Аналитические представления и устойчивость решений линейных систем функционально-разностных уравнений

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
112


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Актуальность. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом имеют большую историю и продолжаются в наши дни [3], [12], [33], [71], [73], [75], [76], [80], [83]. Интерес к ним стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А. О. Гельфонда [16], А. Халаная и Д. Векслера [63], Д. И. Мартынюка [43], И. В. Гайшуна [15], A.M. Самарского [56]. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые появляются в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому терминология и методология исследования последних уравнений, изложенная в монографиях [1], [7], [35], [36], [47], [64], [68], [69], может быть использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом оказались разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов [2], [9]-[11], [27], [35], [41], [44], [45], [50]-[52], [58], [62], [66], [72], [74], [81], [82]. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах [4], [6], [20], [28], [38], [39], [46], [49], [53]-[55], [57], [78], [79]. Спектральные свойства операторов, порождаемых функциональными уравнениями, исследовались, прежде всего, в связи с изучением функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа [1], [8], [29], [40]. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры [14], [59] и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа [5], [64], [67], [77]. Установлена связь линейных стационарных функционально-разностных уравнений [64], [77] с теорией сильно непрерывных полугрупп. Также для этих уравнений доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения [64], [77]. Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.

Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:

1) Установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

2) Получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

3) Разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений.

4) В функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем.

5) Найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функционально-дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально-разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на:

4-й международной конференции молодых ученых и студентов & quot-Актуальные проблемы современной науки & quot-(Самара, 2003) —

Воронежской весенней математической школе & quot-Понтрягинские чтения

XIII"(2002), & quot-Понтрягинские чтения — XIV"(2003), & quot-Понтрягинские чтения -XV" (2004) —

XXVI конференции молодых ученых математико-механического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2004) —

Всероссийской конференции & quot-Алгоритмический анализ неустойчивых задач & quot-(Екатеринбург, 2004) — семинаре кафедры теоретической механики математико-механического факультета УрГУ им. A.M. Горького (Екатеринбург, 1998−2004).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [84]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования, общий объем -112 страниц печатного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

— условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений-

— аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений- методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений-

— понятия эволюционного оператора и оператора монодромии в функциональном пространстве состояний, общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем-

— условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

ПоказатьСвернуть

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.3 *

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. Начальная задача Коши для функционально-разностных уравнений

1.2. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений.

1.3. Уравнения для функций S и Т.

Глава 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Условия существования и единственности решений начальной задачи Коши.

2.2. Общий вид решений нестационарных функционально-разностных уравнений.

2.3. Методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общего решения

2.4. Продолжимость решений функционально-разностных уравнений на всю числовую ось.

2.5. Связь функционально-разностных уравнений с функционально-дифференциальными уравнениями.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Стационарные системы функционально-разностных уравнений

3.2. Нестационарные системы функционально-разностных уравнений

3.3. Периодические системы функционально-разностных уравнений

3.4. Устойчивость динамических процессов в математической модели производства товаров.

Список литературы

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Айдын К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 2002. Т. 43, N 3. С. 493−507.

3. Анашкин О. В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием. // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, N 7. С. 976−978.

4. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Минск: Университетское, 1988.

5. Антоневич А. Б., Галкин Н. Б. О гомотопической классификации сингулярных интегро-функциональных операторов со сдвигом // Изв. вузов. Математика. 1986. N.2. С. 9−14.

6. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. М., 2003.

7. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

8. Березанский Л. М. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Непрерывная зависимость от параметра // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, N.4. С. 562−570.

9. Близорукое М. Г. К вопросу о построении решений линейных разностных систем с непрерывным временем // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, N 1. С. 127−128.

10. Близорукое М. Г., Кукушкина Е. В. О групповых свойствах семейства решений системы разностных уравнений с непрерывным временем. // Деп. ВИНИТИ. 1999. N 2370-В99. 11с.

11. Близорукое М. Г., Куликова М. А. О качественном поведении решений системы линейных разностных уравнений вблизи особой точки. // Деп. ВИНИТИ. 1996. N 384-В96. 13с.

12. Быков О. В. Осцилляция решений операторно-разностных уравнений с конечной разностью первого порядка. М., 1985.

13. Быкова Т. С., Тонкое E. J1. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, N 6. С. 731−737.

14. Винокуров В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1969. N 6. С. 24−34.

15. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. Минск, 2001.

16. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1972.

17. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

18. Громова П. С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция решение уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, N 10. С. 1774−1784.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962.

20. Дарбинян Л. С. Решения некоторых функционально-разностных уравнений в классе аналитических функций и их применение //Уч. записки Ереванского ун-та. Естественные науки. 1982. N 3. С. 13−19.

21. Дейч С. Модели нервной системы. М.: Мир, 1970.

22. Долгий Ю. Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987.

23. Долгий Ю. Ф. О спектральных свойствах оператора внутренней суперпозиции // Изв. вузов. Математика. 1988. N 11. С. 65−66.

24. Долгий Ю. Ф. Свойства оператора монодромии периодической системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 1988. N 9. С. 23−30.

25. Долгий Ю. Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, N 9. С. 1480−1489.

26. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодиоческой системы нейтрального типа с постоянным запаздыванием. // Устойчивость и нелинейные колебания. 1983. С. 35−46.

27. Долгий Ю. Ф., Леонтьева Т. В. Устойчивость разностных систем с непрерывным временем // Деп. ВИНИТИ 06. 07. 84. УрГУ. Екатеринбург. N 4765−84. 16с.

28. Драхлин М. Е. Об одном линейном функциональном уравнении // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1985. С. 91−111.

29. Драхлин М. Е. Оператор внутренней суперпозиции в простанствах суммируемых функций // Изв. вузов. Математика. 1986. N 5. С. 18−24.

30. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик JI.C., Стеценко В. Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

31. Зверкин A.M. Общие решения линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Науч. докл. высшей школы сер. физ. -мат. науки. 1959. N 1. С. 30−37.

32. Канторович J1.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

33. Каретный О. Я., Кипнис М. М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления // Автомат, и телемех. 1987. N 11. С. 46−54.

34. Клемент Ф., Хейманс X., Антенент С., К. ван Дуин, Б. де Пахтер. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

35. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

36. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ. -мат. литературы, 1959.

37. Крейн М. Г. О характеристической функции А (Х) линейной канонической системы дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 21, вып.З. С. 320−328.

38. Кучко Л. П. Функциональные уравнения с вырожденным преобразованием аргумента // Вест. Харьковского ун-та. 1987. N 298. С. 98−101.

39. Кучко Л. П. О существовании и единственности решений многомерных функциональных уравнений // ДАН СССР. 1987. Т. 297, N 4. С. 788−790.

40. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990.

41. Лышова А. Д. Разностные уравнения в некоторых пространствах аналитических функций // Сб. науч. тр. Балт. гос. акад. рыбал. флота. 2002. N 53. С. 22−24.

42. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2000.

43. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

44. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

45. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

46. Митюшев В. В. О линейном функциональном уравнении в классе аналитических функций // Вест. Белорусского ун-та. 1985. Cep.l. N 1. С. 44−47.

47. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

48. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1950.

49. Никитин В. Г. Однозначная разрешимость функционального уравнения u (t) — аи (оЛ) = f{t) в пространстве периодических функций // Исследование по прикладной математике. Казань. 1984. N 11. С. 96−109.

50. Пастур П. А. Оценки снизу показателя Ляпунова некоторых конечно-разностных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / / Операторы в функцион. пр-вах и вопросы теории функций. Киев. 1987. С. 3−12.

51. Пелюх Г. П. Общее решение систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // ДАН Украины. 1994. N 1. С. 16−21.

52. Пелюх Г. П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. матем. журнал. 2000. Т. 52, N 7. С. 936−953.

53. Пелюх Г. П. О представлении непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // Ин-т мат. АН УССР. Препринт. 1985. N 26. 28с.

54. Пелюх Г. П. Представление непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // ДАН УССР. 1986. А. N 3. С. 18−21.

55. Петухов В. К. Инвариантность и функциональные уравнения // Ин-т теор. и экспер. физики. Препринт. М., 1979. N 92.

56. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

57. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Об одном функциональном уравнении с бесконечной группой сдвигов // Матем. анализ и его прил. Грозный. 1984. С. 11−14.

58. Середкин В. Н. Об устойчивости систем линейных разностных уравнений с отклоняющимся аргументом // Межв. сб. науч. тр. Пенз. полит, ин-та. 1987. N 8. С. 66−68.

59. Смолин Ю. Н. Некоторые ворпросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ, 2003.

60. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики // Бюллетень МГУ. Сек.А. 1938. T. l, N 8. С. 1−25.

61. Тонков E. JI. Показатели Ляпунова и Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Вестник Удмуртского ун-та. 2001. N 3. С. 13−30.

62. Тураев Х. О. О структуре нерерывных решений систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Краевые задачи для дифф. уравн. смешан, типов. Ин-т матем. АН УзССР. Ташкент. 1991. С. 193−194.

63. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

64. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

65. Хилле Э, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М., 1962.

66. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. А., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев, 1986.

67. Шаталов Ю. С., Пучков Н. П., Дмитриев О. С. Уточненное функционально-интегральное уравнение для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1985. С. 80−91.

68. Шиманов С. Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: УрГУ, 1983.

69. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971.

70. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

71. Agarwal R., Ahbbrandt C.B., Hartin P.A. Discrete linear hamiltonian systems: a survey // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3−4. P. 307−333.

72. Braaksma B.L.J., Faber B.F., Immink G.K. Summation of formal solutions of a class of linear difference equations. // Pasif. J. Math. 2000. 195. N 1. P. 35−65.

73. Dosty 0., Histscher R. Linear hamiltonian difference systems: transformations recessive solutions, generalized reciprocity // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3−4. P. 401−420.

74. Ferreira Jose M. On the stability and oscillatory behavior of a retarted functional equation. // Providence: Amer. Math. Soc. 2002. P. 143−150.

75. Halanay A., Rasvan V. Stability and boundary value problems for discrete time linear hamiltonian systems // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3−4. P. 439−459.

76. Hanh W. Theorie und Anwendung der directen Methode von Ljapunov. Berlin: Springer Verlag, 1958, 142p.

77. Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations //J. Diff. Eq. 1974. V. 15. N 1. P. 106−128.

78. Kuczma M. Functional equations in a single variable. Warszawa, PWN, 1968, 383p.

79. Liu Xinhe. Analitic solutions of systems of functional equations // Appl. Math. J. Chin. Univ. B. 2003. V. 18. N 2. P. 129−137.

80. Perron O. Uber stabilitat und asimptotishes rehalfer der losunger eines systems endlicher differenseng-leichungen. J. Rein Angew. Math, 1929.

81. Qian Lin, Jiang Xing-guo. The explicit representation of general solution of linear defference equation with constant coefficients. J. YangZhou Univ. Natur. Sci. Ed. 2002. 5. N 4. P. 12−15.

82. Romanenko E. Attractors of continuous difference equations // Comput. and Math. Appl. 1998. V. 36. N 10−12. P. 377−390.

83. Sanderfur J.T. Discrete Dynamical System. Theory and Applications. Clarendou Press. Oxford, 1990, 445p.

84. Кукушкина E.B. Существование решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ & quot-Понтрягинские чтения XIIIй. Воронеж. 2002. С. 90.

85. Долгий Ю. Ф., Кукушкина Е. В. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений // Изв. Уральск, ун-та. 2002. N 22. Вып.4. С. 62−80.

86. Долгий Ю. Ф., Кукушкина Е. В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2003. N 7. С. 27−34.

87. Кукушкина Е. В. Существование и единственность решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ & quot-Понтрягинские чтения XIV". Воронеж. 2003. С. 71−72.

88. Кукушкина Е. В., Долгий Ю. Ф. Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений // Актуальные проблемы соврем, науки. Естеств. науки. Математика. Труды 4-й международной конф. молодых ученых и студентов. Самара. 2003. С. 46−48.

89. Кукушкина Е. В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2004. N 2. С. 1−34.

90. Кукушкина Е. В. О продолжимости решений системы функционально-разностных уравнений // XXVI Конференция молодых ученых мат. -мех. ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова. Тез. докл. Москва. 2004. С. 68.

91. Кукушкина Е. В. Устойчивость стационарных систем функционально-разностных уравнений // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С. 182−183.

92. Кукушкина Е. В. Об устойчивости периодических систем функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ & quot-Понтрягинские чтения XV". Воронеж. 2004. С. 126.

Заполнить форму текущей работой