Адаптационная оптимизация производственных процессов с технологической обратной связью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Программирование


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

Адаптационная оптимизация производственных процессов с технологической обратной связью

по дисциплине: Компьютерная обработка экспериментальных данных

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР.

Костерев Г. М.

Санкт-Петербург 2012

Содержание

  • Цель работы
  • Моделирование «черного ящика»
  • Листинг программы, моделирующей случайную помеху
  • Определение вида распределения сгенерированной помехи
  • Построение уравнения регрессии
  • Получение значений откликов
  • Листинг программы для получения значений откликов
  • Аппроксимация уравнения регрессии линейным уравнением
  • Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии
  • Окончательное уравнение регрессии
  • Приложение
  • Список, используемой литературы

Цель работы

1. Разработать модель «чёрного ящика» по заданным параметрам;

Y = x1*sin (x2) +x3-3x4, где f (о) =c*cos (x) (0; р/2)

2. По выходам «чёрного ящика» определить вид закона распределения случайной величины;

3. Оценить параметры распределения;

4. Построить уравнение регрессии, выбрав степень полинома так, чтобы среднеквадратичная ошибка не превышала заданного порога:.

5. Оценить значимость коэффициентов, удалить незначимые.

Моделирование «черного ящика»

/

f (о) =c*cos (x); (0; р/2)

C=1

= arcsin (x)

Листинг программы, моделирующей случайную помеху

Программа написана и отлажена в среде Visual C++

Определение вида распределения сгенерированной помехи

Для этого по полученной выборке построим гистограмму

Границы

Середина

li

попаданий

ni/ (n*li)

0,7 111

0,103 797

0,554 539

0,96 686

10

1,34 275

0,103 797

0,170 849

0,137 323

0,67 052

10

1,49 138

0,170 849

0,236 928

0, 2 038 885

0,66 079

10

1,51 334

0,236 928

0,332 552

0,28 474

0,95 624

10

1,45 763

0,332 552

0,486 337

0,4 094 445

0,153 785

10

0,650 258

0,486 337

0,651 913

0,569 125

0,165 576

10

0,603 952

0,651 913

0,764 266

0,7 080 895

0,112 353

10

0,890 052

0,764 266

0,877 236

0,820 751

0,11 297

10

0,885 191

0,877 236

1,10 431

0,990 773

0,227 074

10

0,440 385

1,10 431

1,53 765

1,32 098

0,43 334

10

0,230 766

Рис 1. Гистограмма по выборке.

По Рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о синусоидальном характере распределения промоделированной случайной величины.

Проверка гипотезы методом «хи-квадрат»:

Диапазон возможных значений элементов выборки разбивается на k интервалов и подсчитываются количества ni элементов выборки, попавших в каждый i-ый интервал (рис. 4. 1).

Рис. 2.

На основании этого разбиения вычисляется значение статистики

,

где объем выборки, pi = F (xi B) — F (xi H) вероятность попадания в i-тый интервал с нижней xi H и верхней xi B границами.

Чтобы обеспечить заданный уровень значимости критерия, в качестве порога, с которым следует сравнивать X2, следует брать квантиль хи-квадрат распределения уровня 1- 21- (k-1). Решающее правило принимает вид: если X2 > 21- (k-1), то гипотеза отклоняется, в противном случае экспериментальные данные не противоречат гипотезе.

Границы

попадания

p (i)

n*p (i)

x2

0,7 111

0, 198 428

24

0, 190 018

19,179

1,314 727

0, 198 428

0,389 746

21

0,182 824

18,28 245

0,403 945

0,389 746

0,581 063

11

0,16 896

16,89 597

2,57 439

0,581 063

0,77 238

12

0,148 929

14,89 294

0,56 195

0,77 238

0,963 698

18

0,123 465

12,34 645

2,588 807

0,963 698

1,155 015

4

0,93 494

9,349 437

3,6 077

1,155 015

1,346 332

7

0,60 113

6,11 252

0,162 632

1,346 332

1,53 765

3

0,24 537

2,453 712

0,121 624

100

0,99 234

10,27 189

Задавшись уровнем значимости = 0. 05, по таблице квантилей хи-квадрат распределения находим, что для числа степеней свободы k — m — 1 =8 — 1 =7, величина 2 = 14,08. Так как экспериментально полученное значение статистики хи-квадрат 10,27 меньше порогового значения то, можно говорить, что экспериментальные данные не противоречат выдвинутой гипотезе о синусоидальном характере распределения случайной величины.

Построение уравнения регрессии

Матрица планирования:

Матрица планирования (A) имеет вид:

1

1

1

1

1

1

1

1

-1

-1

1

1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

1

1

-1

-1

1

1

1

-1

-1

-1

-1

(At*A) ^ (-1) *At

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

0,125

-0,125

-0,125

-0,125

-0,125

0,125

0,125

-0,125

-0,125

0,125

0,125

-0,125

-0,125

0,125

-0,125

0,125

-0,125

0,125

-0,125

0,125

-0,125

0,125

-0,125

-0,125

0,125

-0,125

0,125

0,125

-0,125

Получение значений откликов

Необходима выборка, полученная с помощью черного ящика. Для этого нам надо поставить несколько опытов с разными значениями xi. Количество опытов равно 2 в степени количества факторов x, для сокращения количества опытов в 2 раза воспользуемся генератором. Т. е. восемь (24) /2. В каждом опыте выполняем по 6 циклов. Теперь мы получили выборку, представленную в таблице.

-0,885 949

-0,545 167

0,595 463

0,654 982

-0,730 886

-0,816 489

-0,487 277

-1,35 567

-0,259 396

-0,900 356

0,120 166

0,769 114

-0,552 592

-0,987 099

-0,736 511

-0,785 025

-0,467 197

-0,413 624

1,1685

1,64 617

-0,629 183

-1,40 712

-0,681 407

-0,569 984

-0,529 682

-0,246 241

1,5 407

0,58 574

-0,587 344

-1,8 421

-0, 208 493

-1,14 423

-0,894 178

-1, 20 499

0,440 312

0,764 431

-0,369 641

-0,304 032

0,506 455

-1,32 553

0,183 099

-0,737 719

0,427 899

0,953 205

-0,463 721

-1,3228

-0,664 128

-1,11 012

Листинг программы для получения значений откликов

Программа написана и отлажена в среде Visual C++

программа моделирование обратная связь

Аппроксимация уравнения регрессии линейным уравнением

Неизвестное уравнение регрессии технологического процесса может быть аппроксимировано линейным уравнением:

y =0 +1x1 +2x2 +3x3 +4x4

Оценки bi коэффициентов i, i=0,1,., 4, рассчитываются по формулам:

, где Sij — знак i-го фактора в j-ом опыте ПФЭ.

Результат вычислений оценок коэффициентов:

b0

b1

b2

b3

b4

-0,338 314 392

0,40 406 215

-0,341 740 029

0,115 301

0,95 083

Уравнение регрессии:

Y = - 0,338 314 392+0,40 406 215x1-0,341 740 029x2+0,115 301x3+0,95 083x4

Отклики, предсказанные уравнением регрессии:

предсказанные отклики

-0,65 608 817

-0,486 375 725

0,427 705 883

0,387 269 692

-1,63 898 475

-1,104 334 667

-0, 190 253 058

-0,611 019 967

Для проверки гипотезы адекватности сравним точность, достигнутую моделью, с точностью измерений.

Число степеней свободы:

=n- (m+1) =8- (4+1) =3

Dад =

Число степеней свободы:

Dвос=

F = Dад/Dвос = 2,392 204 535

Пороговое значение критерия Фишера F0 для f1=3, f2 =40 и уровня значимости =0,05 находим по таблице Прил.1 F0 =2,9.

Так как F< F0 — линейное уравнение регрессии адекватно.

Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии

Проверяем значимость отдельных коэффициентов уравнения регрессии с помощью t — статистики Стьюдента.

Для чего по таблице Прил.2 для f= n (N-1) =8 (6−1) =40 и =0. 05 находим пороговое значение t0= 1. 684.

Вычислив для каждого коэффициента регрессии величину

ti = bi /, где D = Dвос/Nn = 0,139 053 903/5*8 = 0,3 476

и, сравнив ti c t0, приходим к выводу, что коэффициент 4 незначим.

ti

-5,73 797 798

6,853 092

-5,796 078 472

1,955 558

1,612 649

значим

значим

значим

значим

не значим

Окончательное уравнение регрессии

Таким образом, окончательное уравнение регрессии технологического процесса имеет вид

Уравнение регрессии: Y = - 0,338 314 392+0,40 406 215x1-0,341 740 029x2+0,115 301x3

Приложение

Статистический анализ уравнения регрессии:

Уравнение регрессии, найденное с помощью ПФЭ, нуждается в статистическом анализе. Проводятся два вида такого анализа: проверка адекватности модели (т.е. всего уравнения в целом) и проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения. Обе эти проверки проводятся в предположении справедливости модели технологического процесса (1). т. е. считается, что значения отклика процесса Yil, (j= 1,., n; l= 1,., N) представляют собой независимые нормальные случайные величины с одинаковой дисперсией.

Проверка адекватности модели служит для определения соответствия выбранного вида уравнения регрессии {линейное, неполное квадратное и т. п.) неизвестному точному уравнению регрессии. Эта проверка основывается на сравнении разброса экспериментально полученных значений отклика, относительно найденного уравнения регрессии, с разбросом отклика в каждой точке факторного пространства.

Разброс значений отклика относительно уравнения регрессии характеризуется так называемой дисперсией адекватности, равной

, (14)

где n — число опытов в плане; N — число повторений отдельных опытов; - среднее значение отклика в j-й точке плана; - значение отклика в той же точке плана, предсказываемое найденным уравнением регрессии; f1=n- (m+1) — число степеней свободы дисперсии адекватности; m+1 — число коэффициентов в уравнении регрессии.

Разброс отклика в каждой точке факторного пространства при справедливости модели (1) одинаков и характеризуется уже упоминавшейся дисперсией воспроизводимости, величина которой может быть вычислена по формуле.

(15)

где yjl — значение отклика в j-й точке плана при l-м повторении опыта;

f2 = n (N-1) — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Если гипотеза адекватности справедлива, и, следовательно, дисперсии адекватности и воспроизводимости равны, то отношение F=Dад/D{y}, как показано в математической статистике, имеет F — распределение Фишера с f1 и f2 степенями свободы. Если же гипотеза адекватности неверна, то Dад/D{y} будет иметь распределение, отличное от F-распределения Фишера, сдвинутое в сторону больших значений статистики F.

Рис. 3.

На основании этого для проверки гипотезы адекватности рассчитанное значение F сравнивается с пороговым значением Fo, которое при справедливости гипотезы адекватности может быть превышено с заданной малой вероятностью б (см. рис. 3) Если F? Fo гипотеза адекватности отвергается. Если F < Fo — принимается.

Описанное правило проверки гипотезы адекватности называется тестом или критерием Фишера, а малая вероятность его уровнем значимости. На практике обычно пользуются значением, равным 0,05 или 0,01. Таблица пороговых значений F0 для критерия Фишера при этих уровнях значимости приведена в Прил.1.

Если результаты проверки адекватности уравнения регрессии показали, что оно адекватно, то необходимо проверить значимость его коэффициентов. Такая проверка позволяет отбросить незначимые коэффициенты, появление которых вызвано случайными причинами, и тем самым упростить уравнение регрессии. Проверка основывается на том, что при ПФЭ все коэффициенты статистически независимы и имеют одинаковую дисперсию D, для которой известна оценка (13). Для проверки значимости любого коэффициента bi вычисляется

t — статистика Стьюдента.

Эта статистика при условии, что истинное значение коэффициента регрессии i=0 имеет t — распределение Стьюдента с f степенями свободы, где f=n (N-1) — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. Распределение Стьюдента симметрично и имеет математическое ожидание, равное нулю (рис. 4). Если же i 0, то распределение статистики t смещается вправо или влево в зависимости от знака i. На основании этого для проверки значимости коэффициента i задаются уровнем значимости таким, что при условии i=0

P{ti t0}= 2, и считают коэффициент значимым, если ti t0 или ti — t0, или что-то же самое, если ti t0 (см. рис. 4).

В случае, если имеет место противоположное неравенство ti < t0, коэффициент bi считается незначимым и может быть отброшен. Для практических расчетов в Прил.2 приведены значения порога t0 для различных значений уровня значимости.

F — распределение Фишера — Снедекора:

Значения квантилей F0. 95 (1,2); 1 и 2 — числа степеней свободы числителя и знаменателя.

2

1

1

2

3

4

5

6

12

24

1

164,6

199,5

215,7

224,6

230,2

234

243,9

249,1

254,3

2

18,5

19,2

19,2

19,3

19,3

19,3

19,4

19,4

19,5

3

10,1

9,6

9,3

9,1

9

8,9

8,7

8,6

8,5

4

7,7

6,9

6,6

6,4

6,3

6,2

5,9

5,8

5,6

5

6,6

5,8

5,4

5,2

5,1

5

4,7

4,5

4,4

6

6

5,1

4,3

4,5

4,4

4,3

4

3,8

3,7

7

5,6

4,7

4,4

4,1

4

3,9

3,6

3,4

3,2

8

5,3

4,5

4,1

4,8

3,7

3,6

3,3

3,1

2,9

9

5,1

4,3

3,9

3,6

3,5

3,4

3,1

2,9

2,7

10

5

4,1

3,7

3,5

3,3

3,2

2,9

2,7

2,5

11

4,8

4

3,6

3,4

3,2

3,1

2,8

2,6

2,4

12

4,8

3,9

3,5

3,3

3,1

3

2,7

2,5

2,3

13

4,7

3,8

3,4

3,2

3

2,9

2,6

2,4

2,2

14

4,6

3,7

3,3

3,1

3

2,9

2,5

2,3

2,1

15

4,5

3,7

3,3

3,1

2,9

2,8

2,5

2,3

2,1

16

4,5

3,6

3,2

3

2,9

2,7

2,4

2,2

2

17

4,5

3,6

3,2

3

2,8

2,7

2,4

2,2

2

18

4,4

3,6

3,2

2,9

2,8

2,7

2,3

2,1

1,9

19

4,4

3,5

3,1

2,9

2,7

2,6

2,3

2,1

1,9

20

4,4

3,5

3,1

2,9

2,7

2,6

2,3

2,1

1,9

22

4,3

3,4

3,1

2,8

2,7

2,6

2,2

2

1,8

24

4,3

3,4

3

2,8

2,6

2,5

2,2

2

2,7

26

4,2

3,4

3

2,7

2,6

2,5

2,2

2

1,7

28

4,2

3,3

3

2,7

2,6

2,4

2,1

1,9

1,7

30

4,2

3,3

2,9

2,7

2,5

2,4

2,1

1,9

1,6

40

4,1

3,2

2,9

2,6

2,5

2,3

2

1,8

1,5

60

4

3,2

2,8

2,5

2,4

2,3

1,9

1,7

1,4

120

3,9

3,1

2,7

2,5

2,3

2,2

1,8

1,6

1,3

3,8

3

2,6

2,4

2,2

2,1

1,8

1,5

1

t — распределение Стьюдента:

Значения квантилей tp () (числа в первой строке таблицы нужно умножить на 10)

p

0. 750

0. 900

0. 950

0. 975

0. 990

0. 995

0. 999

0. 9995

1

0. 100

0. 307

0. 631

1. 271

3. 182

6. 366

6. 183

63. 662

2

0. 816

1. 886

2. 920

4. 303

6. 965

9. 925

22. 326

31. 593

3

0. 765

1. 638

2. 353

3. 182

4. 541

5. 841

10. 213

12. 924

4

0. 741

1. 533

2. 132

2. 776

3. 747

4. 604

7. 173

8. 610

5

0. 727

1. 476

2. 015

2. 571

3. 365

4. 032

5. 893

6. 869

6

0. 718

1. 440

1. 943

2. 447

3. 143

3. 707

5. 208

5. 965

7

0. 711

1. 415

1. 895

2. 365

2. 998

3. 499

4. 785

5. 408

8

0. 706

1. 397

1. 860

2. 306

2. 896

3. 335

4. 501

5. 041

9

0. 703

1. 383

1. 833

2. 262

2. 821

3. 250

4. 297

4. 781

10

0. 700

1. 372

1. 812

2. 228

2. 764

3. 169

4. 144

4. 587

11

0. 697

1. 363

1. 796

2. 201

2. 718

3. 106

4. 025

4. 437

12

0. 695

1. 356

1. 782

2. 179

2. 681

3. 055

3. 930

4. 318

13

0. 694

1. 350

1. 771

2. 160

2. 650

3. 012

3. 852

4. 221

14

0. 692

1. 345

1. 761

2. 145

2. 624

2. 977

3. 787

4. 140

15

0. 691

1. 341

1. 753

2. 131

2. 602

2. 947

3. 733

4. 073

16

0. 690

1. 337

1. 746

2. 120

2. 583

2. 921

3. 686

4. 015

17

0. 689

1. 333

1. 740

2. 110

2. 567

2. 898

3. 646

3. 965

18

0. 688

1. 330

1. 754

2. 101

2. 552

2. 878

3. 610

3. 922

19

0. 688

1. 328

1. 729

2. 093

2. 539

2. 861

3. 579

3. 883

20

0. 687

1. 325

1. 725

2. 086

2. 528

2. 845

3. 552

3. 850

22

0. 686

1. 321

1. 717

2. 074

2. 508

2. 819

3. 505

3. 792

24

0. 685

1. 318

1. 711

2. 064

2. 492

2. 797

3. 467

3. 745

26

0. 684

1. 315

1. 706

2. 056

2. 479

2. 779

3. 435

3. 707

28

0. 683

1. 313

1. 701

2. 048

2. 467

2. 763

3. 408

3. 674

30

0. 683

1. 310

1. 697

2. 042

2. 457

2. 750

3. 385

3. 646

40

0. 681

1. 303

1. 684

2. 021

2. 423

2. 704

3. 307

3. 551

60

0. 679

1. 296

1. 671

2. 000

2. 390

2. 660

2. 232

3. 460

120

0. 677

1. 289

1. 658

1. 980

2. 358

2. 617

3. 160

3. 373

0. 674

1. 282

1. 645

1. 960

2. 326

2. 576

3. 090

3. 291

Список, используемой литературы

1. Булгаков А, А. Статистические методы обработки информации в АСУ: Учебное пособие /ЛЭТИ.Л., 1981, _ 75 с.

2. Булгаков А, А, Идентификация объектов управления в АСУ; Учебное пособие /ЛИАН.Л., 1982. — 97 с.

3. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов /Поп ред.Э. К. Лецкого. М.; Мир, 1977. _ 552 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой