О точных оценках нормы второй производной функции в пространстве

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, № 6_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 5
Ш. А. Холмамадова
О ТОЧНЫХ ОЦЕНКАХ НОРМЫ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ 1ДЖ), К/-с/
Хорогский государственный университет им. М. Назаршоева
(Представлено академиком А Н Республики Таджикистан М. Ш. Шабозовым 13. 03. 2011 г.)
В работе приведены точные оценки величины нормы второй производной функции принадлежащего пространству суммируемых е р-й степени функций на? ДЖ), Ж = (^зо,+со) через модуль гладкости самой функции и модуль гладкости е второй производной.
Ключевые слова: пространство Харди — граничные значения — модуль гладкости — комплексный алгебраический полином — наилучшее приближение.
Пусть Ьр (К), 1 & lt- /& gt- & lt- со — пространство всех измеримых суммируемых функций, заданных на всей ОСИ Ж = (-00, +со) с конечной нормой
Равенством
«г (/-& lt-?),= вир №Л\р: к^ЩЬ<-<-5, ё& gt-0,
где А^/-х) =/(х + И) — 2/(х) +/(х — И), X & lt-еШ, определяем, как обычно, модуль гладкости функции / е Ьр (Ж).
В работе Н. Айнуллоева [1] приводятся точные оценки величины нормы второй производной функции в пространстве Ьр (Ж) через е усредненное значение модуль гладкости производной функции второго порядка и модуль гладкости самой функции. Применительно к нашей цели неравенство
Н. Айнуллоева для любой функции / е Ьр (Ж) с абсолютно непрерывной производной / и
/ & lt-Е (Ж) и любого заданного Л & gt- О имеет вид
I1 И. р
Адрес для корреспонденции: Холмамадова Шогуна Авобековна. Республика Таджикистан, 736 000 г. Хорог, ул. Ленина, 12, Хорогский государственный университет. E-mail: shoga-84@mail. ru
& lt-¦
п-2
/& quot-
'- tЛ хл-
V Л j
-2/» + /"
'- г 4
JV-------
V
(1 — sin t) dt +
+ -
Я'-
2 я7 2
п-2
/
ЛЧ-
V Яу
¦2f (x) + f
(1)
Из (1) в качестве следствия сразу вытекает
/& quot-
1 гг/2 f 22 жП (
& lt--- |?У2 (1 — sinf) dtн -- Jб)2 /,
2i
я-2
Л
п-2 0J V '-
sin tdt =
*Ь& gt-НҐ-
. t I
A
, • t
1 — sin- 2
dt + -
Я
2 я-
/
2(л--2)
Ы Л
Л,
• ^ 7
sin-dt.
, 2
(2)
В настоящей заметке приводится один пример приложения неравенства (1) для функции fix), определенной на всей числовой оси, с нормой ||/||2 := ||/|^ ® в смысле пространства
L2(-qo,+go).
Теорема 1. Для любых натуральных чисел 0 & lt-к & lt-п и любого Л & gt- 0 справедливо неравенст-
во
f
(к)
-і 7Т/2 / r 1 О П — К 71 / L /
s -^rw! а, f~ І Рт+~-J Иг1 Ґ'-~ І е ('-)й& quot-'

о V
Л
(3)
где
ч п — к, л. ч. лп-к + 2
P (t) =-----(1 — sin t) + Я4------
п п
к". .ч 4к-2
sin Ґ,
Q (t) = - (1 — sin ґ) + /L -------------sin ґ.
n
n
(4)
(5)
Неравенство (3) неулучшаемо в том смысле, что для каждого Л & gt- 0 существует последовательность функций /п{х, Л), для которых отношение правой части неравенства (3) клевой стремится к единице при и -& gt- оо.
Доказательство. Оценивая норму /(к), согласно неравенству (1), получаем
f
(к)
О
р
о
р
t
2
2
& lt-¦
1 я72
ы
л-2

1(к) 1 хл-
V Л-
х-----
V ^-
Я
2 Я-/2
л-2
I

/(к -2) 1 хл-
V Яу
-2/®" + /®
-2/(*"2)(*) + /(*"2)
(I — вІП Ґ)(ІІ +
8ІП& amp-Й.
(6)
Оценим нормы производных функций под знаком интеграла, согласно неравенству Харди [2]:
1к124иг& gt->-, 1Г'
Применим неравенство (7) в эквивалентной форме
(7)
і" I & lt-
п-т
ТУ) п м
и +™г-т («) _
2 пГ и ^ |и
(8)
Полагая
& lt-Р (х) = Ь™1(/х)=Ах + ^-2/ х +/
V Яу
при т = к и /п = к — 2, применяя неравенство (8), получаем
п-к і
к
І2 пГ п-к + 2
п к-2
2 иЯ*
п
Подставляя полученные оценки в неравенстве (6) под знаком интеграла и приведя подобные члены, получаем
г
«II & lt-
& lt-¦
її/2 л 2 я72
— Лла/)я (/(*)|2(1−8Іп0^+^-^ {|д?Ц/*-2)|28Іпйй?
л-2
& lt-¦
1
її 12
(л — 2) А
•-к я'-/г,
где Р (7) и определены равенствами (4) и (5).
В последнем неравенстве, пользуясь тем, что
ґ 2ґЛ
Д$А / & lt-(c)2 /, —
V Я у2
д (2) /-(и)
°2і/Я 1 У
& lt- 01-
2 і
Г{П)
' Я
у 2
приходим к неравенству (3).
о
2
О
2
Установим теперь точность неравенства (3). В [3] доказано, что для любого ц/ & gt- 0 существует бесконечно дифференцируемая функция ф (х) в Ж = (-°о, -ню) такая, что 1//(0) = 1, при 0 & lt-| х |& lt- ?, 0 & lt- & lt-//(х) & lt- 1 а при | х |& gt- ?•, ?//(х) — 0. Выберем 8 = л / Л и рассмотрим последовательность функций (рп (х), такие, что
(Рп (Х) = & lt-
ґ Л Л
х----п
Л

л
-х-----п
л
/
л л
---п & lt- х & lt- -п,
/І /I
7Ї, Я& quot-
— п & lt- X & lt- (п +1) -,
Я ' X
-(п + 1)-& lt-х<---п, Л Л
л
kl & gt--(и + 1).
А
С помощью функции (рп (х) определим последовательность функций fn (х, Л) — (рп (х) cos (Ях + h). Простые вычисления показывают, что для последовательности fn (х, Л) неравенство (3) будет точным при п-& gt- со для любого Л & gt- 0.
Поступило 13. 03. 2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айнуллоев Н. — Матем. заметки, 1991, т. 49, вып. 5, с. 3−6.
2. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. — Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
3. Владимиров В. С. — Уравнения математической физики. — М. :Наука, 1981.
Ш. А. Холмамадова
ДАР БОРАИ БАХ, ОИ АНИЦИ НОРМАИОСИЛАИ ТАРТИБИ ДУЮМИ ФУНКСИЯХО ДАР ФАЗОЙ? ДМ), 1& lt-р<-ао
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М. Назаршоев
Дар макола бах, ои аники нормаи х, осилаи тартиби дуюми функсиях, ои аналитикй, ки ба фазой функсиях, ои ба дарачаи р дар Ьр (Ж) суммиронидашаванда тааллук доранд, ба воситаи
модули суфтагии худи функсия ва модули суфтагии х, осилаи тартиби дуюми он оварда шудааст. Калима^ои калиди: фазой Харди — циматуои саруадй — модули суфтагй — бисёраъзогии алгебравии комплексы — наздиккунии беутарин.
Sh.A. Kholmamadova
ABOUT THE EXACT ESTIMATION OF SECOND NORMS DERIVATIVE FUNCTION IN Z/R), 1 & lt- p & lt- oo SPACE
Khorog State University by name M. Nazarshoev In the article is given the exact estimation of value of second norms of derivative analytical functions which belong to the summable to p -th power in all axes across module of smoothness of its function and module of smoothness of second derivative.
Key words: Hardy’s space — boundary values — module of smoothness — the complexity of algebraic polynomial — best approximation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой