Метод ГИУ в краевых задачах трехмерной динамической теории вязкоупругости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1569−1570
1569
УДК 539. 3
МЕТОД ГИУ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
© 2011 г. Е.А. Лебедева1, С.Ю. Литвинчук2
'-Нижегородский госуниверситет им. Н. И. Лобачевского 2НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
litvinchuk@mech. unn. ru
Поступила в редакцию 15. 06. 2011
Представлены граничные интегральные уравнения и гранично-элементные схемы их решения применительно к динамическим краевым задачам вязкоупругости. Решение организовано в реальном времени. Приведены результаты численных экспериментов.
Ключевые слова: метод граничных элементов, трехмерные задачи динамики, пороупругость.
Рассматривается однородное изотропное вяз-коупругое тело О в трехмерном евклидовом пространстве R с декартовой системой координат Ох1×2×3. Границу тела обозначим через Г. Введем следующие обозначения для параметров материала: р — плотность материала, Х (() и — функции Ламе материала. Динамическое состояние тела О описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях:
ц (0* Аи (х, t) + (Ц0 + +))*grad u (х, t) = рй (х, 0, (1) где символ «*» означает свертку Стилтьеса по времени t. В уравнениях (1) и (х, 0 — вектор перемещений точки х = (х1- х2, х3) в момент времени t. Физические и геометрические соотношения имеют вид:
Qa =5 iA*s kk + 2y*S"
1
Sj = 2
duj du,

+ -
dui du
j
где Cjj, i = 1,3, j = 1,3 — тензоры напряжений и деформаций.
Пусть вектор перемещений и функции Ламе материала удовлетворяют условиям: u (х, 0) = u (х, 0) = 0, y (t -т) = 0, X (t -т) = 0,
где
t & lt-т, lim yt) = 0, lim X (t) = 0.
t0 t ^0
Конкретный вид функций ^(t) и X (t) определяется вязкоупругой моделью материала. Будем рассматривать случай пропорциональных функций памяти, тогда достаточно описать физические соотношения, к примеру, для случая i j:
Qj = 2y*Sj = 2j G (t-T)dSj (t), =1-R (t),
R (t)=K (t)K^-т)K (т)dт +…, J (t) = 1 + K^),
о
где G (t) — функция памяти материала, R (t), К (() — ядра релаксации и ползучести материала.
Кроме того, пусть отношение значения модуля на бесконечности к значению модуля в начальный момент (для регулярных моделей) определяется параметром ^ = G (^)/G (0).
Применим к исходным уравнениям интегральное преобразование Лапласа:
да
/ (я) = | / (t)e & quot-
о
где я — параметр преобразования Лапласа.
В качестве метода решения будем использовать метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) [1], в основе которого лежит сведение краевой задачи для дифференциального уравнения движения к интегральному уравнению относительно граничных функций.
Вектор перемещений во внутренних точках области связан с граничными значениями перемещений и усилий:
й1 (х, я) = | и у. (х, (у, я ^уБ-


j Tj (х, y, s) uj (y, s) dyS,
l = 1, 2, 3, х efi.
(3)
Здесь и. и Ту — соответственно компоненты тензоров фундаментальных и сингулярных решений уравнения (1).
Формула (3) дает следующее ГИУ:
Су (х)й] (х, я) +1Ту (х, у, я) й} (у, я^уБ =
1570
Е. А. Лебедева, С.Ю. Литвинчук
= f Uy (х — y, s) tj (y, s) dyS, г
l = 1,2, 3, х еГ. (4)
Интеграл в левой части (4) является сингулярным, т. е. понимается в смысле главного значения по Коши, а Су (х) — известный коэффициент при внеинтегральном члене. Если в точке х поверхность имеет единственную касательную плоскость, то Су (х) = 61у-/2. ГИУ (4) позволяет разработать эффективную численную методику для определения неизвестных амплитуд граничных перемещений и поверхностных сил. Решением исходной начально-краевой задачи будет вектор-функция м (х, t), полученная путем применения к решению (3), (4) обратного преобразования Лапласа:
f (t) = - f f (s)eistds. (5)
а-
Для численного обращения (5) будем использовать алгоритм, предложенный Дурбином [1], а также метод квадратур сверток [2].
Результаты численных экспериментов представляют собой решение ряда задач модельного и прикладного назначения, среди которых следующие: задача о действии ударной силы на торец призматического тела с жестко закрепленным концом- задача о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства- задача о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью- задача о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.
При решении задачи о действии силы P (t) = = P0(H (t) — H (t — 0. 0085)), где P0 = 1 Н/м2 на поверхность вязкоупругого полупространства с параметрами материала: E = 1. 38 108 Н/м2- v = 0. 35- р = 1966 кг/м3 (cj = 335. 64 м/с- c2 = 161. 24 м/с, cR = 150.5 м/с) в качестве точки наблюдения выбиралась точка (2. 3333- 2. 3333- 0).
На рис. 1 приведены численные результаты для модели Кельвина-Фойгта (X (^) = X, Ц (^) = = ц) при разных значениях параметра вязкости (кривая 1 соответствует упругому случаю, кривая 2 — случаю? = 100- 3 —? = 1- 4 —? = 0. 1- 5 —? = 0. 01).
1 s
4 Vi …
0 г.- О. ой 0. 07 '- 1Л
& quot- о Ii & gt-1 с: j: i- & gt-- :i '--I
I. О Рис. 1
На рис. 2 приведены численные результаты для модели стандартного вязкоупругого тела при разных (ц (^) = Ц, X (^) = X, X (^)/X (0) = = ц (^)/ц (0) = 0. 0625) значениях параметра вязкости у (кривая 1 соответствует упругому случаю, кривая 2 — у = 100- 3 — Y = 1- 4 — Y = 0. 1- 5 — Y = = 0. 01).
Рис. 2
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009−2013 годы (ГК № 2222), при поддержке РФФИ (проект № 10−08−1 017-а) и гранта Президента Р Ф по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807. 2010.8.
Список литературы
1. Баженов В. Г., Игумнов Л. А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.
2. Schanz M. Wave propogation in viscoelastic and poroelastic continua. Berlin: Springer, 2001. 170 p.
THE BIE METHOD IN BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF 3D DYNAMIC VISCOELASTICITY
E.A. Lebedeva, S. Yu. Litvinchyk
Boundary integral equations and boundary-element schemes for analyzing them as applied to dynamic boundary-value problems of viscoelasticity are presented. The analysis is arranged in real time. The numerical experiments are presented.
Keywords: boundary elements method, 3D dynamic problems, porous elasticity.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой