Оценка погрешностей выполнения вероятностных арифметических операций сложения и умножения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

------------------? ?---------------------
Проведена оцінка точності виконання арифметичних операцій додавання і множення двох операндів, представлених у вигляді ймовірнісних відображень, що робить можливим застосування ймовірнісної форми подання інформації для побудови інформаційно-вимірювальних систем. У статті виявлені фактори, що впливають на похибки виконання ймовірнісних арифметичних операцій, серед яких кількість статистичних випробувань, закон розподілу випадкових сигналів та ін.
Ключові слова: ймовірна форма подання інформації, арифметичні операції, точність, похибка
?----------------------------------?
Проведена оценка точности выполнения арифметических операций сложения и умножения двух операндов, представленных в виде вероятностных отображений, что делает возможным применение вероятностной формы представления информации для построения информационно-измерительных систем. В статье выявлены факторы, влияющие на погрешности выполнения вероятностных арифметических операций, среди которых количество статистических испытаний, закон распределения случайных сигналов и др.
Ключевые слова: вероятностная форма представления, арифметические операции, точность, погрешность ------------------? ?---------------------
УДК 001. 8:635. 8
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫПОЛНЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Н. Е. Сапожников
Доктор технических наук, профессор, проректор по
учебной работе* Д. В. Моисеев Кандидат технических наук, доцент* П. С. Бейнер Аспирант*
*Кафедра компьютеризованных систем** Н. В. Б е й н е р
Аспирант
Кафедра начертательной геометрии и компьютерной
графики**
**Севастопольский национальный университет ядерной
энергии и промышленности ул. Курчатова, 7, г. Севастополь, Украина, 99 033
Е -mail: beyner@list. ru
1. Введение
В специализированных компьютерных системах многоцелевого назначения над сигналами, получаемыми от датчиков и передаваемыми по линиям связи, производятся самые разнообразные операции и преобразования [1−3]. В общем случае их можно разделить на три группы:
— операции преобразований-
— логические операции-
— арифметические операции.
К операциям первой группы относятся операции преобразования информации из исходной формы в двоичные позиционные коды.
Вторая группа операций включает в свой состав операции:
— инверсии-
— сравнения на равенство-
— сравнения на больше (меньше).
К операциям третьей группы относятся операции:
— умножения и возведения в степень-
— сложения-
— вычитания-
— деления,
из которых наиболее часто встречающимися являются операции сложения и умножения.

(c)
2. Постановка задачи
Известны основные преимущества вероятностной формы представления данных: малый аппаратный объём, повышенная помехозащищенность, способность функционировать в масштабе реального времени [4]. Однако недостаточно освещенным является вопрос оценки точности при выполнении основных арифметических операций в вероятностных информационно-измерительных системах (ИИС).
Целью данной работы является оценка погрешности выполнения арифметических операций сложения и умножения при представлении информации в вероятностной форме.
3. Решение задачи
Операция сложения вероятностно преобразованных сигналов может быть выполнена двумя путями. Первый предполагает использование операции дизъюнкции над вероятностными отображениями слагаемых, сдвинутых одно относительно другого на время т. При этом для однолинейного однополярного представления выражение для оценки суммы имеет вид
а к
(І х^'-^ІІ у,.
4=1
к 4=1 і=1
(1)
С другой стороны, помня, что вероятностное отображение дизъюнкции соответствует схеме испытаний Бернулли, она же является асимптотически эффективной [5]. Ее математическое ожидание
М
= М
V ч=1
а к
М
а у а
Іх, = І х,-V 4=1 / 4=1
D
и через нее среднеквадратическое отклонение
а і а
v5x^, — рх-(К'-)]
и абсолютную погрешность определения оценки суммы
д,Ф-1 (Р)о Іх, I =
V 4=1
Рх, (Я,)[1 — РхЧ (Я,)].
= 141Ф-1 (Р) 7 вс = л/К
& gt-/х1 (1 — х1) + х2 (1 — х2) —
К ІІ У. =І М (у.) = І Рх,(Я,). (2)
К 4=1 І=1'- У 4=1 4=1
Для случая, когда вспомогательные случайные сигналы Rч (t) распределены равномерно, МО оценки равно [5]
(3)
а, следовательно, оценка и несмещённая.
Найдем погрешность вероятностного преобразования при суммировании вероятностных отображений слагаемых. Для этого определим дисперсию оценки [6]
а 1 а к
І х, = к ІІ ^) = 17 Ж,(*.) — Р,(*ч)] (4)
V 4=1 У К 4=1 І=1 К 4=1
(5)
(6)
Для случая, когда количество слагаемых Q = 2, а закон распределения R1(t) и R2(t) равномерен, значение для приведенной погрешности примет вид
(7)
Рис. 1. Функциональная схема вероятностного сумматора при однолинейном однополярном представлении слагаемых
Таким образом, при суммировании вероятностных отображений с помощью дизъюнктора и задержки вероятностных отображений слагаемых одно относительно другого на время т значение абсолютной и приведенной погрешностей суммирования не зависит от метода представления слагаемых. Для двух слагаемых аппаратурный объем вероятностного сумматора сравнительно с детерминированным будет меньше в 90 раз.
При однолинейном однополярном представлении вероятностное отображение [4] произведения, а вероятностно преобразованных величин хч, где ч = 1,2… Ц,
имеет вид конъюнкции вероятностных отображений
а
сомножителей. Оценка произведения ПХч, в соот-
4=1
ветствии с выражением для его оценки, представляет собой среднее арифметическое конъюнкций членов вероятностных отображений сомножителей.
Учитывая, что вероятностное отображение произведения, в силу независимости вероятностных отображений сомножителей, соответствует схеме испытаний Бернулли, следует считать, что рассматриваемая оценка также является асимптотически эффективной [5]. В соответствии с
а
п
4=1
1 к, а а 2 а
М (п х,)*=к іпм (уі=п і у,.р. =т,(*)(8)
і=1 4=1
а2 па= І2
4=1 1=1
4=1
она же является несмещенной.
Погрешность вероятностного умножения будем искать, используя метод последовательного определения дисперсии и среднеквадратического отклонения оценки [7]. Тогда
а
а
І & amp- Учі) = кІ°& lt- & amp- Учі) = і=1ч = 1 і=1 ч=1
12
=1І к ы
а
& amp- У,іі - М ч=1
а
& amp- Учіі
. ч=1
Р1 =
(9)
откуда следует, что для получения сравнимого с позиционной формой представления значения погрешности, равного у, & lt-0,2% при х1 = х2 = 0,5, то есть для оценки сверху, количество независимых статистических испытаний следует выбирать не менее 2,5*102.
Вероятностный сумматор для суммирования, а слагаемых представляет собой (рис. 1) Ц-входовую логическую схему «ИЛИ» и Ц-1 устройств временной задержки на время т каждое.

= к ПРх. (Е)
4=1
а
1 -п рх,(Я)
4=1
и выражение для абсолютной погрешности умножения вероятностно преобразованных сигналов примет вид
141Ф-1 (Р) й
Лву & quot- тк ®Рх4(Я)
1 -ПрхЧ (к)
4=1
(10)
а формула для вычисления приведённой погрешности при Ц=2 и равномерном распределении Rl (t) и R2(t) запишется как [8]
а
а
а
х
Ч
О
Е
откуда видно, что при фиксированном числе испытаний погрешность вероятностного умножения достигает максимального значения при х2=0,5.
Воспользовавшись табулированной функцией Лапласа, построим график на рис. 2, отображающий зависимость ДВУ от числа статистических испытаний при Р= 0,997, откуда хорошо видно, что для получения погрешности меньшей 10% количество статистических испытаний должно выбираться не менее 225 [9, 10].
Рис. 2. Зависимость максимального значения абсолютной погрешности ДВУ вероятностного умножения от количества статистических испытаний К
Подводя итоги по данному вопросу, можно сделать следующие выводы:
1) для получения сравнимого с позиционной формой представления значения погрешности при выполнении операции сложения количество независимых статистических испытаний следует выбирать не менее 2,5*102-
2) погрешность вероятностного преобразования при выполнении операции умножения зависит от количества статистических испытаний преобразуемых величин, законов распределения вспомогательных случайных сигналов и положения преобразуемых величин внутри динамического диапазона-
3) значения погрешностей практически не зависят от количества сомножителей и метода их вероятностного преобразования-
4) при использовании для возведения в целую степень вероятностного квадратора с задержкой входной последовательности на один такт для получения одинаковой погрешности со схемой обычной конъюнкции количество статистических испытаний следует увеличивать в 1,84 раза-
5) при удовлетворительной точности выполнения операций умножения и возведения в целую степень, количество статистических испытаний следует выбирать от 225 до 900, что при существующей элементной базе с верхней граничной частотой более 1000 мГц, позволяет использовать вероятностные процессоры в СКС реального времени с верхней частотй 1000 кГц, что удовлетворяет практические потребности 90% СКС.
Литература
1. Гладкий, В. С. Вероятностные вычислительные модели. / В. С. Гладкий — М.: Наука, 1973.- 300 с.
2. Сапожников, Н. Е. Математическое моделирование вероятностных процессоров с помощью ППЭВМ / Н. Е. Сапожников,
B. Л. Хайков // Севастополь — СВВМИУ, 1992 г. — С. 24−28.
3. Моисеев, Д. В. О методе построения вероятностного широкодиапозонного спектрометра повышенной точности / Д. В. Моисеев, Н. Е. Сапожников. // Зб. наук. пр. СНУЯЕтаП. — Севастополь: СНУЯЕтаП, 2010. — Вип. 2(34), -С. 209−215.
4. Сапожников, Н. Е. О вероятностном преобразовании информации / Н. Е. Сапожников // Приборостроение. — Вып. 34, 1983. -
C. 31−38.
5. Сапожников, Н. Е. К вопросу о выполнении операции сложения над вероятностно преобразованными сигналами / Н. Е. Сапожников // сб. Всесоюзной школы-семинара & quot-Передача, обработка и отображение информации". — Теберда — Харьков, 1991. -С. 25 — 28.
6. Сапожников, Н. Е. Вероятностный сумматор / Н. Е. Сапожников // Подходы в улучшении профессионального становления выпускников высшей школы: сб. — Севастополь: ВВМИУ, 1992. — С. 53 — 54.
7. Сапожников, Н. Е. Сравнительная оценка методов вероятностного преобразования информации / Н. Е. Сапожников // Вестник СевГТУ. Информатика, электроника, связь. — Севастополь: СевГТУ, 1997. — № 5. — С. 37 — 41.
8. Сапожников, Н. Е. О природе погрешностей при умножении нелинейно преобразованных величин / Н. Е. Сапожников // Повышение боевой эффективности, тактических и технических характеристик систем вооружения и техники ВМС: сб. ст. -Севастополь: СВМИ, 1993. — С. 130 — 133.
9. Сапожников, Н. Е. Вероятностное множительное устройство / Н. Е. Сапожников // Подходы в улучшении профессионального становления выпускников высшей школы: сб. — Севастополь: ВВМИУ, 1992. — С. 47 — 49.
10. Сапожников, Н. Е. Сравнительная оценка методов суммирования вероятностно преобразованных сигналов / Н. Е. Сапожников // Вестник СевГТУ, Механика, энергетика, экология.- N6, 1997. — С. 89−95.
3

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой