Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

А.М. Горцев, О.В. Ниссенбаум
ОЦЕНИВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ И ПАРАМЕТРОВ АСИНХРОННОГО АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО ПОТОКА СОБЫТИЙ С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНЕГО СОБЫТИЯ
Рассматривается задача об оценке параметров асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием лишнего события, являющегося математической моделью информационных потоков заявок (событий), циркулирующих в системах и сетях массового обслуживания, а также математической моделью потоков элементарных частиц (фотонов, электронов и т. д.), поступающих на регистрирующую аппаратуру. Условия наблюдения за потоком таковы, что каждое зарегистрированное событий порождает период мёртвого времени, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. Исследуется случай непродлевающегося мёртвого времени, при этом длительность мёртвого времени — детерминированная величина. Находится плотность вероятностей интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке. Отыскивается, при известных параметрах потока событий, оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени. При неизвестных параметрах потока событий (с использованием метода моментов) находятся явные выражения для оценок этих параметров и выписывается уравнение для определения оценки длительности мёртвого времени.
Системы и сети массового обслуживания (СМО, СеМО) являются широко применяемой математической моделью реальных физических, технических, экономических и других объектов и систем. Случайные потоки событий, являющиеся основными элементами СМО и СеМО, в свою очередь, широко применяются в качестве математической модели реальных процессов. В частности, информационные потоки заявок, циркулирующие в системах и сетях связи, в цифровых сетях интегрального обслуживания, в измерительных системах, потоки элементарных частиц (фотонов, электронов и т. д.), поступающие на регистрирующие приборы в физических экспериментах, достаточно адекватно описываются случайными потоками событий. Задачи по оценке состояний и параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счёта фотонов, например, при лазерном зондировании высотных слоёв атмосферы, в оптических системах обнаружения, распознавания и сопровождения, работающих через атмосферу на предельно больших расстояниях, а также в оптических системах загоризонтной связи.
Условия функционирования реальных объектов и систем таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств можно сказать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков событий обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. С другой стороны, режимы функционирования СМО и СеМО непосредственно зависят от интенсивностей входящих потоков событий. Вследствие этого важной задачей является задача оценки в произвольный момент времени состояния и параметров потока событий по наблюдениям за этим потоком.
Одними из первых работ по оценке состояний дважды стохастических потоков событий, по-видимому, являются работы [1−4], в которых рассматривается асинхронный дважды стохастический поток событий с двумя состояниями (МС-поток событий или поток с переключениями). Дальнейшие исследования по оценке состояний дважды стохастических потоков событий, функционирующих в различных условиях, проведены в работах [5−9].
В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие может повлечь за собой не-
наблюдаемость последующих событий. Одним из искажающих факторов при оценке параметров потока событий выступает мёртвое время регистрирующих приборов [10, 11], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мёртвого времени, недоступны наблюдению (теряются). По этой причине счётчик событий показывает, как правило, не истинную картину, а несколько искажённый ход явлений. В конкретных устройствах регистрации величина и характер мёртвого времени зависят от многих факторов. В первом приближении можно считать, что этот период продолжается некоторое определённое (фиксированное) время Т. Все устройства регистрации можно разделить на две группы. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мёртвым временем, которое не зависит от наступления других событий в пределах его действия. Ко второй группе относятся устройства регистрации с продлевающимся мёртвым временем. В последнем случае мёртвое время возникает после любого события, поступившего на вход устройства, вне зависимости от факта его регистрации, что приводит к увеличению общего периода ненаблюдаемости и, следовательно, к ещё большей потере информации.
Задачи по оценке параметров потока событий и оценке длительности мёртвого времени рассматривались в работах [12−19- 20. С. 18−23, С. 24−29- 21−23]. При этом в [12, 13, 15] получены результаты для пуассоновского потока событий, в [14, 22] - для синхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий, в [20. С. 18−23] - для синхронного дважды стохастического потока событий, в [20. С. 18−23- 21] -для полусинхронного дважды стохастического потока событий, в [16, 17] - для асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий, в [18, 19, 23] - для асинхронного дважды стохастического потока событий. В [13, 14, 18, 20. С. 18−23, С. 24−29] исследования проведены в условиях отсутствия мёртвого времени- в [12, 16, 19, 21, 22] исследования проведены для непродлевающегося мёртвого времени, в [15, 17, 23] - для продлевающегося мёртвого времени.
Настоящая статья посвящена оценке длительности мёртвого времени и параметров асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока с инициированием лишнего события (далее — поток с инициированием лишнего события) для случая непродлевающегося мёртвого времени. Подчеркнём, что рассматриваемый поток событий достаточно адекватен при описании цифровых сетей интегрального обслуживания и относится к классу МАР-потоков [25, 26].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается поток с инициированием лишнего события, интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс Х (/) с двумя состояниями: Ху) = X, Х (0 = 0. Будем говорить, что имеет место пер-
вое состояние процесса (потока), если Х (0 = X, и, наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока), если Х (/)= 0. Если имеет место первое состояние процесса Х (0, то в течение временного интервала, когда Х (/) = X, имеет
137
место пуассоновский поток событий с интенсивностью X. Длительность пребывания процесса Х (/), в первом состоянии есть случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону Г^) = 1 — е ««1(, где а1 — интенсивность перехода из первого состояния процесса Х (0 во второе. Если имеет место второе состояние процесса Х (/), то генерация событий в этом состоянии не производится. Длительность пребывания процесса Х (/) во втором состоянии есть также экспоненциально распределённая случайная величина с функцией распределения Е2(г) = 1 — е,
где, а 2 — интенсивность перехода из второго состояния процесса Х (/) в первое. Возможная интерпретация этого следующая: момент перехода процесса Х (0 из первого состояния во второе «отключает» источник событий от их генерации (другими словами, источник событий в этот момент времени «ломается», выходит из строя, и необходимо некоторое случайное время на его восстановление либо на замену). При этом переход из второго состояния в первое инициирует наступление лишнего события (т.е.
источник событий восстановился и в момент восстановления сгенерировал лишнее событие потока). Так как переходы из состояния в состояние не связаны с наступлением событий исходного потока, то поток называется асинхронным. В сделанных предпосылках нетрудно показать, что Х (/) = X, Х (/) — марковский процесс.
После каждого зарегистрированного в момент времени ^ события наступает время фиксированной длительности Т (мёртвое время), в течение которого другие события исходного потока с инициированием лишнего события недоступны наблюдению. Будем считать, что события, наступившие в течение мёртвого времени, не вызывают продление его периода. По окончании мёртвого времени первое наступившее событие снова создаёт период мёртвого времени длительности Т и т. д. Вариант возникающей ситуации показан на рисунке, где 1 и 2 — состояния случайного процесса X (t) — штриховкой обозначены периоды мёртвого времени длительности Т- и, /2,… — моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.
Процесс X (t)
-6-
Поток событий с инициированием лишнего события
----Ь'-//М'-////А
-О-О
-& lt-//////////А О'-//. '-'•'-////А
Схема создания непродлевающегося мёртвого времени
-О-
Н
-6-
І4
Наблюдаемый поток событий
Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (^, О, где ^ - начало наблюдений, t — окончание, пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить ^ = 0. Так как процесс X (t) является ненаблюдаемым, а на-
блюдаемыми являются только временные моменты и, ^,… наступления событий в наблюдаемом потоке, то необходимо по этим наблюдениям оценить (в момент t окончания наблюдений) параметры X, а1, а2 случайного процесса X (t) и длительность мёртвого времени Т.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИНТЕРВАЛА МЕЖДУ СОСЕДНИМИ СОБЫТИЯМИ В АСИНХРОННОМ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНЕГО СОБЫТИЯ
Исследуем сначала случай отсутствия мёртвого времени, т. е. Т = 0. Рассмотрим временной отрезок (^, 0 и обозначим п0, 0 — вероятность того, что процесс X (t) в момент времени t находится в ]-м состоянии, ] = 1, 2 (п0, 0 + п2(^, 0 = 1). Тогда для введённых вероятностей справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
П1 (0, t) = -а1п1 (0, t) + а2П2 (0, t),
П2 (t0,t) = а1п1 (t0,t) — а2П2 (0,t), решая которую вместе с начальными условиями п1 (0, t = t0) = п, п2 (0, t = t0) = 1 — п, (0 & lt- п & lt- 1), находим
+ 1 п —
Устремляя здесь t к бесконечности (t ^ да) либо t0 к минус бесконечности (^ ^ - да), получаем финальные априорные вероятности состояний процесса X (t) в виде
а 2 а,
(1)
Заметим, что апостериорные вероятности П1 и П2 состояний процесса X (t) в момент наступления события (в силу определения потока с инициированием лишнего события), очевидно, есть П1 = 1, 7Г2 = 0.
Покажем, что рассматриваемый поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать начиная с момента ti (момента наступления события). Подчеркнём, что поток с инициированием лишнего события, по определению, обладает свойствами стационарности и ординарности, поэтому он является потоком с ограниченным последействием (потоком Паль-
1
а
а
а
а
а
а
2
2
І
І
І
І
П1 =
2 =
а1 + а2
а1 + а2
-1а1 +а 2 Iі - І0
е
а1 + а2
ос
а
2
-і п-
а1 + а 2
ма) [26]. Итак, пусть момент времени ti — момент наступления события в рассматриваемом потоке. Тогда процесс X (t), по определению, находится в первом состоянии. Покажем, что дальнейшая эволюция потока с инициированием лишнего события полностью определяется состоянием процесса X (t) в момент времени ^ и не зависит от предыстории. Зарегистрированное в момент времени ti событие может быть либо событием, наступившим внутри временного интервала, когда имеет место первое состояние процесса X (t) (событие 1-го типа), либо лишним событием, сынициированным в первом состоянии в момент перехода процесса X (t) из второго состояния в первое (событие 2-го типа). Пусть наступившее событие есть событие 1-го типа. Тогда эволюция потока после момента ti определяется:
1) числом событий, которые наступят после момента А- но это число не зависит от того, как наступали события до момента ti, так как в первом состоянии поток событий — пуассоновский с параметром X-
2) временем пребывания потока в первом состоянии после наступления события в момент времени- но длительность пребывания потока в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону и не зависит от того, сколько времени находился поток (процесс X (t)) в первом состоянии до момента- переход же из первого состояния во второе определяет начало временного участка второго состояния потока (процесса X (t)), т. е. начало временного участка второго состояния также не зависит от предыстории. Пусть наступившее событие есть событие 2-го типа. Тогда момент наступления события 2-го типа определяет начало временного участка первого состояния потока (процесса X (t)), в те-ение которого имеет место пуассоновский поток событий с параметром X- но длительность пребывания потока (процесса X (t)) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону, обладающему свойством отсутствия последействия, поэтому эволюция потока после момента ^ в этом случае не зависит от предыстории.
Таким образом, поток с инициированием лишнего события обладает марковским свойством в моменты ti наступления событий. Тогда моменты наступления событий 4 ti+1, … не зависят от моментов t-1, ^_2, … Отсюда следует, в силу произвольности i, что временные интервалы тi = ^+1 — ti будут взаимно независимыми для любых i. Кроме того, в силу исходных предпосылок (стационарность функционирования потока событий и стационарность процесса X (t)) следует, что плотность вероятностей интервала между соседними событиями потока р (т,) = р (т) для любых i. Всё это означает, что асинхронный альтернирующий поток с инициированием лишнего события, с другой стороны, является рекуррентным потоком.
Перейдём к нахождению плотности вероятностей р (т). Отметим, что моменты времени ^ …, в которые
рассматриваемый поток обладает марковским свойством, образуют однородную цепь Маркова (вложенную цепь) [27]. Рассмотрим событие потока, наступившее в произвольный момент времени ti. Так как исследуется стационарный режим функционирования потока, то, не нарушая общности, припишем моменту наступления этого события момент т = 0. Наступившее событие при
этом может быть либо событием 1-го типа, либо событием 2-го типа. Если в момент т = 0 произошло событие потока, то возможны два варианта дальнейшей эволюции потока:
1) процесс X (t) остаётся в первом состоянии и на полуинтервале [т, т + Дт] наступает событие 1-го типа-
2) процесс X (t) на интервале (0, т1) переходит во второе состояние, пребывает в этом состоянии в течение временного интервала (т1, т) и на полуинтервале [т, т + Дт] переходит в первое состояние с одновременным инициированием события 2-го типа в первом состоянии.
Для первого варианта длительность интервала между соседними событиями потока есть экспоненциально распределённая случайная величина с плотностью вероятностей
— + а^ 1т
Р1 (т^^ + а!)е, (2)
для второго варианта — сумма двух экспоненциально распределённых случайных величин (т = т1 + т2, т1 -длительность пребывания процесса X (t) в первом состоянии, (т2 = т — т1 — длительность пребывания процесса X (t) во втором состоянии) с плотностью вероятностей
р2 (т) = а 2 ^ + а1)
-а 2 т «^X + а1 & gt-
— е
7+ -------. (3)
X + а1 — а 2
Первый вариант эволюции потока заканчивается в момент т наступлением события 1-го типа, второй вариант — наступлением события 2-го типа. Тогда
Р (т)= ?1 Р1 (т)+ ?2 Р2 (т), (4)
где 4 г — финальная вероятность того, что наступившее событие есть событие /-го типа (/'- = 1,2), 41 + д2 = 1.
Так как моменты наступления событий образуют вложенную цепь, то для финальных вероятностей 41, 42 имеют место следующие уравнения:
41 = 41п11 + 42П 21- 42 = 42П 222 + 41П122 — Ч + 42 = 1, (5) где п/1 — вероятность того, что за время, которое пройдёт от момента т = 0, в который наступило событие /-го типа, поведение потока будет таковым, что следующим событием потока будет событие 1-го типа (= 1,2) — п/22
— вероятность того, что за время, которое пройдёт от момента т = 0, в который наступило событие /-го типа, поведение потока будет таковым, что следующим событием потока будет событие 2-го типа, при этом процесс X (t) перейдёт сначала из первого состояния во второе, а затем из второго состояния в первое с одновременным инициированием лишнего события.
Пусть теперь [0, т) — некоторый временной полуинтервал. Введём в рассмотрение вероятности: п,-1(т) -условная вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место первое состояние процесса X (t) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие потока /-го типа ^= = 1, 2) — п, 22(т) — условная вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место второе состояние процесса X (t) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие потока i -го типа, i = 1,2 (при этом процесс X (t) перейдёт на интервале (0, т) из первого состояния во второе).
Тогда л^т^Дт + о (Дт) — совместная условная вероятность отсутствия событий потока на интервале (0, т) и наступления события потока 1-го типа на полуинтервале [т, т + Дт], где Дт — достаточно малый интервал времени, при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие /-го типа (/ = 1, 2) — л^^а^Дт + о (Дт) -совместная условная вероятность отсутствия событий потока на интервале (0, т) и наступления события потока 2-го типа на полуинтервале [т, т + Дт) при условии, что в момент времени т = 0 имело место событие /-го типа, / = 1, 2 (при этом процесс X (t) на интервале (0, т) сначала перейдёт из первого состояния во второе, а затем при переходе из второго состояния в первое сы-нициируется лишнее событие). Соответствующие условные плотности вероятностей при этом примут вид тсЛ (т)=Xпi1 (т), л/22 (т) = а 2 л/22 (т), / = 1, 2. Так как т -произвольный момент времени, то для нахождения вероятностей л/ь п/22 (/ = 1,2), введённых в (5), необходимо проинтегрировать соответствующие условные плотности вероятностей П/1 (т), П/22 (т), / = 1, 2, по т от нуля до бесконечности:
да да
п/1 = 1 ~, 1(т)^т = ^
0 0
да да
П 22 = 1 ~/22 ()т = а2 1 П/22 ()т, (6)
00
П/1 + П/22 = 1 (= 1, 2).
Для вероятностей лл (т), л/22(т), / = 1,1 справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
ПЛ () = ^ + а1 К (4 22 () = -а2П/22 () + а1п11 (т)
с граничными условиями П/1(0), пг22(0), / = 1,1, решая которую, находим
П/1 (т)= е, П22 (т)= а
— е
— (X + а,)т
X + а, — а 2 (і = 1,2).
(7)
Подставляя выражения (7) в формулы (6), получаем
п=--, п. 22 = т-1-, п., + п. 22 = 1 (і = 1,2). (8)
і1 Х + а/. 22 Х + а/ л і22 v ' 7 v 7
Подставляя выражения (8) в систему уравнений (5), находим финальные вероятности д. (і = 1,1) в виде
Х
42 =-
а.
41 + 42 =1-
(9)
X + а1 X + а1
Наконец, подставляя выражения (2), (3), (9) в формулу (4), выписываем выражение для плотности вероятностей интервала между соседними событиями потока с инициированием лишнего события:
p (т)=y (X + a1) е ^ 1 ^ +(1 -у)а2е а2т, т & gt- 0, (10)
где у = (X — а^/^ + а1 — а2), X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0.
Отметим, что величина у в (10) может быть как положительной, так и отрицательной, при этом возможны три случая:
1) X & gt- а2, X +а1 & gt- а2, тогда 0 & lt- у & lt- 1 и плотность вероятностей (10) — убывающая функция переменной т (т & gt- 0) с точкой максимума т0 = 0-
2) X & lt- а2, X +а1 & lt- а2, тогда у & gt- 1, при этом плотность вероятностей (10) — убывающая функция переменной т (т & gt- 0) с точкой максимума т0 = 0, если величина
(а А2
& lt- 1, и плотность вероятностей (10)
а& gt-
— X
X + а
1 /
при т & gt- 0 имеет единственный максимум в точке
а Г, а Л2 ¦
-1п
т0 = -
1
а 2 — X — а1
а 2 — X
X + а1
& gt- 0,
(11)
если, а & gt- 1-
3) X & lt- а2, а2 & lt- X + а1, тогда у & lt- 0, при этом плотность вероятностей (10) — убывающая функция переменной т (т & gt- 0) с точкой максимума т0 = 0, если, а & gt- 1, и плотность вероятностей (10) при т & gt- 0 имеет единственный максимум в точке т0 & gt- 0, определённой формулой (11), если, а & lt- 1.
Подчеркнём, что если а2 = X, то рассматриваемый поток, как следует из (10), вырождается в пуассонов-ский с параметром X. Наконец, если а2 = X + а1, то плотность вероятностей (10) приобретает вид
p (т) = [X + a1 (X + a1) т]е ] 1, т& gt-0. (12)
Если X & gt- а1, то плотность вероятностей (12) — убывающая функция переменной т (т & gt- 0) с точкой максимума т0 = 0- если X & lt- а1, то плотность вероятностей (12) при т & gt- 0 имеет единственный максимум в точке т0=(а1 -X)/a1 ^+а1)& gt-0.
ПЛОТНОСТЬ вероятностей интервала между соседними событиями
В НАБЛЮДАЕМОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим теперь случай, когда при регистрации событий потока с инициированием лишнего события присутствует мёртвое время длительности Т (см. рисунок). В силу того, что мёртвое время привязано к моментам наступления событий в исходном потоке, марковское свойство остаётся присущим и для моментов наступления событий в наблюдаемом потоке. Припишем, не нарушая общности, моменту ^ наступления события в наблюдаемом потоке момент т = 0. Обозначим через л,(т)условную вероятность того, что в момент времени т процесс X (t) будет находиться в состоянии ] (] = 1,2) при условии, что в момент времени т = 0 событие наступило. Тогда для введённых вероятностей справедлива следующая система дифференциальных уравнений:
п1 (т) = -а1п1 (т) + а 2п2 (т), п'-2 (т) = а1п1 (т) — а2п2 (т), решая которую, находим
(т) = А,+ А2е- а 1 +а2)'- ,
п2(т)"-^1-А1 -А, е"(а1 +а2 ¦
В (13) А1, А2 — некоторые константы, которые определяются из граничных условий:
а1
А2, п2/ = А1 А2 ,
(13)
п1 (о) = А1 + А2, п2 (0) = -^А1 — А2
а
(14)
а
2
где П/(0) — условная (финальная) вероятность того, что процесс X (t) в момент времени т = 0 находится в состоянии / (= 1,2) при условии, что в этот момент времени событие наступило (п1(0) + п2(0) = 1). Так как рассматриваемый поток является асинхронным альтернирующим потоком с инициированием лишнего события, то события наступают (наблюдаются) только в первом состоянии процесса X (t), поэтому п1(0) = 1, п2(0) = 1. Тогда из (14) находим А1 = а2(а1 + а2)-1, А2 = = а1(а1 + а2)-1. Полученные выражения для констант А1, А2 совпадают с формулами (1) для финальных априорных вероятностей состояний процесса X (t). Так что окончательно выражения (13) примут вид
/ ч -1а1 +а2)т
я1(т)=я1 + п2е (1 2- ,
/ ч -(а +а21т
п2 (т) = п2 — п2е (1 2- ,
(15)
где п1, п2 определены формулами (1).
Рассмотрим теперь временной интервал длительностью т = Т + /, состоящий из двух смежных интервалов: первый — длительностью Т, второй — длительностью /. Началом первого интервала является момент наступления события в наблюдаемом потоке, началом второго интервала — момент окончания мёртвого времени. Обозначим Р/(0 — вероятность того, что в момент времени t процесс X (t) будет находиться в /-м состоянии (/ = 1, 2) и на интервале (0, 0 событий наблюдаемого потока не произойдёт. Обозначим, А — событие, заключающееся в том, что на интервале (0, 0 событий наблюдаемого потока не произойдёт и на полуинтервале [/, t + ДО, где Дt — достаточно малый интервал времени, произойдёт событие наблюдаемого потока. Тогда вероятность события, А запишется в виде Р (А) = P1(t)XДt + Р2(0а Дt + + о (Д (). Здесь подчеркнём, что если процесс X (t) в момент времени t находится во втором состоянии, то на полуинтервале [/, t + ДО процесс X (t) с вероятностью а2(Д0 + о (Д0 переходит в первое состояние, при этом инициируется лишнее событие в первом состоянии. С другой стороны, если р (0 — плотность вероятностей длительности интервала между моментом окончания мёртвого времени и следующим событием наблюдаемого потока, то Р (А) = p (t)XДt + о (Д0. Из сравнения этих формул следует, что
р^Р^а^ (/). (16)
Для вероятностей Р/(0, / = 1, 2, имеет место следующая система дифференциальных уравнений:
Р1 (t) = -(X + а1) р1 (), Р2 (/) = -а 2 Р2 ()+ а1Р1 (/), решая которую, получаем
Р1 ()= Р1 (0)е
р2 (t) =
Р2 (0^
X + а1 — а 2
X + а 1 — а 2
Р (0)
Р1 (0)е'-
(17)
мёртвого времени (в момент т = Т) процесс X (t) будет находиться в/-м состоянии (/ = 1, 2). Таким образом, для определения вероятностей (17) необходимо найти явный вид Р/(0), / = 1,2.
Введём в рассмотрение вероятность д1(Т) — финальную вероятность того, что наступившее событие в наблю-да-емом потоке есть событие /-го типа, / = 1,2 (д1(Т) + +?2(Т) = 1). Подчеркнём, что вероятности д/(Т) отличаются от вероятностей д/, определённых в (9), так как при формировании наблюдаемого потока часть событий исходного потока с инициированием лишнего события теряется из-за присутствия мёртвого времени (см. рисунок). Найдём явный вид вероятностей д/(Т), / = 1,2. Так как моменты наступления событий в наблюдаемом потоке образуют вложенную цепь Маркова, то для финальных вероятностей д/(Т) справедливы следующие уравнения:
?1 (Т)= ?1 (ТК + 42 (У21 ,
42 (Т)= 41 (ТК22 + 42 (Т222, (18)
41 + 4 2 = 1
где вероятности п/1, п, 22, / = 1,2 имеют тот же смысл, что и в (5), но для наблюдаемого потока событий. Таким образом, для определения вероятностей 4,(Т), / = 1,2, из уравнений (18) необходимо найти явный вид вероятностей п/1, п/22, / = 1,2.
Введём в рассмотрение условные вероятности 4/(7) -вероятность того, что процесс X (t) в момент времени т = Т (в момент окончания мёртвого времени) находится в /-м состоянии при условии, что в момент т = 0 имеет место событие /-го типа (/, / = 1,2). Пусть 0 & lt- т & lt- Т. Тогда для введённых вероятностей 4/(т) имеет место следующая система дифференциальных уравнений:
4,1 (т)=-а14,1 (т)+а 2 4/2 (т),
4'-п (т) = а14/1(т) — а 2412 (т), / =1,2, с граничными условиями 411(0) = 421(0) = 1, 412(0) = 422(0) = 0, решая которую, находим
411 (т)= 421 (т) = п1 + п 2е
412 (т)= 4 22 (т) = п 2 -п 2 е
е-(а1 +а 2 /с
2& quot- (¦, (19)
-[а1 +а2 ¦т

где Р/(0) — вероятность того, что процесс X (t) в момент времени t = 0 находится в /-м состоянии (/ = 1, 2). С другой стороны, момент времени t = 0 является моментом окончания мёртвого времени длительности Т, поэтому Р/(0) — вероятность того, что в момент окончания
где п1, п2 определены формулами (1). Отметим, что 421(0) = 1, 4гг (0) = 1, так как события (и 1-го, и 2-го типов) наступают только в первом состоянии процесса X (t).
Припишем теперь моменту окончания мёртвого времени, по-прежнему, момент времени t = 0. Тогда на полуинтервале [^ t + Д), где Дt — достаточно малый интервал времени, с вероятностью X (Дt) + о (Д) произойдёт событие 1-го типа либо с вероятностью а2(Д) + о (Д0 произойдёт событие 2-го типа. Обозначим через р/(0 условную вероятность того, что на полуинтервале [0, 0 нет событий наблюдаемого потока и в момент времени t имеет место/-е состояние процесса X (t) при условии, что в момент времени t = 0 имеет место /-е состояние процесса X (t) (/, / = 1,2). Тогда ра^^Д/ + о (Д0 — совместная вероятность наступления события 1-го типа на полуинтервале [/, / + Д/) и перехода процесса X (t) из /-го состояния в первое за время / (/ = 1,2) — р, 2(0а2 Д/ + о (Д)= р, 22(/)а2 Д/ + о (Д/) — совместная вероятность перехода процесса X (t) из /-го состояния во второе за время / с последующим переходом в первое состояние на полуинтервале [/, / + Д/) и инициированием
а
события 2-го типа на этом полуинтервале (/ = 1,2). Соответствующие плотности вероятностей (вывод аналогичен выводу формулы (16)) при этом определятся в виде ~/1 (/) = XР/l (/), 22 (/) = а2р/22 (/), / = 1,2. Так как / - Про-
извольный момент времени, то вероятности перехода процесса X (t) из состояния / в состояние / (/, / = 1,2) за время от момента окончания мёртвого времени до момента наступления следующего события наблюдаемого потока запишутся в виде
Р11 =1 рй (ї)Л = Х1 Ра ()Л & gt-
(20)
Р/22 = | Й22 (/)'-Ж = а2 | Р/22 (/)'-, / = 1, 2.
0 0
Интегрирование в (20) производится по бесконечному интервалу времени, так как момент наступления события в наблюдаемом потоке (после момента времени / = 0) может, в принципе, быть равным бесконечности. Таким образом, чтобы выписать переходные вероятности (20), необходимо найти явный вид вероятностей р/1(/), р/22(/), / = 1,2. Для этих вероятностей справедливы следующие дифференциальные уравнения:
Р'-и (/)=-(X+al)Р, 1 (/), / = I2,
р222 (/) = -а 2 р222 (/), р122 (/) = -а 2 р122 (/) + а1 р11 (/) с граничными условиями р11(0) = р22(0) = 1, р21(0) = =р122(0) = 0, решая которые, находим
«() —
Р 21 () — 0 & gt-
Р1
X + а1 — а 2
(21)
,() —
е
Подставляя (21) в (20), получаем переходные вероятности в виде
Р11 =•
X
Р21 = 0& gt- Р122 =-
Р222 = 1 • (22)
X
X + а1
а1 +а 2 + X
— (а + а 2 ІТ
X + а1
П/1 + п/22 = l, / = l, 2,
где пь п2 определены в (1). Наконец, подставляя п/1,
п, 22, / = 1,2, в (18), получаем явный вид финальных вероятностей 41(Т), 42(Т):
42
41 (т) —
(т) —
X
X + а1
— (а + а2) Т
X + а1
а1 +а 2 + X
1 — е
— I а1 + а 2 1Т
(23)
где п1, п2 определены в (1). Подставляя в (23) Т = 0, получаем выражения (9) для случая отсутствия мёртвого времени.
Вероятностное поведение процесса X (t) в течение мёртвого времени описывается формулами (15). Так как события в наблюдаемом потоке делятся на события 1-го и 2-го типов, то вероятности Р^), / = 1,2, в выражениях (17) запишутся в виде
Р,(0) = 4,(Т)п1(т = Т) + 42(Г)п1(т = Т) = п,(т = Т), Р2(0) = 41(Т)п2(т = Т) + 42(Т)п2(т = Т) = п2(т = Т), (24)
где п,(т = Т), / = 1,2, определены формулами (15) при т = Т.
Подставляя (24) в (17), а затем (17) в (16) производя при этом необходимые преобразования и учитывая, что длительность т интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке есть сумма длительности мёртвого времени Т (Т — детерминированная величина) и длительности интервала между моментом окончания мёртвого времени и наступлением следующего события в наблюдаемом потоке / (т = Т + /), находим плотность вероятностей р (т) в виде 0, если 0 & lt- т & lt- Т,
Р (т) —
/ ч — X + а 1 Тт — Т) у^ + а1) е 1 1 Л ] +
(25)
/ ч — а21т — Т)
+ (1 — у) а2е 1 1
X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0,
У —
X + а1 — а 2
— + а 2) Т
X + а, X + а,
В силу марковости процесса X (t) полученные переходные вероятности (19) и (22) позволяют (по известной формуле [26]) выписать выражения для переходных вероятностей п/ в виде п/ = 4й (Т)Ру + 4а (Т)Ру (/, / = 1,2), где 4//(Т) определены формулами (19), в которых т = Т- Р/ определены формулами (22) — п, 2 = п, 22- р/2 = р/22, / = 1,2. Осуществляя подстановку в эту формулу выражений (19) и (22) (для соответствующих /, /), находим явный вид переходных вероятностей гс/-:
где пь п2 определены в (1). Положив в (25) Т = 0, приходим к формуле (10), т. е. к формуле для плотности вероятностей интервала между соседними событиями в асинхронном альтернирующем потоке с инициированием лишнего события.
Подчеркнём, что если а2 = X, то рассматриваемый поток, как следует из (25), вырождается в пуассонов-ский с мёртвым временем [12]. Если а2 = X + а1, то плотность вероятностей (25) приобретает вид 0, если т & lt- Т,
1
Р (т) —
X + 2а 1
{(X + а1)2 [ + а1 (т — Т)] -
— а2 [і- (X + а1) (т — Т)]
— (X + 2а1 ІТ
Положив здесь Т = 0, приходим к формуле (12).
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНКИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Пусть наблюдаются п + 1 событий наблюдаемого потока в моменты времени /1,…, /п+1. Рассмотрим величины т,. = //+1 — /-., / = 1, п. Так как наблюдаемый поток
событий — рекуррентный, то величины т являются взаимно независимыми и одинаково распределёнными. Будем полагать, что параметры X, а1, а2 случайного
71
2
СО
СО
ос
а
71
2
процесса X (t) известны. Тогда на основании выборки наблюдений ть…, тп необходимо оценить длительность мёртвого времени Т. Оценку осуществим методом максимального правдоподобия [28]. С учётом формулы (25) функция правдоподобия запишется в виде [28]
Ь (Т
п)=П р (т т/) =
= П
у (т)(x + a1) е
-1X + а1) (т. — Т]
+ (1 -у (Т))а2е-а2(т'- -ТУ
т. & gt-Т.
(26)
ь (г
г (& gt-)
, т (п)) =

,. ,. —X + a1](т (,) — Т У
у (Т)(X + a1) е 1 1 Л У +
-(1 -У (т))а 2е
Рассмотрим функцию
-а2(т (/) -Т
-(1 -у (Т))
р'- т (/))=у (Т)(x + a1)
(/) — т
^ тах
0& lt-Т & lt-тт!п
-^X + a1 ](т) -Т] е (У +
/ = 1, п ,
(28)
где у (7) определена в (25) — в обозначениях р (Т|т,), у (7) подчёркивается, что р (7|т,), у (7) являются функциями переменной Т.
Упорядочим наблюдения р (Т|т,), по возрастанию: ттт = т (1) & gt- т (2) & lt- … & lt- т (п). Тогда оценкой максимального правдоподобия Т длительности мёртвого времени Т будет являться решение следующей оптимизационной задачи [28]:
где у (7) определена в (25). Нетрудно показать, что функция (28) является возрастающей функцией переменной Т для любых /, X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0. Если это так, то функция правдоподобия (26) также является возрастающей функцией переменной Т для любых X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0. Отсюда следует, что решением оптимизационной задачи (27) является Т = тт1п. Таким образом, Т = тт1п есть оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени Т при любых X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0. Аналогичный результат имеет место и для случая а2 = X + а1.
ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЁРТВОГО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ МОМЕНТОВ
Вид плотности вероятностей (25) позволяет сделать вывод о том, что возможна оценка (например, методом максимального правдоподобия либо методом моментов) неизвестных параметров распределения X1 = X + а1, а2, у, Т. Это означает, что имеется возможность оценить три неизвестных параметра X, а1, а2 процесса X (t) и оценить неизвестную длительность мёртвого времени Т. Применение метода максимального правдоподобия при оценке параметров X, а1, а2 (оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени Т, как показано выше, есть Т =т т1п для любых
X & gt- 0, а1 & gt- 0, а2 & gt- 0) влечёт за собой очевидные трудности, связанные с видом функции правдоподобия (26). Вследствие этого для оценки неизвестных параметров X, а1, а2, Т используем метод моментов, дающий оценки, обладающие достаточно хорошими свойствами при больших выборках наблюдений [28].
1 п
Рассмотрим статистики Ск =-Хтк, где
п ,=1
т, = /,+1 —
/ = 1, п, к = 1,2,…, т. е. наблюдаются п +1 событий потока. В силу взаимной независимости величин т. и их одинаковой распределённости имеет место М (Ск) = М (тк), где М — оператор математического ожидания. Более того, статистика Ск, к = 1,2,…, сходится почти наверное при п ^ да к М (тк). Тогда для оценки неизвестных параметров X1 = X + а1, а2, у, Т распределения (25) необходимо иметь четыре уравнения
М (тк)= Ск, к = 14, (29)
где
М (тк)= 1 т кР (т)т = Тк + Хт-Т, Т
,=1 (- /)! (Xi1
У. +
а
2 У
В результате достаточно трудоёмких преобразований из системы (29) получаем уравнение для определения оценки длительности мёртвого времени:
Т6 — 6С1Т5 + 3(6С12 — С2) т4 + 4(с3 — 6С13) т3 +
+ 3(с4 + ИС^Сг — 8С1С3) т2 +
+ 6(4С12С3 — 6С1С22 — С, С4 + 2С2С3) т +
+ 4С32 — 24С1С2С3 + 18С23 — 3С2С4 + 6С12С4 = 0. (30)
Очевидно, что решение уравнения (30) возможно только численно. В качестве оценки Т естественно выбрать корень уравнения (30) из полуинтервала (0, ттш], где тт1п = т1пт. (/ = 1, п). При этом возможны варианты:
1) если корень, попавший в полуинтервал (0, тт1п], единственный, то тогда этот корень и есть Т —
2) если ни один из корней не попал в полуинтервал
(0, ттт], то тогда оценка Т = тт1п-
3) если в полуинтервал (0, тт1п], попадает более одного корня, то тогда для того, чтобы сделать оценку Т, необходима некоторая дополнительная информация либо, скажем, в качестве оценки Т выбирать среднеарифметическое этих корней.
Оценки и а2 при этом выражаются в виде
= -2 (- ь+у1 ь 2 — 4с, а2 = -2(-ь-V ь 2 — 4с
{ 2 (2 ^ ,^3 х{ Т4 — 4С1Т'-3 + 6С2Т2 —
ь = { 2 (2Г3 — 6С1Т2 + 6& lt-С2Т + С3 — 3С, С2) }х
— 6С, С2Т + 2С3Т — 2С1С3 + 3С22
Г •
{ 6 (Т2 — 2С1Т — С2 + 2С12) }х
/=1
/=1
+
/=1
к-.
х { Т4 — 4С1Т'3 + бСТ —
— бС1С1Т + 2С3Т — 2С1С3 + 3С22)-1 • (31)
При этом должны выполняться следующие неравенства: Ь2 — 4с & gt- 0, Ь & lt- 0, с & gt- 0, так как оценки ?^1 и а2 должны быть положительными. Кроме того, так как
оценки1, (і2, как видно из (31), являются корнями соответствующего квадратного уравнения, то при выборе корней принято, что X + а1 & gt- а2 (в реальных ситуациях величины а1 и а2 обычно сравнимы между собой, а исходный поток событий достаточно интенсивен) — если же имеется другая априорная информация о соотношении параметров процесса X (/), то нужно в (31) просто поменять местами
?^1 и а2. Оценка у выражается в виде
У —
а2 — ?^1
(32)
Если найдены (по формулам (30)-(32)) оценки у,
, Х2, Т, то имеется возможность найти оценку а1 с использованием формулы (25) для у:
к — V — 1 (- лМ -^а1 + Х2) Т
11X1 — а21у + а 2]а1 + 1а, + сх2 — X} Iа, е +
+ Х2 ^ - Х2)(-1)= 0. (33)
В уравнении (33) оценки Т,, а2, у определяются выражениями (30) — (32) соответственно. Нако-
нец, оценка параметра X находится в виде
X = X, -сх,. (34)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные результаты показывают возможность оценивания длительности мёртвого времени по результатам текущих наблюдений (в течение некоторого временного интервала) за потоком событий для регистрирующих приборов первого рода (приборов с непродле-вающимся мёртвым временем), а также возможность оценки параметров исходного асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишнего события.
Выражения (31), (32), (34) для оценок параметров распределения (25) получены в явном виде как функции статистик Ск и оценки Т, являющейся корнем полинома (30), что позволяет производить вычисления без привлечения численных методов решения уравнений (29).
Рассматриваемый случай характерен тем, что оценивание производится в условиях отсутствия априорной информации о параметрах потока событий. Однако если имеется дополнительная информация о параметрах потока событий (граничный случай — известны все параметры X, а, а2), то качество оценки длительности мёртвого времени будет только улучшаться. В частности, для граничного случая оценка Т находится из уравнений (29) для к = 1 (т.е. система (29) вырождается в одно уравнение) либо в качестве оценки длительности мёртвого времени можно взять оценку максимального правдоподобия Т = тт1п, хотя она заведомо будет смещённой оценкой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Статистическое оценивание состояний дважды стохастического пуассоновского процесса // Тез. докл. III Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов». Ч. 1. М. 1988. С. 124−125.
2. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оптимизация параметров адаптера при наблюдениях за МС-потоком // Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. С. 20−32.
3. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Алгоритм оценивания состояний МС-потока // Сетеметрия, анализ и моделирование информационновычислительных сетей. М.: Изд-во АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика», 1988. С. 28−38.
4. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Серия: Системы связи. 1989. Вып. 7. С. 46−54.
5. Горцев А. М., Нежельская Л. А., Шевченко Т. И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12. С. 67−85.
6. Горцев А. М., Куснатдинов Р. Т. Оценивание состояний МС-потока событий при его частичной наблюдаемости // Изв. вузов. Физика. 1998. № 4. С. 22−30.
7. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальный алгоритм оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. 11. № 4. С. 41929.
8. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 52−66.
9. Горцев А. М., Бушланов И. В. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2003. № 6. С. 220−224.
10. Курочкин С. С. Многомерные статистические анализаторы. М.: Атомиздат, 1968.
11. Апанасович В. В., Коляда А. А., Чернявский А. Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Университетское, 1988.
12. Горцев А. М., Климов И. С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника. 1991. № 12. С. 3−7.
13. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1994. № 8. С. 3−9.
14. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оценка параметров синхронно-альтернирующего пуассоновского потока событий методом моментов // Радиотехника. 1995. № 7−8. С. 6−10.
15. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание периода ненаблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996. № 2. С. 8−11.
16. Горцев А. М., Завгородняя М. Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10. № 3. С. 273−280.
17. Горцев А. М., Паршина М. Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий в условиях «мёртвого» времени // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 8−13.
18. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 19−27.
19. Васильева Л. А., Горцев А. М. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. № 3. С. 179−184.
20. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2002. № 1 (I). С. 18−23.
21. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оценивание периода мёртвого времени и параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий // Измерительная техника. 2003. № 6. С. 7−13.
22. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока событий // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2003. № 6. С. 232−239.
23. Васильева Л. А., Горцев А. М. Оценивание длительности мёртвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. 69−79.
24. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process // Communications in Statistics Stochastic Models. 1991. Vol. 7. P. 1−46.
25. Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1994. Vol.
10. P. 575−598.
26. ХинчинА.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.
27. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., КоваленкоИ.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.
28. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 15 мая 2004 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой