Метод Галеркина в задаче дифракции Е-поляризации на произвольной цилиндрической поверхности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621. 396:517. 9
МЕТОД ГАЛЕРКИНА В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ-ПОЛЯРИЗАЦИИ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ И. С. Эминов, В.С. Эминова
Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail. ru
Методом Галеркина решена задача дифракции Е-поляризованных электромагнитных волн на произвольной цилиндрической поверхности. Проведены численные расчеты и продемонстрирована высокая эффективность метода Галеркина.
Ключевые слова: интегральное уравнение, метод Галеркина, логарифмическая особенность, ядро, параболическая поверхность
Problem of E-polarized electromagnetic waves diffraction on the arbitrary cylindrical surface is solved by the method of Galerkin. We conducted the numerical calculations and demonstrated high efficiency of the method.
Keywords: integral equation, Galerkin method, logarithmic singularity, core, parabolic surface
1. Введение
Интегральные уравнения имеют место в теории дифракции, теории антенн, а также в теории упругости. В связи с этим наблюдается огромный интерес исследователей к ним.
Существуют несколько методов решения интегральных уравнений. Так, в [1] для решения интегральных уравнений развит метод механических квадратур, а в [2] используется метод коллокации на основе кусочно-постоянного базиса. В работах [3−5] для решения интегральных уравнений теории дифракции на полосе развит метод Галеркина. В этих работах показана высокая скорость сходимости метода Галеркина, преимущества этого метода по сравнению с другими численными методами.
Таким образом, представляются актуальным разработка алгоритмов и программ решения интегрального уравнения на цилиндрической криволинейной поверхности, основанных на методе Галеркина.
2. Интегральное уравнение дифракции для волн ?& quot--поляризации на идеально-проводящей полосе
Известно [1], что неизвестная функция плотности поверхностных токов в задаче дифракции Е-поляризации на идеально-проводящей полосе удовлетворяет интегральному уравнению
[ Л ()Н 02)(с э|т — ^ = Е° (т)-^7Л[^ -1 ^ Т1 С1)
-1 a э д
э 1 2п
где, а = ak = a- - электрическая полуширина по-
лосы- Н02 2) = J0 (2) — 1Ы0 (2) — функция Ханкеля 2го рода, нулевого порядка- J0 (2) — функция Бесселя- Ы0 (2) — функция Неймана.
Заметим, что функция Бесселя является бесконечно дифференцируемой, а функция Неймана имеет логарифмическую особенность в нуле.
Выделяя логарифмическую особенность в ядре, сведем интегральное уравнение (1) к стандартному виду
где
(Aj)(т) + (Mj)(т) = е0 (т)
1
(Aj)(т)=1 Jj (t
1
(Mj)(т) = -- J j (t)j 0 (т — /|)dt —
-1
1
1 J j (t) N0 (т -1|)--1n| т -1|
2 •& gt- L n
(2)
dt,
e0 (т) = ^-,| ^ E0 (т).
a
3. Метод Галеркина
Для нахождения приближенного решения интегрального уравнения (2) будем применять метод Галеркина на основе следующих базисных функции
Фш (т) аm I------------ Tm-i (т)
VI-
1
Tm-1 (т) —
полиномы
где а1 = м 1 V
V nln2 v п
Чебышева 1-го рода, т. е. Tm-1 (т) = COS [(m -l)arccos т].
Замечательным свойством этих базисных
функций является то, что матрица оператора, А в
этом базисе является единичной, т. е.
f1, если m = п,
(АФт, Фп) = 1″ (3)
[0, если m Ф п.
Кроме того, удается найти интегралы от произведения базисных функций и тригонометрических в аналитическом виде.
Решение интегрального уравнения
1 1
— J j (t)ln 1 dt + J M (т, t) j (t)dt = e 0 (т)
будем искать в виде
j (т)=Х cm Ф m (т)
m=1
(4)
Подставив (5) в (4), получим следующее уравнение:
1 г N 1 N г
— J X^m (t)іпГ-tjft + Tf" J M (t)ф" (t d = е (т)' (6)

* - т=1 I * * I т=1 —
Умножая уравнение (6) на базисные функции фп (т) и интегрируя, получим систему линейных алгебраических уравнений
N 1 1
-1 Я'"| т — «
-1−1 1 1
N 1 1
+ У С у
N 1 1
TC» «J flnr-ti Ф «(t)Ф n (t)dtdT +
«T-t
& quot- 1 -i-i I I
N 1 1
TC» \M (T, t) Ф «(t)Ф n (т)dtdT =
m=1 -1−1
-Je (T) фn (T)dx, 1& lt-n<-N.
Учитывая свойство (3) эту систему можно записать в виде
где
cn +T C"Mmn = en, m =1
11
Mmn =UM (T, t) Ф m (t)Ф n (т)dtdT.
-1−1
4. Результаты численных расчетов
Правую часть интегрального уравнения (4) бу-
что соответ-
-ia 3xsin 0
дем задавать в виде Е0 (т) = Е0е ствует падению плоской волны на полосу под углом
0, постоянную Е0 положим равной
?
В табл.1 показана сходимость метода Галерки-на в зависимости от числа базисных функций.
Таблица 1
Зависимость решения от числа базисных функций
N аэ = п, 0 II, т II о аэ = п/ 2, 0 = 0, т = 0
Re (/) Im0'-) ReU'-) Im (j)
2 1,276 769 -0,574 979 1,336 703 -0,380 770
4 2,3 910 0,187 737 1,583 669 0,80 651
6 2,68 187 0,162 933 1,595 322 0,87 705
8 2,71 617 0,159 237 1,595 522 0,87 784
10 2,71 723 0,159 066 1,595 523 0,87 783
Как видно из таблицы, достаточно быстро наступает стабилизация. Для полуволновой полосы результаты при N = 8 и N = 10 совпадают с точностью до шестого знака. Такая быстрая сходимость связана с выбором базисных функций.
5. Интегральное уравнение дифракции для волн ?-поляризации на произвольной цилиндрической незамкнутой поверхности
Рассмотрим падение ?-поляризованной волны на произвольную незамкнутую цилиндрическую поверхность. Параметризация контура, образованного пересечением этой поверхности с плоскостью 2 = 0, выгля-
дит следующим образом: x = ?(т), у = п (т), -1 ^ т ^ 1,
L =& gt-/[(т)-&-)Т + [(т)-n (t)]2 •
Интегро-дифференциальное уравнение относительно плотности поверхностных токов имеет вид
j jz (t)H 02)(kLW e (t)+n'-2 (t)dt = E0 (т), (7)
-1
где H 02)(z) = J0 (z)-iN0 (z) — функция Ханкеля 2-го рода, нулевого порядка- J0 (z) — функция Бесселя, No (z) — функция Неймана. Введем в него новую неизвестную по формуле
u (т) = jz (т)(W ^'-2 (т)+n'-2 (т)), тогда уравнение (7) примет вид
j u (t)H 02 XkL) t = E0 (т). (8)
-1
А теперь в уравнении (8) выделим логарифмическую особенность. В результате получим стандартное интегральное уравнение с выделенным логарифмическим оператором
(Aj)(т) + (Mj)(т) = е0 (т),
где
1
(Aj)(т) = - ju (t)l^r--Tdt,
П — |т -1|
(Mj)(т)=-2 ju (t J02)(kL)dt —
-1
— - ju (t) N0 (kL) — -Ink -1| dt, e0 (т)=-2i ^E{0 (т). 2 J L n J V Д
В качестве примера рассмотрим уравнение дифракции на параболическом цилиндре:
2 2
a т л л x = ат, y =--------------, — 1 & lt- т & lt- 1.
2 Р
Таблица 2
Зависимость решения от числа базисных функций
N 0 = п/ 6, аэ = п/ 2, pэ = 2, т = 0
Re (j) Im (j)
2 1,219 612 0,42 190
4 1,14 287 0,74 782
6 0,939 045 0,85 494
8 0,939 017 0,90 356
10 0,939 338 0,90 471
20 0,939 346 0,90 474
40 0,939 348 0,90 462
Как следует из табл. 2, метод Галеркина быстро сходится в задаче дифракции на параболической поверхности.
Увеличение параметра рэ приводит к уменьшению кривизны (табл. 3). При этом форма параболы приближается к форме отрезка.
Таблица 3
Зависимость распределения тока от кривизны
рэ 0 = 0, аэ = п/2, N = 10, т = 0
М. /) 1 т (/)
1 0,289 232 0,530 130
10 1,488 292 0,164 256
100 1,585 181 0,95 397
1000 1,594 492 0,88 544
10 000 1,595 420 0,87 859
Как следует из таблицы, результаты решения интегрального уравнения совпадают с соответствующими решениями интегрального решения для полосы.
6. Об обосновании метода Галеркина
Для исследования уравнения с логарифмической особенностью в ядре
11
(Ах)(т)+(Мх)(т) = -х ()1п ^М (т^)х () = в0 (т)
п -1 !т '- -1
вначале рассмотрим уравнение вида
і
(Ах)(т) = - Г хіґ)іп. 1 Ж
п |т — ґ
которое можно решить в аналитическом виде
+ад (1 ^
Ф т (т& gt- (9)
Х = А 1Х = Х| Г^ Фт
т=1 ^-1)
Умножая обе части уравнения (9) на обратный А-1, получим
х + Кх = х + А~хЫх = А~'-е. (10)
Используя методы функционального анализа, можно доказать, что оператор А~1М вполне непрерывен, а уравнение (10) является уравнением Фред-гольма второго рода. Отсюда можно получить обоснование сходимости метода Галеркина.
7. Заключение
Таким образом, в работе получены следующие основные результаты.
1. Развит метод Галеркина, а в качестве базисных функций использованы полиномы Чебышева,
помноженные на функцию ф (/) = 1
VI-
2. Разработана программа для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на произвольной незамкнутой цилиндрической поверхности. В качестве примера рассмотрен параболический цилиндр. Продемонстрирована высокая скорость сходимости метода Галеркина по мере увеличения числа базисных функций. Также показано, что полученные результаты совпадают с результатами других авторов, полученными другими методами.
1. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук. думка, 1984. 344 с.
2. Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.
3. Артемьев В. В., Плотников В. Н., Эминов С. И. // ЖТФ. 1995. Т. 65. Вып.3. С. 72−79.
4. Артемьев В. В., Плотников В. Н., Эминов С. И. // ЖТФ. 1994. Т. 64. Вып. 11. С. 117−126.
5. Эминов С. И. // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38.
№ 12. С. 2160−2168.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой