.
2. Litvin, F. L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory / Litvin, F. L. — Cembridge University Press, 2004. — 816 p.
3. Thom, R. Sur la theorie des envelopes / R. Thom // J. de math. pur et apple. — 1962. — Vol. 41. — № 2. — Р. 177−192.
4. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений [Текст].
— Успехи мат. наук. — 1968. — т. ХХШ, вып. 1(139) — С. 4−44.
5. Брус, Дж. Кривые и особенности. / Дж., Брус, П. Джиблин [Текст]. — М.: Мир, 1988. — 262 с.
6. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей [Текст]. / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. — 1984. — т. 10.
— С. 135−149.
7. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием гиперповерхности на гиперплоскость [Текст]/ А. А. Ляшков, В. Я. Волков // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. — 2012. — № 2. — 18−22 с.
8. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями [Текст] / А. А. Ляшков // Омский научный вестник. — 2012. — № 2(110). — 9−13 с.
9. Ляшков, А. А. Формообразование винтовой поверхности детали угловой фрезой [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 3. — Режим доступа: http: //www. ivdon. ru/magazine/archive/n3y2012/978 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
10. Ляшков, А. А. Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая [Электронный ресурс] / А. А. Ляшков, А. М. Завьялов // «Инженерный вестник Дона», 2013, № 1. — Режим доступа: http: //www. ivdon. ru/magazine/archive/n1y2013/1512 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой