МЕРА НЕКОМПАКТНОСТИ ? В ПРОСТРАНСТВАХ L Р

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 988. 6+517. 988. 521
МЕРА НЕКОМПАКТНОСТИ В В ПРОСТРАНСТВАХ Lp Н.А. ЕРЗАКОВА
Выделяется новый класс уплотняющих операторов. Оценивается фредгольмов спектр для частного случая линейных операторов. Проводится сравнительный анализ мер некомпактности.
Ключевые слова: мера некомпактности, уплотняющий оператор, пространство Лебега, частично аддитивный оператор.
Введение
Впервые количественную характеристику степени некомпактности (меру некомпактности) подмножества U метрического пространстваE ввел в рассмотрение Куратовский в 1930 г. в связи с задачами общей топологии.
Уплотняющий оператор — это отображение, при котором мера некомпактности образа некомпактного множества меньше меры некомпактности множества.
В частности, для уплотняющих операторов справедлива теорема Шаудера о существовании неподвижной точки.
Существуют различные меры некомпактности. Так, например, в предлагаемой работе исследуются три различные меры некомпактности. Одна из целей настоящей работы — показать эффективность, в некоторых случаях, одной меры некомпактности относительно другой.
1. Постановка и формализация задачи
Пусть E — банахово пространство, а U — ограниченное подмножество E. Мерой некомпактности Хаусдорфа CE (U) множества U называется инфимум всех? & gt- 0, при которых U имеет в E конечную? — сеть.
Мера некомпактности ?(U) = ?E (U) подмножества U банахова пространства E — это точная нижняя грань таких r & gt- 0, что всякое подмножество, расстояние между любыми двумя элементами которого не меньше r, конечно.
Другими словами, мера некомпактности ?(U) = ?E (U) подмножества U банахова пространства E — это точная верхняя грань таких r & gt- 0, что существует бесконечное подмножество, расстояние между любыми двумя элементами которого не меньше r.
Пусть ф обозначает ниже c или ?.
Для относительно компактного множества U справедливо равенство f (U) = 0. Кроме того, ф обладает рядом замечательных свойств [1], среди которых полуоднородность f (tU) =| 11 f (U) (t — число) — полуаддитивность f (U1 u U2) = max {f (U1), f (U2)}- инвариантность относительно сдвигов f (U + b) = f (U) (b є E), алгебраическая полуаддитивность f (U1 + U2) & lt- f (U1) + f (U2).
Следуя традиции [3−10], обозначим через VE (U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства E.
Мера VE (U) обладает всеми перечисленными свойствами ф, за исключением одного: равенство VE (U) = 0 возможно на множествах, не являющихся относительно компактными.
В работах [3−4] доказано, что для произвольного ограниченного подмножества U правильного пространства E имеет местоcE (U)^ve (U) — если U к тому же компактно по мере, то
Xe (U) = nE (U). Ниже будут доказаны аналогичные свойства для ?.
Здесь компактность по мере традиционно означает [1] компактность в нормированном пространстве S всех измеримых почти всюду конечных функций и с нормой
||u|| = inf: I u (t) |& gt- 5}}.
s& gt-0
Пусть E — произвольное нормированное пространство, а B (u0, r) = (и e E: ||u — u0|| & lt- r} обозначает шар радиуса r в E с центром в u0.
Лемма 1. Пусть U — произвольное ограниченное бесконечное подмножество некоторого банахова пространства E. Тогда для каждого числа е& gt- 0 найдется такой элемент u e U, что B (u, /(U) + e) содержит бесконечное подмножество из U.
Доказательство. Пусть u1 — произвольный элемент U и e & gt- 0. Если шар B (u1,/(U) + e) содержит бесконечное подмножество U, то доказательство леммы закончено, в противном случае, в U найдется элемент u2? B (u1,/(U) + e). Аналогично, если шар B (u2,/(U) + e) не содержит бесконечное подмножество из U, то в последнем найдется элемент u3? B (u1, b (U) + e) и B (u2, b (U) + e) и т. д.
В силу определения b (U) этот процесс оборвется на некотором шаге n, так как по построению Щ. — uj || & gt- J3(U) + e для любых i ф j (1 & lt- i, j & lt- n).
Лемма 2. Пусть U — по-прежнему произвольное ограниченное и бесконечное подмножество банахова пространства E. Тогда для каждого e& gt- 0 в U найдется бесконечная последовательность (un}, расстояние между любыми двумя членами которой не больше, чем b (U) + e.
Доказательство. В силу леммы 1 для каждого e & gt- 0 в U существует элемент u1 такой, что шар B (u1, b (U) + e) содержит бесконечное множество U1 с U.
Применяя лемму 1 теперь уже к множеству U1 (u1} и учитывая неравенство b (U1) & lt- b (U), выберем элемент u2 ф u1 такой, что шар B (u2,b (U) + e) содержит бесконечное множество U2 с U1 и т. д.
Так как на шаге n мы получаем бесконечное множество Un с Un-1, то этот процесс не оборвется, и мы построим бесконечную последовательность (un }, расстояние между любыми двумя членами которой не больше, чем b (U) + e.
2. Мера некомпактности /3 подмножеств Lp
Пусть W — подмножество конечномерного пространства, причем m (W)& lt-?, ц — непрерывная мера, т. е. всякое подмножество W можно разбить на два подмножества равной меры.
Пусть всюду U обозначает множество всех измеримых функций, принимающих только значения 1,-1,0.
Ниже будет использоваться пропорциональность / и c в сепарабельном гильбертовом пространстве
(результат автора опубликован в [1]).
Лемма 3. Пусть U — произвольное бесконечное подмножество U с условием, что найдется число w& gt- 0 такое, что ^(supp и) = w для каждого и є U. Тогда для любого ?& gt- 0 существует бесконечное множество U0 с U, для произвольных двух элементов и, v которого величина Xuv, определяемая равенством Xuv = m{ supp и D supp v}, удовлетворяет неравенству
(1)
L? 2(w-W/ m (W)) + e.
Доказательство. Нетрудно видеть, что %uv = Xu\v, поэтому достаточно доказать справедливость утверждения для множеств |u| = {| u |: u е U}.
Обозначим через (w/ m (W))e функцию, принимающую постоянное значение w/ m (W). Тогда
(Xl2 (|U))2? sup||| u | -(w/m (W))eL = (i -w/m (W))2w+w2(m (W) -w)/(m (W))2 = w-w2/m (W).
2 |u|e|U | 2
Отсюда в пространстве L2 в силу (1) ?L (| U |) & lt- д/2(w- w2 / m (W)).
Теперь по лемме 2 извлечем из | U | для произвольного числа? & gt- 0 бесконечное подмноже-
II 1|2 2
ство U0, для любых элементов | u |, | v | которого u | - | v | & lt- 2(w-w /m (W)) + ?. Так как
II llL2
| u | - | v |= 0 на пересечении носителей, отсюда получаем неравенство
Iu | -1 v IL2 = X"|M & lt-2(w- w / m (W))+?,
завершающее доказательство леммы.
Лемма 4. Пусть выполнены предположения леммы 3. Тогда для каждого? & gt- 0 в U содержится бесконечное подмножество U0 такое, что для любых u, v е U величина
wuv = m{t :| u — v |= 2} удовлетворяет неравенству
wuv & lt- ½m (supp u n supp v) + ?. (2)
Доказательство. В силу (1) ?^ (U) = 21/2cLl (U) & lt- 21/2 sup||u|| = (2w)12. Поэтому по лемме 2
2 ueU 2
2
U содержит бесконечное подмножество U0, для любых u, v которого u — v & lt- 2w + ?. Отсюда
0 L2
2
u — v\ = 4wuv + 2(w-m (supp u n supp v)) & lt- 2w+?. Преобразуя последнее неравенство, полу-
L2
чаем (2).
w2
Лемма 5. Пусть выполнены предположения леммы 3. Тогда? u (U) & lt- 2w---------------.
L1 m (W)
Доказательство. По определению? для произвольного ?& gt- 0 U содержит бесконечную ?^ (U) —? -решетку U0. Применим к U0 утверждения лемм 3 и 4, и тогда извлечем из него бесконечное подмножество U1, для любых элементов u, v которого справедливо Xuv & lt- 2(w- w2 /m (W)) + ?иа& gt-т & lt- ½m (supp u n supp v) + ?.
Тогда для u Ф v из U1
?r (U) -?& lt- ||u — v\ = w +?m = 2(w-L/2)/2 + L = w+x & lt- 2w-w-,
1 L 2 m (W)
откуда в силу произвольности ?& gt- 0 получаем утверждение леммы.
Лемма 6. Пусть заданы два конечных набора положительных чисел a1, a2,…, an и
Г n
w, w2,…, wn | & lt- m (W), а также множество V, элементы которого можно представить в
V i=1 У
n
виде u = 4^jaiui (m (supp ui) = wi, ui e U, пересечение множеств supp ui, supp uj пусто для всех
i=1
n Г n Л2
1 & lt- /, j & lt- n). Тогда ?(V) & lt-22агщ -12aw /(maxam (W)).
«I „1& lt-i<-n
г=1 V г=1 j
Доказательство. В случае, когда п = 1, утверждение следует из леммы 5, полуоднородно-сти Д и неравенства а1 & gt- 0. Поэтому предположим справедливость сформулированного утверждения для какого-либо п & gt- 1 и докажем, что оно остается верным при замене п на п + 1 в представлении для элементов V. Без ограничения общности предположим, что ап+1 & gt- ап & gt- … & gt- а. Тогда в силу алгебраической полуаддитивности Д и равенства
п
и =? аи + аип+1 + (ап+1 — ап К+1
1=1
имеем
Д (У)& lt- Д {? аи + апип+1: и е V+Д {(ап+1- а К+1: и е V}.
Отсюда, принимая во внимание сделанное выше индуктивное представление, получим
п ^ п Л2
Д7) & lt- 2? ащ + 2"п®п+1- |? ащ + ап®п+1
1=1 V ?=1 У
+ 2(ап+1 — ап) Щп+1 — (ап+1 — ап)(Щп+1)2 / МФ & lt-
п+1 ^ п Л2
& lt- 2? ащ -1? а щ + ащп+1 / ат (а“ — (ап+1- а) щп+12 / МФ& lt-
?=1 V -=1 у
п+1 п+1 Л2
& lt- 2? а щ —? а щ 1(ап+т (Щ.
-=1 V -=1 У
п
Следствие. Пусть, а = тах а-, г = ?а-щ. Нетрудно видеть, что в силу предположений лем-
1& lt--<-п
-=1
мы 6 имеет место включение V с В, (в, а) п В, (в, г), при этом утверждение леммы примет
вид ?1, (7) & lt- (2 — г /(ат (^))г.
Как будет доказано ниже, это неравенство справедливо для любых подмножеств из
Вь? (в а) п BLl (в, г).
Теорема 1. Пусть и с В, (в, а) п В, (в, г). Тогда Д^ (и) & lt- (2 — г /(а^(^))г. Доказательство. По определению меры некомпактности Д для каждого е& gt- 0 в и содержится бесконечная последовательность {ип}, для любых различных членов которой справедливо неравенство ||ип — ит\^ & gt- Дц (и) — е.
В силу ограниченности {ип} в, последняя содержит бесконечную подпоследовательность {~п}, элементы которой с точностью до е допускают аппроксимацию функциями из В, (в, а) п В, (в, г), удовлетворяющими предположениям леммы 6 для некоторого п. Итак, Ди (и) — е & lt- \ик — иЛ + 2е для любых к ф I. В силу леммы 3 мы можем предполагать без огра-
М II \Ll_
ничения общности, что ||~к — & lt- Д^ {ип} + е. По лемме 6 Д, {~п } & lt- г. В итоге получаем
Д^ (и) & lt- ик — и1 ||, + 3е & lt- Д, {~п} + 4е & lt- (2 — г /(ат (Щ)г + 4е, что завершает доказательство теоремы в силу произвольности выбора е& gt- 0.
Мера неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов п, (и) подмножества
и пространства Цр (1 & lt- р & lt- ?) определяется как
vl» (U)= Jim supllPD
(3)
тШ®о ~ие5'-г°
где Рви (= и (^), если ^ е В и Рви (= 0, если ^? В.
Теорема 2. Для любого ограниченного подмножества и пространств Ьр (1 & lt- р & lt-?) имеет
место неравенство ?3Ьр (и) & gt- 217руЬр (и). Если и компактно по мере, то ?3Ьр (и) = 217руЬр (и).
Доказательство. В силу определения (3) в и содержится бесконечная последовательность {ип}, для которой в О существует последовательность попарно не пересекающихся измеримых множеств {Вп} с условием, что:
V"
VLP (U) ' В) VLP dPia. Dn } 0 '-
а) lim ?(Dn) = 0- б) lim ^ _ lp, ,., lp
К тому же, для каждого e & gt- 0, без ограничения общности можно предполагать, что & gt- nL (U) — e для каждого n, а учитывая абсолютную непрерывность норм в Lp
PD Un
n
(1 & lt- р & lt- ?), дополнительно считать, что для всех пит & lt- е. Отсюда при некоторых п & gt- т по лемме 2
n & gt- m
PD Um
n
?! (U) + e& gt-?L. {"" }+Є& gt-
PWD (Un Um)
+
PD n (WD)Un
ГУ1 v И '-
PD (Un — Um)
& lt- Є и при
& gt-
& gt-
PD n (WD)(un um) + PD (u n Um)
ГУ1 v И '- И
& gt-
& gt- PDmum m — 2e + V" -Є
V V LP
& gt-{vLp (U) — 3Є) + (vlp (U) -є).
Отсюда в силу произвольности выбора Є & gt- 0 следует неравенство? Lp (U) & gt- 217 LvLp (U).
Пусть U компактно по мере. По определению? существует последовательность {un} такая, что? p (U) -Є & lt- ||un -um ||L для всех n Ф m.
L Lp
Извлечем из {un} подпоследовательность {un}, удовлетворяющую условиям а), в) вместе с некоторой последовательностью {Dn} и б) Jim PD un =vL {un}.
n®? n LP P
Имеем {un }c{PWDun }+{PDun}. Поскольку Jim ju (s :| PD un (s) |& gt- s) = 0 для всех s, после-
n n n®? n
довательность {PD u (компактна по мере. Поэтому в случае компактности по мере U последо-
Dn n
вательность PWD un} также компактна по мере. По критерию компактности [2, лемма 1. 1]
n
?Ll {pWDn Un }= 0.
Таким образом,
?lr (U) — є? IK — ffJL & lt- ?Lp. u}+Є & lt- ?L {Pd, K }+є & lt-
PD un — PD um P + Є = PD un P + PD um
n m L n L m
Отсюда, устремляя n ®? и m ® ?, в силу lim выбора e получаем утверждение теоремы.
PD Un
n
+ Є.
vLp {un }& lt- vLp (U) и произвольности
P
L
P
L
P
V
V
V
u — u
nm
L
P
L
L
P
P
V
L
L
P
P
P
P
L
P
L
P
3. Мера некомпактности? операторов в пространстве 4(W)
Для произвольной функции u е Lj (Q) и произвольного числа T & gt- 0 введем обозначения: D (u, T) = :| u (s) |& gt- T}- A (u, T) = (s :| u (s)? T} = W D (u, T)).
Ранее было доказано [3−7], что nL (U) = lim sup PDu Tu.
p TueU ' Lp
Замечание. Из теоремы 2 следует, что ?^ (B^ (в, r)) = 2r. В то же время из теоремы 1 получается, что мера некомпактности? в пространстве L1 произвольных подмножеств B^ (в, r), ограниченных по норме в L? числом a, не превышает? h (U)? (2 — r l (am (W))r.
Пусть так же, как в [7−10]
k (U, A, L1(W), L1(W)) =
lim ||APD (u, T) U
sup ||PD (u, T) U||
T PD (u, T) X *°, ueU L1
lim і ApD (u, T) U
sup ||pD (u, T) U||
T PD (u, T) X0,ueU L1
к (и, А, ^(О), Д (^)) =
т®?11~ II … .г ПР_/ -М.
\ь1
Теорема 3. Пусть, А — непрерывный частично аддитивный оператор, действующий из 4(0) в Ь? (О), сужение которого на Ь? (О) вполне непрерывно. Тогда для любого подмножества и из Д (О) мы будем иметь
АД Аи) & lt- (1 — к (и, А, Д (О), Д (О)) /(2к (и, А, Д (О), Д (О))т (О))к (и, А, Д (О), Д (О)/ (и). Доказательство. Если и не ограничено, то в этом случае (и) =? и утверждение выполнено. Поэтому без ограничения общности предположим, что и ограничено. Тогда и с{Ро{и, г) и: и є и} + {Р^и т) и: и є и} для любого Т & gt- 0.
В силу предположения о частичной аддитивности оператора, А имеем
Аи С А{Ро (и, Т) и: и є и |+ А{РА (и, Т) и: и є и}- А (Р)-Из алгебраической полуаддитивности / получаем
/ (А и) & lt- Р! Л (А{РВ (иТ)и: и Є и5) + Р (А{РА (и, Т) и: и Єи} + РіЛ (АШ.
Имеем рц (А{РА (иТ)и: и є и}) = 0, так как сужение оператора на Д? (О) вполне непрерывно.
Кроме того, (А (в)) = 0 как на одноэлементном множестве. Поэтому
А (Аи) & lt- / (АРп (иТ)и: и єи}) и справедливо включение для любого Т & gt- 0
,, l|APn (,. tU
A{PD (u, T) U: U Є U je В
D (u, T) иL
q suP iu-------------------------------suPll pd (u, t) u
Р0(и, Т) и\к *0'иеи \Р0(и, Г) иЬ1 иеи Ц ^
Отсюда А{Ря"ти: ие и}с в (в, к (В (в, уц (и)), Л, ?,(П),?. (П))^/)). Подставляя в неравенство Ь (и) & lt- (2 — г /(ат (О))г, г = к (В (в, ^ (и)), А, ?1 (О), ?1 (О)1/А (и) и, а = к (В (в, ^ (и)), А, (О), ?" (О)) ^ (и).
Поэтому в силу равномерной ограниченности в ?? (О) и теоремы 1
Pu (AU) & lt-
Г 2 _ k (B (0,vLi (U)), A, 4(W), Lt (W)) ^
к (B (q, vk (U)), a, l (W), L^ (W))m (W)
k (B (q, n, (U)), A, Lj (W), Lj (W)v, (U).
Так как /3^ (и) & gt- 2п^ (и), то получаем утверждение теоремы 2.
Следствие. Пусть, А — линейный оператор А: Ь1 (О) ® Ь1 (О), ф — мера некомпактности. Напомним, что ||А||ф= Бир{к & gt- 0: ф (Аи) & lt- кф (и) & quot-и с Р1(О)}. Для линейного оператора, действующего из Ь,(О) в Ь?(О), имеем |1а||3 & lt- [(2 — I|А| /(IАІІ т (Ф)))/2]||АІІ в силу
? II II II \Ьі®Ьі II \Ьі®Ь? II \Ьі®Ьі
теоремы 3.
Действительно, для линейного оператора к (и, А, Р1(О), ЬДО)) & lt- А. Очевидно линей-
II 11!^®!^
ный оператор является частным случаем частично аддитивных операторов. Кроме того согласно [2], он является интегральным оператором, так как действует из !1(О) в Ь? (О). Поэтому по лемме 5.3 из [2] он отображает каждое ограниченное по норме в Ь? (О) множество в компактное по мере. Отсюда в силу критерия компактности [2, лемма 1. 1] он вполне непрерывен как оператор из (О) в (О).
Пример. Пусть рп (і) (п = 1,2,…) система функций Радемахера в Ь1(0,1). Пусть А1, А2,… -последовательность непересекающихся промежутков на [0−1]. Через кп (^) будем обозначать
характеристическую функцию промежутка, А п. Положим К (і, ^) = Рп (і)кп (^
п=1
Очевидно, К (і, ^) измерима по совокупности переменных. Кроме того, для любых і Є [0,1] и и є Ь1(0,1)
| К (і, s) u (s)ds
I |рп (і)и (№
п=1 А
п
& lt- I
п=1
& lt- I ц и (5)|ds & lt- ||и
Ь (0,1) ¦
п=1 А
п
1
Поэтому функция (Ки)(^) = | К (?, s) u (s)ds измерима при любой измеримой функции
0
и є Ь1(0,1) и имеет норму в Ь?, не превышающую ЦиЦ^ (01). Отсюда
ІІКІІ = ИкУ = 1
II ІІІ1 (0,1)®Ь_ (0,1) II ІІІ1 (0,1)®Ь1 (0,1) •
к (*$)
Рассмотрим последовательность х (я) = п.. Из определения оператора Кх (я) = р (і)
т (А п)
(п = 1,2,…). В таком случае ||К||* = %(кВ1)& gt- с{Кхп}=ХрпНК\к (0Д)®Ь (0,1) =1.
Пусть и с Вц (в, г). Тогда Ки с Вь (в, г) п Вц (в, г) и в силу теоремы 2 (Ки) & lt- 1 3 (и).
Таким образом, ||к|| 3 & lt- 1. Следовательно, данный пример не только служит иллюстрацией полученных результатов, но показывает различие мер некомпактности, так как относительно меры не-компактности 3 оператор является уплотняющим, а относительно * не является таковым.
Заключение
Итак, для любого ограниченного подмножества и пространств Ьр (1 & lt- р & lt-?) доказаны неравенства *Ьр (и) & gt-УЬр (и) и? Ьр (и) & gt- 21/рпЬр (и). Если и компактно по мере, то
Хьр,(и) = уьр (и) и? Ьр (и) = 21/руЬр (и).
В силу [1] для внешнего радиуса фредгольмова спектра линейного оператора, А справедлива
Ап
0
оценка Яф (А) & lt-||А||ф. Таким образом, для линейных операторов, действующих из Ь1(О) в
Ь? (О), по теореме 3 имеем более точную оценку для Яф (А) через \А\3 и, кроме того, выделяем новый класс уплотняющих операторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. -Новосибирск: Наука, 1986.
2. Красносельский М. А., Забрейко П. П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966.
3. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces // Zeitschrift ffir Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2. P. 299−307.
4. Ерзакова Н. А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сибирский математический журнал.
— 1997. — Т. 38. — № 5. — С. 1071−1073.
5. Ерзакова Н. А. О нелинейных операторах // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика.
— 2009. — № 140. — С. 57−64.
6. Ерзакова Н. А. О разрешимости уравнений с частично аддитивными операторами // Функциональный анализ и его приложения. — 2010. — Т. 44. — Вып. 3. — С. 69−72.
7. Ерзакова Н. А. О компактных по мере операторах (статья) // Известия вузов. Математика. — 2011. — № 9.
— С. 44−51.
8. Erzakova N.A. On locally condensing operators // Nonlinear Analysis: Theory Methods& amp- Applications. — 2012.
— Т. 75. — № 8. — С. 3552−3557.
MEASURE OF NON-COMPACTNESS b IN SPACES Lp
Erzakova N.A.
A new class of condensing operators is obtained. The Fredholm spectrum in particular case is valued. Comparative analysis of measures of non-compactness is given.
Key words: measure of non-compactness, condensing operator, Lebesgue space, partly additive operator.
Сведения об авторе
Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов — теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С. Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой