Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторов

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
206


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Данная работа охватывает ряд задач функционального анализа, изучающих свойства линейных преобразований функциональных пространств как отображений. В качестве таких преобразований рассматриваются интегральные операторы Т в пространствах функций одной или нескольких переменных, а изучаемые свойства включают ограниченность, компактность и поведение аппроксимативных чисел Т, действующих из одного функционального пространства X в другое У, где X и У могут совпадать. В подавляющем большинстве случаев X и У пространства Лебега № (О < р < оо) на или их подклассы. И только в одном из разделов мы переходим к функциональным пространствам Соболева И^ на К+.

В качестве Т в основном рассматриваются одномерные операторы вида / -> /о& deg-°- кт{х, ?/)/(?/), х > 0, с неотрицательными и измеримыми на М^ ядрами кт (х, у). Среди них — класс преобразований типа Вольтерра с кт (х, у) = д'(0,х){у)к{х, у), представителем которого при к (х, у) = 1 является оператор Харди, преобразования Лапласа (кт (х, у) = е~'ху) и Стилтьеса (кт (х, у) = 1/(х + у)), а также оператор Харди-Стеклова с кт{х, у) — Х (а (х), ь (х))(у) — Дополняют наше исследование несколько результатов об ограниченности из № в Ьч многомерных аналогов оператора Харди. Кроме В. Вольтерра, Г. X. Харди, П. -С. Лапласа, Т. И. Стилтьеса и В. А. Стеклова указанные отображения изучались в работах Ж. Лиувилля, Э. И. Фредгольма, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна, В. Б. Короткова и многих других (см., например, [4, 9, 13, 21, 26, 27, 29, 34, 44, 47, 58, 59, 64, 65, 68] и ссылки там же).

Свойства линейных преобразований Т, изучаемые в настоящей работе, являются основой для приложений рассматриваемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений [56, 58]. Они также находят применение в спектральной теории [22], теории приближений [24] и других областях.

Вопрос (А) об ограниченности оператора Т из X в У является традиционно первоочередным и исследуется в нашей работе в эквивалентной формулировке. Задача (В), равноценная данной для линейного преобразования Г, состоит в характериза-ции неравенства вида где константа С — наименьшая и не зависит от /, а символ || • || обозначает (квази)-норму функции / в X или ее образа Г/ в У. Характеризация таких неравенств в данной работе осуществляется с помощью метода В. Д. Степанова [23, 85, 87]. Сам метод заключается в получении двусторонних оценок на С — ||Г||а'-)-г вида

TfW < СМх (/ > 0)

0.0. 1) а ¦ F < ||Г||ХУ & lt-/3-в

0.0. 2) функционалами F и G, не зависящими от /. Константы, а и /3 в (0.0. 2) подразумеваются либо абсолютными, либо зависящими только от числовых параметров. При наличии оценки (0.0. 2) конечность функционалов F и G формирует, соответственно, необходимое и достаточное условие выполнения неравенства (0.0. 1) (либо, эквивалентно, необходимое и достаточное условие ограниченности оператора Т из X в У). Ситуация, когда функционалы F и G равны, является наиболее предпочтительной, так как при этом извлекается точный критерий ограниченности Т из X в У, a F = G становится эквивалентом операторной нормы ||Т||х-> г, который не зависит от /.

К сожалению, оценки вида (0.0. 2) удается получить не всегда. В таких случаях мы ограничиваемся только одной из двух частей неравенства (0.0. 2), извлекая при этом либо только достаточные, либо только необходимые условия ограниченности Т.

Как уже было отмечено, задачи (А) и (В) эквивалентны друг другу, если речь идет о линейных Т. Чтобы подчеркнуть этот факт, мы используем обозначение (А) = (В) в соответствующих ситуациях и рассматриваем только вопрос (В), если Т нелинеен.

Иногда бывает полезным рассмотреть задачу © о характеризации неравенства (0.0. 1) на подклассах функций. Такой подход нередко приводит к несколько другим результатам. Так, например, в работе [30, р. 728] был найден пример весового неравенства Харди, которое выполняется на подклассе неотрицательных невозрастающих функций, в то время как соответствующий функционал F — G ~ С (см. (0.0. 1) и (0.0. 2)) все еще не является конечной величиной. Этот факт, а также некоторые другие, говорит в пользу отдельного изучения неравенств типа (0.0. 1), суженных на подклассы функций, имеющих важное прикладное значение. В нашей работе подобная задача на монотонных функциях решена для оператора Харди-Стеклова. В качестве основного метода при этом используется критерий Э. Сойера [79].

Для изучения (D) свойств компактности Т: X Y в работе используется метод представления исходного преобразования Т в виде суммы компактного оператора То и операторов с малой нормой. Для доказательства компактности Т0 применяются классические теоремы современного анализа [9, 25, 32], а полученные нами результаты представляют собой необходимые и достаточные условия компактности Т: X -Y. При этом, когда X и Y — банаховы, эти условия совпадают, формируя точные критерии, выраженные в терминах ядер исследуемых операторов, а также числовых характеристик пространств, в которых эти операторы действуют.

Поведение аппроксимативных чисел (Е) компактных операторов Т: X -> Y исследуется в нашей работе в терминах норм типа Шаттена (Е1) и в виде асимптотических оценок (Е2) па последовательность {апСГ)}пем. Напомним, что величину ап (Т) = inf{||T — P\x-*y: Р: X Y, rank Р < п) (n € N) называют n-ым аппроксимативным числом линейного преобразования Т из X в Y. Последовательности аппроксимативных чисел являются невозрастающими и выражают степень (погрешность) аппроксимации Т: X -> У операторами Р конечного ранга. В гильбертовом случае аппроксимативные числа оператора Т совпадают с его сингулярными числами а’п (Г) = Хп (у/Т*Т) (см. [1, 6]), а в общем — тесно связаны с другими характеристическими величинами такими, как числа Гельфанда, Колмогорова, Вейля, Гильберта, энтропийные и т. д. (см. [38, 55, 74, 91]). В зависимости от поведения {а"}пек вполне непрерывные линейные операторы можно разделить на классы. Так множества всех компактных операторов Т: X У, удовлетворяющих условию оо -3

5> ?СГ)Г<�����������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������

�Ushakova Е. P. Integral operators with variable domain of integration // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, Новосибирск, 23 августа 2 сентября 2004 г. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2004. — С. 254.

5. Перссон Л. -Э., Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с монотонными ядрами // Доклады А Н. — 2005. — Т. 403, № 1. — С. 11−14.

6. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки норм операторов с двумя переменными пределами интегрирования // Доклады А Н. — 2008. — Т. 421, № 3.- С. 1−3.

7. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2008. — Т. 260. — С. 264−288.

8. Ушакова Е. П. О сингулярных числах обобщенного преобразования Стилтьеса // Доклады А Н. 2010. — Т. 431, 2. — Р. 175−176.

9. Ушакова Е. П. Оценки сингулярных чисел преобразований типа Стилтьеса // Сиб. матем. журнал. 2011. — Т. 52, № 1. — С. 201−209.

10. Stepanov V. D., Ushakova Е. P. Hardy operator with variable limits on monotone functions // J. Funct. Spaces Appl. 2003. — Vol. 1, N 1. — P. 1−15.

11. Ushakova E. P. Norm Inequalities of Hardy and Polya-Knopp types: Doctoral Thesis. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — 2006. -N 2006: 53. URL: http: //epubl. ltu. se/1402−1544/2006/53/LTU-DT-0653-SE. pdf- 152 pp.

12. Ushakova E. P. On the Hardy-type operators with variable limits // Research Report. — 2006. — Lulea University of Technology, Department of Mathematics.- N 2006: 09. 26 pp.

13. Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy-type integral inequalities // Research Report. — 2006. Lulea University of Technology, Department of Mathematics. — N 2006: 10. — 29 pp.

14. Persson L. -E., Ushakova E. P. Some multi-dimensional Hardy type integral inequalities //J. Math. Inequal. 2007. — Vol. 1, N 3. — P. 301−319.

15. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics. N 2008: 30. — 52 pp.

16. Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class kernel operators // Research Report. — 2008. — Uppsala University, Department of Mathematics.- N 2008: 46. 27 pp.

17. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Alternative criteria for the boundedness of Volterra integral operators in Lebesgue spaces // Math. Inequal. Appl. — 2009. — Vol. 12, N 4. P. 873−889.

18. Ushakova E. P. Schatten-von Neumann ideal behaviour of a generalized Stieltjes transformation in Lebesgue space // Research Report. — 2009. — Uppsala University, Department of Mathematics. — N 2009: 14. — 11 pp.

19. Stepanov V. D., Ushakova E. P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications // Math. Inequal. Appl. — 2010. — Vol. 13, N 3. P. 449−510.

20. Stepanov V. D., Ushakova E. P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesgue spaces // Banach J. Math. Anal. — 2010. — Vol. 4, N 1.- P. 28−52.

21. Ushakova E. P. On boundedness and compactness of a certain class of kernel operators // J. Funct. Spaces Appl. 2011. — Vol. 9, N 1. — P. 67−107.

22. Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // Preprint. — 2011. — URL: arxiv. org/abs/1109. 3304 — 26 pp.

23. Ushakova E. P. On upper estimates for approximation numbers of a Laplace type transformation // Preprint. — 2011. — URL: arxiv. org/abs/1109. 3305 — 25 pp.

24. Ushakova E. P. On estimates of Schatten-von Neumann norms of Hardy-Steklov operator // Preprint. — 2012. — URL: arxiv. org/abs/1203. 2152v3 — 21 pp.

25. Ushakova E. P. On compactness of Laplace and Stieltjes type transformations in Lebesgue spaces // J. Operator Theory. — 2013. — Vol. 69, N 2. — P. 511−524.V *

Показать Свернуть

Содержание

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1 Классы операторов с монотонными ядрами

1.1 Ограниченность из 17 в Ья.

1.1.1 Вспомогательные утверждения.

1.1.2 Условия ограниченности.

1.1.3 Примеры.

1.2 Преобразования Лапласа и Стилтьеса из № в Ь'

1.2.1 Ограниченность и компактность.

1.2.1.1 Условия компактности преобразования Лапласа.

1.2.1.2 Условия компактности преобразования Стилтьеса.

1.2.2 Оценки норм Шаттена-фон Неймана в случае р = д = 2.

1.2.3 Оценки на аппроксимативные числа преобразования Лапласа& mdash-

1.2.3.1 Предварительные оценки.

Случай 1 < р, д < оо.

Случай 0& lt-д<- 1 & lt-р<- оо.

1.2.3.2 Нормы типа Шаттена.

Случай р >

Случай р =

1.2.3.3 Асимптотическое поведение.

ГЛАВА 2 Операторы типа Харди-Стеклова

2.1 Методы и вспомогательный материал.

2.1.1 Блочно-диагональный метод.

2.1.2 Оценки на нормы операторов типа Харди.

2.1.3 Фарватер-функция.

2.2 Ограниченность и компактность из V в Ьч.

2.2.1 Оператор Харди-Стеклова.

2.2.2 Обобщенный оператор Харди-Стеклова.

Заполнить форму текущей работой