Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
133


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Геометрия — естественная область возникновения и применения уравнений Монжа-Ампера: уравнений, содержащих действительный опера

Л ! / З2& quot-11 ТГ тор Монжа-Ампера det (. &mdash-г]. К таким уравнениям приводят, наохгохЭ пример, задачи о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной (проблема Минковского), с заданной метрикой (проблема Вейля), а также задачи, связанные с классификацией аффинных сфер. Ряд задач в геометрии приводит к комплексным версиям уравнения Монжа-Ампера: уравнениям, содержащим комплексный оператор д2и

Монжа-Ампера ск^^ Такое уравнение возникает при решении проблемы Калаби.

Заметим, что указанные проблемы были поставлены не локально, а в рамках геометрии & quot-в целом& quot-. Это позволило при их исследовании сочетать аналитические и геометрические методы. Здесь были получены классические результаты Г. Минковским, Г. Вейлем, Г. Леви, А. Д. Александровым, А. В. Погореловым, Е. Калаби, Ш. Ш. Чженем, С. Т. Яу и многими другими.

Г. Минковский доказал существование и единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной [18]. Решение Г. Минковского не содержит информации о регулярности этой поверхности и поэтому называется обобщенным решением. А. Д. Александров доказал единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией главных радиусов нормальной кривизны [26]. А. В. Погорелов дал регулярное решение проблемы Минковского и ее обобщения для к -й элементарной симметрической функции главных радиусов нормальной кривизны [18]. С. Т. Яу доказал существование кэлеровой метрики на компактном кэлеровом многообразии с заданной формой Риччи [52]. В работах К. Ёргенса, Е. Калаби, А. В. Погорелова было доказано, что всякая несобственная выпуклая аффинная сфера является эллиптическим параболоидом [50, 42, 18].

Помимо уравнений, содержащих действительный или комплексный операторы Монжа-Ампера, большой интерес представляют также уравнения, содержащие смешанный дискриминант О (II,., С/, V,., V) от матрицы Гессе и = (. .) неизвестной функции и и какой-нибудь дхгдхэ другой матрицы V либо известной, либо образованной из производных функции и первого порядка. Мы будем оператор И (II,., ?7, V,., V) называть оператором Монжа-Ампера т -го порядка. Естественным образом уравнения, содержащие такие операторы также возникают в геометрии: в задачах, связанных с восстановлением поверхностей по т -м элементарным симметрическим функциям их главных кривизн, радиусов кривизны или условных радиусов кривизны [35, 18, 61].

В предлагаемой работе рассмотрены геометрические задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим действительный или комплексный оператор Монжа-Ампера т — го порядка.

Диссертация разбита на три главы. Первая глава посвящена обобщению многомерной проблемы Минковского в рамках & quot-относительной дифференциальной геометрии& quot-. Пусть 5 и Е — регулярные замкнутые выпуклые поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Минковский ввел понятие главных условных радиусов кривизны Я (у),., Ёп^) поверхности относительно поверхности Е (условной сферы) в точке с внешней нормалью V. Тогда возникает функция от единичной внешней нормали (р (р) = 1(^)4 ¦ • •, где — к- я элементарная симметрическая функция. В работе рассматривается вопрос о существовании т д2и замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией (р{у). Найдены достаточные условия существования замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны. Отметим, что полученная в процессе доказательства априорная оценка на радиус нормальной кривизны искомой поверхности в случае, когда условная сфера является обычной сферой & pound-п, превращается в известную оценку А. В. Погорелова.

Во второй главе диссертации рассматривается обобщение проблемы Калаби. Автор вводит понятие смешанной формы объема на кэлеровом многообразии и ставит задачу о нахождении кэлеровой метрики по заданной смешанной форме объема. Эта задача является обобщением проблемы Калаби. Она сводится к вопросу о разрешимости на кэлеровом многообразии уравнения, содержащего комплексный оператор Монжа-Ампера т -го порядка. В случае, когда компактное кэлерово многообразие имеет положительную или нулевую голоморфную секционную кривизну, получены достаточные условия разрешимости этого уравнения.

Третья глава посвящена вопросу о характеризации несобственных выпуклых аффинных сфер. В подходящей системе координат несобственная выпуклая аффинная сфера в Еп+1 задается уравнением хп+1 -., хп)& gt- где с1е1-(0у) = 1. Естественным является вопрос о полных выпуклых решениях уравнения ап — < �р (сг1,. ¦, сг/г1), где сг^ - к -я элементарная симметрическая функция от собственных значений гессиана (%). Доказывается, что при достаточной близости функции & lt-р к тождественно единичной всякое решение последнего уравнения является квадратичным полиномом. В этой же главе изучается уравнение ат — 1, (т < тг). Доказывается, что при некоторых условиях на решение оно также является квадратичным полиномом.

Каждая из рассмотренных в диссертации задач приводит к некоторому уравнению Монжа-Ампера т -го порядка. Центральным моментом при рассмотрении этих задач является получение априорной оценки решения соответствующего уравнения. При нахождении априорных оценок применяются наглядные геометрические идеи и методы. Эти методы основаны на системе понятий, идей и результатов геометриии & quot-в целом& quot-, развитых в работах А. Д. Александрова и А. В. Погорелова.

Каждая глава работы имеет свою нумерацию параграфов, формул и теорем.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1.- М.: ИЛ: 1962. — 205 с.

2. Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е. Введение в дифференциальную геометрию & quot-в целом& quot-. М.: Наука, 1973. — 440 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. — 352 с.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. — 352 с.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, т. 1, 2. М.: Мир, 1990. — 704 с.

6. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002. -224 с.

7. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, т. 1, 2. М.: Мир, 1982. — 864 с.

8. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. II, М. -Л.: ОГИЗ, 1948. — 407 с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. II. М.: Наука, 1981. — 416 с.

10. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. — 376 с.

11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1969. — 576 с.

12. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. — 288 с.

13. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. — 280 с.

14. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. — 336 с.

15. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. — 400 с.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. — 256 с.

17. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969. — 760 с.

18. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. — 96 с.

19. Погорелов A.B. Многомерное уравнение Монжа-Ампера det (zij) =

20. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. — 736 с.

21. Blaschke W. Vorlesungen uber Differentialgeometrie, II, Affine Differentialgeometrie. Berlin: Springer-Verlag, 1923. — 257 s. Статьи

22. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел// Матем. сб. 1937. -Т. 2, № 5. — С. 947 — 972.

23. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения// Матем. сб. 1937.- Т. 2, № 6. — С. 1205 — 1238.

24. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела// Матем. сб. 1938. — Т. 3, № 1. -С. 27 — 46.

25. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы// Матем. сб. 1938. — Т. 3, № 2. — С. 227 — 251.

26. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей & quot-в целом& quot-. I// Вестн. ЛГУ. 1956. — № 19. — Сер. математики, механики и астрономии. — Вып. 4. — С. 5 — 17.

27. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей & quot-в целом& quot-. II// Вестн. ЛГУ. 1957. — № 7. — Сер. математики, механики и астрономии. — Вып. 2. — С. 15 — 44.

28. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей & quot-в целом& quot-. III// Вести. ЛГУ. 1958. — № 7. — Сер. математики, механики и астрономии. — Вып. 2. — С. 14 — 26.

29. Александров А. Д., Волков Ю. А. Теоремы единственности для поверхностей & quot-в целом& quot-. IV// Вестн. ЛГУ. 1958. — № 13. — Сер. математики, механики и астрономии. — Вып. 3. — С. 27 — 34.

30. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей & quot-в целом& quot-. V// Вестн. ЛГУ. 1958. — № 19. — Сер. математики, механики и астрономии. — Вып. 4. — С. 5 — 8.

31. Бакельман И. Я., Понарядова P.C. Замкнутые поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия и топология. -Ленинград: ЛГПИ, 1974. Вып. 2. — С. 22 — 34.

32. Бакельман И. Я., Сапожников Б. Д. Существование опорной функции замкнутой гиперповерхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1977. — Вып. 6. -С. 4 — 14.

33. Dubnow J. Uber Tensoren mit nichtskalaren Komponenten// Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1933. — Т. 1. -С. 196 — 212.

34. Загускин В. Л. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объема// УМН. 1958. — Т. 13, № 6. — С. 89 — 92.

35. Ивочкииа Н. М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка тЦ Матем. сб. 1989. — Т. 180, № 7. — С. 867 — 887.

36. Кокарев В. Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еа по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. — Вып. 3. — С. 73 — 85.

37. Кокарев В. Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. — Вып. 4. — С. 83 — 94.

38. Кокарев В. Н. Существование замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 с заданной к -й элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1976. -Вып. 5. — С. 60 — 68.

39. Кордес Г. О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными// Сб. переводов & quot-Математика"-. 1959. — Т. 3, № 2.

40. Понарядова P.C. Условие выпуклости замкнутой поверхности с заданной суммой главных условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия.- Ленинград: ЛГПИ, 1976. Вып. 5. — С. 101 — 105.

41. Сапожников В. Д. Поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны в Е3 // Современный анализ и геометрия. Сб. трудов ЛГПИ.- 1972.

42. Calabi Е. Improper affine hyperspheres of convex type and a generalizations of a theorem by K. Jorgens// Michigan Math. J. 1958. — V. 5, № 2. -P. 105 — 126.

43. Calabi E. An extension of E. Hopf’s maximum principle with an applicationto Riemannian geometry// Duce Math. J. 1958. — V. 25. — P. 45 — 56. •

44. Calabi E. Complete affine hyperspheres I// Istituto Nazionale di Alta Matematica, Symposia Mathematica. 1972. — V. 10. — P. 19 — 38.

45. Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equatons. III. Functions of the eigenvalues of Hessian// Acta Math. 1985. — V. 155, № 3, 4. — P. 261 — 304.

46. Cheng S.Y. On the real and complex Monge-Ampere Equation and its geometric applications// Proc. Int. Congr. Math. Warszawa, 1983. -P. 533 — 539.

47. Cheng S.Y., Yau S.T. On the Regularity of the Monge-Ampere Equation det (d2/dxidxj) = F (x, u) //Comm. on pure Appl. Math. 1977. — V. 30. -P. 41 — 68.

48. Cheng S.Y., Yau S.T. The real Monge-Ampere equation and affine flat structures //Proceedings of the 1980 Beijing Sumposium on Differential Geometry and Differ. Equations. Beijing, New York: 1982. — P. 339 — 370.

49. Cheng S.Y., Yau S.T. Complete Affine Hypersurfaces. Part I. The Completeness of Affine Metrics // Comm. on pure Appl. Math. 1986. -V. 39. — P. 839 — 866.

50. Jorgens K. Uber die Losungen der Differentialgleichung rt — s2 = 1 // Math. Ann. 1954. — V. 127. — P. 130 — 134.

51. Tzitzeika G. Sur one nouvelle classe de surfaces// Comtes Rendus Acad. S ci. Paris. 1907. — V. 145. — P. 132 — 133- 1908. — V. 146. — P. 165 — 166.

52. Yau S.T. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampere equation, I// Comm. Pure Appl. Math. 1978. -V. 31. — P. 339 — 411. Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

53. Кокарев В. Н. Условно минимальные поверхности// Сиб. мат. ж. -1985. Т. 26, № 2. — С. 220.

54. Кокарев В. Н. Нормальный образ полной условно минимальной поверхности// Матем. сб. 1992. — Т. 183, № 2 — С. 112 — 120.

55. Кокарев В. Н. О полных выпуклых решениях уравнения spur= 1// Математическая физика, анализ, геометрия. 1996. — Т. 3, № ½. -С. 102 — 117.

56. Кокарев В. Н. Об уравнении несобственной аффинной сферы: обобщение теоремы Ёргенса// Матем. сб., 2003. Т. 194, № 11. — С. 65 — 80.

57. Kokarev V.N. On Complete Convex Solutions of Equations Similar to the Improper Affine Sphere Equation// J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. — V. 3, № 4. — P. 448 — 467.

58. Кокарев В. Н. Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. — Т. 68, № 2. — С. 33 — 50.

59. Кокарев В. Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. — Т. 74, № 8. — С. 35 — 43.

60. Кокарев В. Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Известия РАН. Серия математическая, 2010. Т. 74, № 3. -С. 65 -78. Статьи в прочих изданиях

61. Кокарев В. Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1980. — Вып. 23. — С. 65 — 74.

62. Кокарев В. Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1986. — Вып. 29. — С. 82 — 92.

63. Кокарев В. Н. Условная площадь и условно минимальные поверхности// Всесоюзная конференция по геометрии & quot-в целом. "- Тезисы докладов. Новосибирск: 1987. — С. 61.

64. Кокарев В. Н. Оценки главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности по функциям ее условных радиусов кривизны//Украинский геометрический сборник. 1988. — Вып. 31. — С. 62 — 73.

65. Кокарев В. Н. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны// IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов. Кишинев: 1988. — С. 156 — 157.

66. Кокарев В. Н. Обобщение проблемы Калаби// Международный геометрический семинар имени Н. И. Лобачевского & quot-Современная геометрия и теория физических полей& quot-. Тезисы докладов. Казань: 1997. -С. 68.

67. Кокарев В. Н. Обобщение теоремы Калаби-Погорелова// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. — Ростов-на-Дону: 2002. — С. 33 — 34.

68. Кокарев В. Н. Комплексное уравнение Монжа-Ампера в & lt-Сп// Геометрия & quot-в целом& quot-. Преподавание геометрии в вузе и школе. Материалы Всерос. науч. -метод. конф. Великий Новгород, 2004. — С. 45 — 46.

69. Кокарев В. Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Международная конференция & quot-Геометрия в Одессе 2007″. Тезисы докладов. — Одесса: 2007. — С. 63 — 64.

70. Кокарев В. Н. Нелинейные эллиптические уравнения на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. — Ростов-на-Дону: 2008. — С. 227 — 228.

71. Кокарев В. Н. Комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Международная конференция & quot-Геометрия в Одессе 2009″. Тезисы докладов. — Одесса: 2009. — С. 50.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Глава 1. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны.

§ 1. Основные понятия и уравнения

§ 2. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

§ 3. Существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

Глава 2. Кэлеровы многообразия с заданными смешанными формами объема.

§ 1. Обобщение проблемы Калаби

§ 2. Необходимое условие разрешимости уравнения (1)

§ 3. Единственность решения уравнения (1)

§ 4. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§ 5. Условие положительной определенности искомой метрики при т = 1 для кэлеровых многообразий положительной кривизны.

§ 6. Доказательство разрешимости уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§ 7. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии нулевой кривизны

§ 8. Доказательство разрешимости уравнения (1) на торе

Глава 3. Уравнения несобственной выпуклой аффинной сферы

§ 1. Обобщение уравнения (1)

§ 2. С2 — оценки решения уравнения (7) в ограниченной области

§ 3. Глобальная оценка для вторых производных решения уравнения (7)

§ 4. Дифференциальное неравенство для решения уравнения (7)

§ 5. Доказательство теоремы о полных выпуклых решениях уравнения (7)

§ 6. О полных выпуклых решениях уравнения

8ригт (гу) =

Заполнить форму текущей работой