Оценка области однозначной проекции поверхности отрицательной кривизны

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика
УДК 514. 772
ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ОДНОЗНАЧНОЙ ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
Д.Г. Азов
Рассматривается поверхность с отрицательной гауссовой кривизной, которая однозначно проектируется на круг. Получены достаточные условия, при которых существует оценка для радиуса круга.
Ключевые слова: поверхности отрицательной гауссовой кривизны, уравне-ние Монжа-Ампера гиперболического типа, оценка области однозначной проекции.
z = f (x, y) (1)
имеет гауссову кривизну К (х, у). Известно, что если
К (х, у)& lt--а2<- 0, (2)
то поверхность (1) не может проектироваться на всю плоскость. Имеет место теорема
Н. В. Ефимова [1]: существует а0& gt-0 такое, что если С2-гладкая функция f (x, y) задана на
квадрате со стороной, а и ее график (1) имеет кривизну (2), то, а & lt-а0/а. Е. Хайнц [2] получил оценку для радиуса круга, на который может проектироваться поверхность с улучшением оценки Н. В. Ефимова: существует г0 & gt- 0 такое, что если С2 -гладкая поверхность (1) с кривизной (2) задана на круге радиуса г, то г & lt-r0/a. Е. Хайнц доказал, что г0 & lt- еу/з. Пример гиперболического параболоида дает оценку снизу: г0 & gt-0,5. Точные значения констант г0 и а0 неизвестны. В работе [3] Н. В. Ефимов получил оценки для сторон прямоугольника, на который проектируется поверхность (1). Данные результаты были обобщены в работах [4−7].
Учитывая известную формулу
zx*zyy -z2v = K (-У)(1 + z2 +
результаты Н. В. Ефимова и Е. Хайнца можно сформулировать следующим образом: гиперболическое уравнение Монжа-Ампера (3) не имеет С2-гладких решений в круге радиуса г& gt-г0/а или на квадрате со стороной а& gt-а0/ а, если К (х, у) удовлетворяет условию (2).
В настоящей работе рассматриваются достаточные условия существования оценки радиуса круга, на который однозначно проектируется поверхность (1).
Теорема 1. Пусть поверхность г = г (х, у) е С2 с отрицательной кривизной К (х. у) & lt- 0 определена на круге х2 + у2 & lt- ]{2. Если существует постоянная С& gt- 0, такая, что
ёхёу
Л
2 + 2 & lt- 2 К (X, у)
X + у & lt-r 1 1
& lt- Cr, 0 & lt- m & lt- 4, r & gt- 0,
(4)
то
R & lt-
I -III
—, если тФ2'-
(5)
3C
если m = 2.
1 Азов Дмитрий Георгиевич — доцент, кафедра общей математики, Южно-Уршьский государственный университет. E-mail: azykl@rambler. ru______________________________________________________________________________________________
Доказательство теоремы 1. Для доказательства используем интегральную формулу С. Н. Бернштейна:
С1 (2Ж п 271 п
— | (ф. Р, Ф))) = | (р-Р, ф)))ф-2 Ц (2хх2уу — 2Ху)^у- (6)
г
V 0
I 0 2. 2^ 2
/ 0 х + у & lt-г
Здесь г (х,_у)е С2, г{р,(р) = г{рсо$(р, р$, т (р), р, (р — полярные координаты.
Введем вспомогательную функцию
г 2яГ — Л
Я (г) = |р^р}]1 ±(- ф)) I
оо V р)
Тогда ?(0) = 0, g®& gt-кr2 и? (г) & gt- 0 при 0 & lt-г<-Я. Оценим g® сверху, используя неравенство Буняковского:
(2
Я (1 + ^ + ф& lt-Му & lt- Я. Ц К (х, у)|(
Я (г) & lt-
Используя (4), (6) и (7), получаем неравенство
у х2 + у2 & lt- Г 2
) х2+у2 & lt- г 2
х2+у2 & lt- г 2
1 + г2 + -у-) dxdy. (7)
ё'-(г) & gt-
2 ё 2(г)
Сгт.
(8)
Интегрируя неравенство (8) по /?є (0,Я), получим
3
ёV) ё 2(Р) & gt-
у[3С
Переходя к пределу при р -& gt- г и интегрируя по г от Ях до Я2 (0 & lt- Ях & lt- Я2 & lt- Я) при тф2, получаем
ё 2(^і)-ё 2(Я2) & gt-
Так как g{r)& gt-7гr"-, то
(2 — т)!ъС
(2-
& gt-
4пЯ1 (2 — т) уІЬС
2-т 2-т
(V — - я~^).
2-т Л
2& lt-т<-4. Устремляя в неравенстве (9) Я2 к Я, получим
2-т
я 2 & gt- -+Я1 2
2 Ь
2-т
(9)
(10)
і
Максимальное значение правой части неравенства (10) достигается при Ях =| - | и рав-
2-т 2 2-т
4-т (ЗС Ъ (4-«о 4-тГЗСЛ12(4-ш)
но-------1 -. Поэтому Я *- & gt------- - и, следовательно,
Я & lt-
2 V п ,
2 1 4 — т Л 2-т Г 3С ^ 4-я
2) п
0& lt-т & lt-2 в (10) изменится знак неравенства:
(11)
2-т
я 2 & lt- /3С+я12
2 Ь 1
2-т
2013, том 5, № 1
5
Математика
И в этом случае правая часть неравенства достигает минимальное значение при 1
(3 СХ^т
Я = -. Отсюда снова получим неравенство (11).
Я)
1 17?
При т = 2 неравенство (9) будет иметь вид -р=-& gt- , — 1п -. Поэтому
4л Ях л/3С Яг
[зс 1 [зс
1пЛ& lt-. /---------Пп^ и 1пД& lt-1 + 1п.-. Но тогда
V л Ях V л
Я & lt- еМ. (12)
V п
Оценка (12) получается из (11) предельным переходом при т -& gt- 2. Теорема 1 доказана.
оценка Е. Хайнца Я & lt-
Замечание 1. Если К (х. у) & lt- -а2 & lt- 0. то |Т и при т = 2 из (5) следует
. 2, isj& gt-K (x, y) а*-
e*Jb
х2+у2 & lt- r 2
а
Замечание 2. Теорема 1 останется верной, если условие (4) выполняется при г & gt- г{). где г0 -некоторая постоянная. В этом случае при доказательстве нужно рассматривать г & gt- г0. При необходимости г0 можно уменьшить, увеличивая значение постоянной С.
Замечание 3. Если в условии (4) убрать ограничения на т, то существуют поверхности,
которые проектируются на круг любого радиуса. Например, пусть К{х, у) = -
(1 + -2 + У 2)
Тогда при п & lt- 1 выполняется неравенство |Т -- & lt-Сгт, где 0& lt-от & lt-4. По теореме 1
К (х, у)
х2+у2 & lt- r 2
существует оценка для радиуса круга над которым задана поверхность. А при п& gt- 1 имеем т& gt-4 и существует поверхность, которая проектируется на круг любого радиуса. В самом, де-
1 !- -------
ле, если, А = 1 + (1 + Л2)1-& quot-, то поверхность г= ----------------------------с/1, где г = л/х2 + у2.
^ л _ Л _1_
руется на круг любого радиуса Я и ее кривизна равна К (х, у) =
А-(+ гу
1 — n
проекти-
(1 + х2 + У2) П
Результаты этой работы можно сформулировать и для более общего уравнения Монжа-Ампера. Рассмотрим уравнение
zxxzyy — z2y = F (- У, Z, Zx, Zy). (13)
Пусть F (x, y, z, zx, zv) & lt-K (x, y)-(l + z2 + z2 j, K (x, v)& lt- 0 — гиперболическое уравнение.
Тогда верна теорема 2. Сформулируем ее.
Теорема 2. Если уравнение (13) имеет в круге С2 -регулярное решение в круге х2 + у2 & lt-Я2 и функция К (х, у) удовлетворяет условию (4), то Я удовлетворяет условию (5).
Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1.
Литература
1. Ефимов, Н. В. Исследование полной поверхности отрицательной кривизны / Н. В. Ефимов. — М.: Докл. АН СССР, 1953. — 640 с.
2. Heinz, E. Uber Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krummungen durch Ungleichungen eingeschrankt sind / E. Heinz // Math. Ann. — 1955. — V. 129, № 5. — P. 451−454.
3. Ефимов, Н. В. Оценки размеров области регулярности решений некоторых уравнений Монжа-Ампера / Н. В. Ефимов // Математический сборник. — 1976. — Т. 100(142), № 3(7). -С. 356−363.
4. Азов, Д. Г. Об одном классе гиперболических уравнений Монжа-Ампера / Д. Г. Азов // Успехи математических наук. — 1983. — Т. 38, № 1. — С. 153−154.
5. Брысьев, А. Б. Оценка области регулярности решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств / А. Б. Брысьев // Украинский геометрический сборник. — 1985. — Вып. 28. -
С, 19−21.
6. Азов, Д. Г. Изометрическое погружение и-мерных метрик в евклидовы и сферические пространства / Д. Г. Азов // Вестник Челябинского государственного университета. — 1994. — № 1(2). -С. 12−17.
7. Азов, Д. Г. Погружение методом Д. Блануши некоторых классов полных п-мерных римано-вых метрик в евклидовы пространства / Д. Г. Азов // Вестник Московского университета. — 1985. — № 5. — С. 72−74.
ESTIMATION OF BIJECTIVE PROJECTION AREA OF A SURFACE WITH NEGATIVE CURVATURE
D.G. Azov1
The article deals with a surface of negative Gaussian curvature which is bijectively projected onto a circle. It provides sufficient conditions of existence of an estimate for the circle radius.
Keywords: surfaces with negative Gaussian curvature, hyperbolic Monge-Ampere equation, estimation of bijective projection area.
References
1. Efimov N.V. Issledovanie polnoj poverkhnosti otricatelnoj krivizny [Research of a complete surface with negative curvature]. Dokl. ANSSSR. 1953. 640 p. (in Russ.).
2. Heinz E. Uber Flachen mit eineindeutiger Projektion auf eine Ebene, deren Krummungen durch Ungleichungen eingeschrankt sind. Math. Ann. 1955. Vol. 129, no. 5. pp. 451−454.
3. Efimov N.V. Ocenki razmerov oblasti regulyarnosti reshenij nekotorykh uravnenij Monzha-Ampera [Estimation of the range of domain of regularity for the solution of Monge-Ampere equations]. Matematicheskij sbornik. 1976. Vol. 100(142), no. 3(7). pp. 356−363. (in Russ.).
4. Azov D.G. On a class of hyperbolic Monge-Ampere equations. Russian Mathematical Surveys. 1983. Vol. 38. p. 170. DOI: 10. 1070/RM1983v038n01ABEH003390
5. Brys'-ev A.B. Ocenka oblasti regulyarnosti reshenij nekotorykh nelinejnykh differencial'-nykh neravenstv [Estimation of the range of domain of regularity for the solution of nonlinear differential inequality]. Ukrainskij geometricheskij sbornik. 1985. Issue. 28. p. 19−21. (in Russ.).
6. Azov D.G. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. 1994. no. 1(2). pp. 12−17. (in Russ).
7. Azov D.G. VestnikMoskovskogo universiteta. 1985. no. 5. pp. 72−74.
Поступила в редакцию 7 ноября 2012 г.
1 Azov Dmitry Georgievich is Associate Professor, Department of General Mathematics, South Ural State University. E-mail: azykl@rambler. ru__________________________________________________________________________________
2013, tom 5, № 1
7

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой