Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
118


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам- при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название & quot-Смешанные ряды& quot-, следуя работам Шарапудинова И. И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Щ{х) при, а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.

В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Ла-герра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.

Объект исследования.

В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0-оо), изучаются Pix частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х Е [0-оо).

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0- оо) и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценку функции Лебега 1тп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0- оо), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, связанных с применением ортогональных многочленов- при исследовании смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Апробирование работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

— на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003−2007 гг.) —

— на Саратовской зимней математической школе (2008 г.) —

— в Дагестанском Научном Центре (2008 г.) —

— на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2010 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, одна из которых [21] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.

Показать Свернуть

Содержание

ГЛАВА I. Смешанные ряды по полиномам Лагерра.

1.1 Основные свойства полиномов Лагерра.

1.2 Дальнейшие свойства полиномов Лагерра.

1.3 О рядах Фурье-Лагерра.

1.4 Смешанные ряды по полиномам Лагерра.

1.5 Операторы

1.6 Операторы & pound-"-+г (/) и классы И^

1.7 Смешанные ряды в случае, а = 0.

ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра С^(х).

2.1 Введение.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 Аппроксимативные свойства операторов ?®г+г (/) на классах & yen-г (0, оо).

2.3.1 Оценка функции Лебега 1тп{х) на

2.3.2 Оценка функции Лебега 1гп (х) на Сг.

2.3.3 Оценка функции Лебега 1гп{х) на

2.3.4 Оценка функции Лебега 1гп{х) на

2.4 Оценка снизу функции Лебега 1гп (х) при х = 0.

Заполнить форму текущей работой